【正文】 由 PA AB m??－ 4 得－ 4 2 4x y m? ? ? ?， ∴點(diǎn) P 的軌跡方程為 2y x m??. （ 9 分） 設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于 P 的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為 0039。 2020 屆全國(guó)百套名校高三數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編 09 圓錐曲線 試題收集：成都市新都一中 肖宏 三、解答題 (第一部分 ) (山東省臨沂高新區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2020－ 2020 學(xué)年高三 12 月月考 )已知橢圓 C 過點(diǎn))0,2(),26,1( ?FM 是橢圓的左焦點(diǎn)， P、 Q 是橢圓 C 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 |PF|、 |MF|、 |QF|成等差數(shù)列。由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22142xy??，可知 22 2 2 11 1 1 12| | ( 2 ) ( 2 ) 2 222xP F x y x x? ? ? ? ? ? ? ? ? 同理222| | 2 , | | 2O F x M F? ? ? ?………4 分 ∵ 2 | | | | | |MF PF QF??，∴12222 ( 2 ) 4 ( )xx? ? ? ? ∴ 122xx??…………5 分 ①當(dāng) 12xx? 時(shí)，由 2211222424xyxy? ????????，得 2 2 2 21 2 1 22 ( ) 0x x y y? ? ? ? 從而有 1 2 1 21 2 1 212y y x xx x y y??? ? ? 設(shè)線段 PQ 的中點(diǎn)為 (1, )Nn，由 121212PQ yyk x x n?? ? ?? ………… 6 分 得線段 PQ 的中垂線方程為 2 ( 1)y n n x? ? ? ………… 7 分 ∴ (2 1) 0x n y? ? ?，該直線恒過一定點(diǎn) 1( ,0)2A………… 8 分 ②當(dāng) 12xx? 時(shí)， 66(1, ), (1, )22PQ? 或 66(1, ), (1, )22PQ? 線段 PQ 的中垂線是 x 軸，也過點(diǎn) 1( ,0)2A ， ∴線段 PQ 的中垂線過點(diǎn) 1( ,0)2A ………… 10 分 （ 3）由 1( ,0)2A ，得 1( ,0)2B? 。且有.,0 22 NQNFNFPN ??? 求 Q 點(diǎn)的軌跡方程。若不存在 ,說明理由 . 解 : (1) 因?yàn)閯?dòng)圓 M,過點(diǎn) F(1,0) 且與直線 :1lx?? 相切 ,所以圓心 M到 F 的距離等于到直線l 的距離 .所以 ,點(diǎn) M 的軌跡是以 F 為焦點(diǎn) , l 為準(zhǔn)線的拋物線 ,且 12p? , 2p? , 所以所求的軌跡方程為 2 4yx? －－－－－－－－－ 5 分 (2) 假設(shè)存在 A,B 在 2 4yx? 上 , 所以 ,直線 AB 的方程 : 211121 ()yyy y x xxx?? ? ??,即 22 1 11 2221()444y y yy y xyy?? ? ?? 即 AB 的方程為 : 211 124 ()4yy y xyy? ? ??,即 221 2 1 1 2 1( ) 4y y y y y y x y? ? ? ? ? 即 : 12( ) (16 4 ) 0y y y x? ? ? ?，令 0y? ,得 4x? ， 所以 ,無論 12,yy為何值 ,直線 AB 過定點(diǎn) (4,0) (廣東省佛山市三水中學(xué) 2020 屆高三上學(xué)期期中考試 )如圖，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 2倍且經(jīng)過點(diǎn) M(2,1)，平行于 OM 的直線 l在 y 軸上的截距為 ( 0)mm? ， l交橢圓 于 A、 B 兩個(gè)不同點(diǎn) . （ 1）求橢圓的方程； （ 2）求 m 的取值范圍； （ 3）求證直線 MA、 MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等腰三角形 . 解：（ 1）設(shè)橢圓方程為 )0(12222 ???? babyax －－－－－－ 1 分 則???????????????2811422222 bababa解得 －－－－－－－－－－－－－－－－－－ 3 分 ∴橢圓方程 128 22 ?? yx －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 4分 （ 2）∵直線 l平行于 OM，且在 y 軸上的截距為 m 又21?OMK ∴ l的方程為： mxy ??21－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 5 分 由 0422128212222 ????????????????mmxxyxmxy ∵直線 l與橢圓交于 A、 B 兩個(gè)不同點(diǎn)， ,0)42(4)2( 22 ?????? mm ∴ m 的取值范圍是 }022|{ ???? mmm 且－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 8 分 （ 3）設(shè)直線 MA、 MB 的斜率分別為 k1， k2，只需證明 k1＋ k2=0 即可 －－ 9 分 設(shè)21,21),(),( 2221112211 ?????? xykxykyxByxA 則 0422 22 ???? mmxx由 可得 42,2 22121 ????? mxxmxx －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 10 分 而)2)(2( )2)(1()2)(1(21,21 21 1221221121 ?? ????????????? xx xyxyxyxykk )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212121211221???????????????????????????xxmmmmxxmxxmxxxxxmxxmx 0)2)(2( 444242 2122 ??? ?????? xx mmmm－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 13分 ∴ k1＋ k2=0 故直線 MA、 MB 與 x 軸始終圍成一個(gè)等 腰三角形 .－－－－－－－－－－－－－－ 14分 1 (四川省成都市 2020 屆高三入學(xué)摸底測(cè)試 )已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) 1(0,1)F 、 2(0, 1)F ? ，直線 4y? 是它的一條準(zhǔn)線， 1A 、 2A 分別是橢圓的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)， 1A 為焦點(diǎn)的拋物線為 C ，若過點(diǎn) 1F 的直線與 C 相交于不同M 、 N 的兩點(diǎn)、求線段 MN 的中點(diǎn) Q 的軌跡方程． (, )xy ，令2441xkyk??? ???，消去參數(shù) k ，得到 2 4( 1)xy??為所求軌跡方程． 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為 x2a2＋y2b2==1(a＞ b＞ 0) 由題意，得 c＝ 1， a2c＝ 4 ? a＝ 2，從而 b2＝ 3 ∴ 橢圓的方程 22143yx??； （Ⅱ）設(shè)拋物線 C 的方程為 x2＝ 2py(p＞ 0) 由 p2＝ 2 ? p＝ 4 ∴ 拋物線方程為 x2＝ 8y 設(shè)線段 MN 的中點(diǎn) Q(x,y)，直線 l的方程為 y＝ kx＋ 1 由218y kxxy???? ??得 2 8 8 0x kx? ? ? ，（這里 △≥ 0 恒成立）， 設(shè) M(x1,y1),N(x2,y2) 由韋達(dá)定理，得 128x x k?? ， 21 2 1 2( ) 2 8 2y y k x x k? ? ? ? ? ?， 所以中點(diǎn)坐標(biāo)為 Q 2(4 ,4 1)kk? ， ∴ x＝ 4k,y＝ 4k2＋ 1 消去 k 得 Q 點(diǎn)軌跡方程為： x2＝ 4(y－ 1) 12 、 ( 湖 北省 武漢 市 教科院 2020 屆高 三第 一次 調(diào)考 ) 如圖 ，設(shè) F 是橢 圓)0(1: 2222 ???? babyaxC 的左焦點(diǎn)，直線 l 為其左準(zhǔn)線，直線 l 與 x 軸交于點(diǎn) P，線段 MN 為橢圓的長(zhǎng)軸，已知 .||2||,8|| MFPMMN ?? 且 （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若過點(diǎn) P 的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn) A、 B 求證：∠ AFM=∠ BFN； （ 3）（理科）求三角形 ABF 面積的最大值。 (Ⅱ )過點(diǎn) P(0,2)的直線 l 交 (Ⅰ )中橢圓于 M,N 兩點(diǎn) ,是否存在直線 l ,使得以弦 MN 為直徑的圓恰好過 原點(diǎn) ?若存在 ,求出直線 l 的方程 。 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建 對(duì)象。 與橢圓 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 不是左，右頂點(diǎn)），且以 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 … ………………………………………………………………………… ……4 分 (2)設(shè) 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 ， 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 以 AB 為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn) 錯(cuò)誤！不能通過編輯 域 代 碼 創(chuàng) 建 對(duì) 象 。 ， 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 ……………………………………….……….…….9 分 當(dāng) 錯(cuò)誤！不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。時(shí)， 錯(cuò)誤！ 不能通過編輯域代碼創(chuàng)建對(duì)象。 …………………………………………..12 分 2 (黑龍江省雙鴨山一中 2020－ 2020 學(xué)年上學(xué)期期中考試 )已知雙曲線 G 的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓 22 10 20 0x y x? ? ? ?相切，過點(diǎn) P(－ 4,0)作斜率為 14 的直線 l，使得 l 和 G 交于 A、 B 兩點(diǎn)，和 y 軸交于點(diǎn) C，并且點(diǎn) P 在線段 AB 上，又滿足2| | | | | |PA PB PC?? （ 1）求雙曲線 G 的漸近線方程 （ 2）求雙曲線 G 的方程 （ 3）橢圓 S 的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 G的實(shí)軸，如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中點(diǎn)軌跡恰好是 G 的漸近線截在 S 內(nèi)的部分，求橢圓 S 的方程。 解（ Ⅰ ） ∵ BCACBC 且||2|| ? 過（ 0， 0） 則 0|||| ??? BCACACOC ?又 ∴∠ OCA=90176。 (2)過點(diǎn) F 的直線交曲線 C 于 A, B 兩點(diǎn) , A, B 在 l 上的射影分別為 M, N. 求證 AN 與 BM 的公共點(diǎn)在 x軸上 . 解： (1) 如圖 (1) 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 )y,x( , 則由題設(shè)得 :21|4x| y)1x(22 ?? ??, 化簡(jiǎn)得 : 222 )4x(]y)1x[(4 ???? , 即 ,12y4x3 22 ?? 即 13y4x 22 ?? . ∴點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程是 13y4x 22 ?? . (2) ①當(dāng) AB 軸時(shí) , A、 B 的坐標(biāo)分別為 )23,1( , )23,1( ? , AN 與 BM 的交 點(diǎn)為 )0,25( 在 x軸上 . ②當(dāng) AB 不垂直于 x軸時(shí) ,設(shè)直線 AB 的方程為 )1x(ky ?? , 代入橢圓 13y4x 22 ?? ,得 0)12k4(xk8x)3k4( 2222 ????? 設(shè) )y,x(A 11 , )y,x(B 22 , 則 )y,4(M 1 , )y,4(N 2 , 且?????????????3k412k4xx3k4k8xx22212221 ∵直線 AN 方程是121121 xx xxyy yy ????? , 直線 BM 方程是4x 4xyy yy 212 1 ?????. 聯(lián)列 , 得?????????????????4x4xyyyyx4xxyyyy212111121, 消去 y, 得 : 4x 4x4x 4x 22 ?????. 即 ,16xxx)8xx( 2121 ???? 即258xx 16xxx 21 21 ??? ??, 把 25x? 代入直線 AN 的方程11121 x4 xxyy yy ????? 得1212111 121 x4yxy25y23)x25(x4yyyy????????? 0x4 ]4xx)xx(25[k12121 ?????? ∴ AN 與 BM 交于點(diǎn))0,25( 是 x軸上一定點(diǎn) . (2) 解法二 : 如圖 (2) 當(dāng) AB 不垂直于 x軸時(shí) , 設(shè) AF＝ n, 則 AM＝ 2n, 設(shè) BF＝ m, 則 BN＝ 2m, 在△ ABN 和△ BAM 中 , FH∥ AM, FH1∥ BN, ∴△ ABN∽△ AFH 和△ BAM∽△ BFH1 ∴m2FHmn nBNFHABAF ???? mn mn2FH ??? 同理可 推 , ∴ n2FHnm mAMFHBABF 11 ???? mn mn2FH 1 ??? ,