【正文】 （同乘以 67） 36900 （同乘以 791） 134 由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結論與前面一致。 5s4s3s0s1s2s例 3－ 4 已知系統(tǒng)的特征方程為 s4+2s2+s2+s+1=0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 列勞斯表如下 S4 1 1 1 S3 2 1 0 S2 (2*1－ 1*1)/2=1/2 (2*1－ 1*0)/2=1 S1 (1*1－ 2*2)/1=－ 3 S0 (－ 3*2－ 1*0)/－ 3= 2 由于勞斯表第一列的系數(shù)變號兩次，一次由 1/2變?yōu)?3 ， 另一次由 3變?yōu)?2，故特征方程有兩個根在 S平面右半部 分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 (2) 勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項不全為零的情況 當勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項不全為零，可用一個很小的正數(shù) ? 代替第一列的零項，然后按照通常方法計算勞斯表中的其余項。 例 35 已知系統(tǒng)的特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解： 由特征方程列出勞斯表 1 2 5 1 2 0 5 5 當 ?的取值足夠小時 ， (2e5)/e=25/e 將取負值 ， 故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次 ， 由勞斯判據(jù)可知 ， 特征方程有兩個根具有正實部 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 對于這種情況 ，也可以用 (s+1)因子乘以原特征方程 ， 然后按新的特征方程計算勞斯表 。 例如在上例中用 (s+1)乘以原特征方程得 4s1s3s0s2s 0 e ?（ 2 e5） / e 0522 234 ????? ssss 勞斯表為 1 3 7 2 4 5 2 9 （同乘以 2） 10 10 11 10 顯然 ， 勞斯表第一列系數(shù)變號兩次 ， 其結論與前面是一致的 。 057432)1)(522( 2345234 ???????????? ssssssssss5s0s1s2s3s4s例如 ， ， 等等。顯 然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。此時，為了確定根的分布情況， 可按下列步驟處理： * 利用第 K1行的系數(shù)構成輔助方程。 * 求輔助方程對 s的導數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的 K行，繼續(xù)計算勞斯表。 * 特征方程中以原點為對稱的根可由輔助方程求得。 ???? jw??? jw???? ?(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行（如第 K行）各項為零，這說明在S平面內(nèi)存在以原點為對稱的特征根。 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 0 0 0 由上表看出， 行的各項全為零，為了求出 ～ 各行，由 行的各項系數(shù)構成輔助方程 將輔助方程對 s求導得 用上式各項系數(shù)作為 行的各系數(shù)繼續(xù)計算勞斯表得 6s3s4s5s3s4s016122)( 24 ????? sss3s 0s0248)( 2 ???? ssds sd3s例 36 已知系統(tǒng)的特征方程為 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 由特征方程列勞斯表 01616202282 23456 ??????? ssssss 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 8/3 16 由于勞斯表第一列系數(shù)符號都相同 ， 因此 ， 可以確定沒有特征方程根分布在 S平面的右半部分 。 但由于 行的各項均為零 ， 這表明系統(tǒng)有共軛虛根 ， 所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 ， 共軛虛根可由輔助方程求得 ， 即由 6s1s2s3s4s5s0s3s016122 24 ??? ss 或 解得 綜上所述，應用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般可以按如下順序進行： 確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。當特征方程的系數(shù)不滿足 (i=0,1,2,…… n)時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 當特征方程的系數(shù)滿足 (i=0,1,2,…… n)時，計算勞斯表。當勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 若計算勞斯表時出現(xiàn)情況（ 2）和（ 3），此時為確定系數(shù)極點的分布情況，可按情況（ 2）和（ 3）的方法處理。 086 24 ??? ss22,1 js ?? 24,3 js ??0?ia0?ia 運用勞斯判據(jù) ， 不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定 ，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響 ， 從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍 。 例 37 已知系統(tǒng)的結構圖如圖 320所示 。 當 時 , 試確定 K為何值時 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 解 圖 320的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ???n?)2()()(22nnsskssG??????R(s) E(s) 1 + C(s) sK)2( nnss ????222322)()(nnnnKssskss???????????圖 320 例 37系統(tǒng)結構圖 特征方程為 將 ， 代入特征方程得 由特征方程列勞斯表 1 7500 7500K 7500K 要使系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 必須滿足 02 2223 ???? nnn Ksss ?????? ?n?07 5 0 07 5 0 23 ???? Ksss75007500346 K??3s2s1s0s07500 ?k 7 5 0 07 5 0 ??? K解不等式得 K 〉 0， K〈 因此，要使不等式穩(wěn)定，參數(shù) K的取值范圍是 0 〈 K 〈 例 38 已知系統(tǒng)的結構圖如圖 321所示，求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時的放大系數(shù)及它與參數(shù) 、 、 之間的關系 解 系統(tǒng)的開環(huán) 傳遞函數(shù)為 1? 3?2?)1)(1)(1()( 321 ??????? sssKsGR(s) 11 1?sTK 12 2?sTK 13 3?sTKC(s) 圖 321 例 38系統(tǒng)結構圖 其中 K= ， 為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù) 。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程分別為 或 由特征方程列勞斯表 321 KKKKsssTKs???????? )1)(1)(1()( 3210)1)(1)(1( 321 ?????? sTss01)()( 32123231213321 ????????????????????? Ksss321 ???323121 ????????323121321323121321 )1())((?????????????????????????? KK+1 1KTTT 321???3s2s1s0s要使系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 必須滿足 K+10 通常 ， 系統(tǒng)的時間常數(shù)及放大系數(shù)都大于零 ， 因此 ， 要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足 或 0321 ????0323121 ?????????0321 ??? TTT0)1())((323121321323121321 ??????????????????????????? K)( 321 TTT ?? )( 323121 ???????? 0)1(321 ????? K)()1( 321 TTTK ???? )111(321 ?????當系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 由此可見， 、 、 中只要有一個足夠小，則 就可以增大，決定 大小的，實際上并不是各時間常數(shù)的絕對值，而是其相對值，即決定于各時間常數(shù)的比值。上式變?yōu)? 由此可見，當 時， ，若取 ，則 所以把時間常數(shù)錯開，可使系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)增大。有些文獻上稱之為“ 錯開原理 ” 。 )( 321 TTTK c ??? 1)111(321??????1? 3?2? cKcK2313321231212????????????????? TTK c321 ????T 8?cK 32 ???21 10 ??? ?cK 在系統(tǒng)的分析中 ， 勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 同時還能給出系統(tǒng)的某些參數(shù)的取值范圍 。 但是 ， 它的應用也具有一定的局限性 ， 通常它只能提供系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的結論 ， 而不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)過程 。 此外 ， 當系統(tǒng)不穩(wěn)定時 ， 它不能提供改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法和途徑 。