【正文】 T 2T t 圖 34 一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 三、單位脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù) r (t) = δ(t),其拉氏變換為 R(s)=1, 則輸出響應(yīng)的拉氏變換為 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線 ， 曲線的初始斜率為 ， 輸出量的初始值為 。在整個工作時間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會超過起穩(wěn)態(tài)值。 不過若用它來設(shè)計和校正系統(tǒng) ， 根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) ， 卻存在一定的困難 。 31 引 言 167。 因此 ， 為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計 ， 使各種控制系統(tǒng)有一個進(jìn)行比較的基礎(chǔ) ， 需要選擇一些典型試驗信號作為系統(tǒng)的輸入 ，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的響應(yīng) 。 TtetC ??? 1)( )0( ?tTte??圖 32中指數(shù)響應(yīng)曲線的初 始（ t=0時）斜率為 . 因此，如果系統(tǒng)保 持初始響應(yīng)的變化速度 不變，則當(dāng) t=T時，輸出 量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 T 。 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為 （ 39） 對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 輸出響應(yīng)如圖 39所示 。 當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時，若 阻尼比 在 ～ ， 則系統(tǒng)的過度過程時間比臨 界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴(yán)重。將式（ 320）代入式（ 318）求得輸出量的最大值為 所以 %1 0 0)( )()( ?? ??? C CtC pp?)( ptC )(?C2111)(2?????????etCp )sin( ?? ?21s in)s in ( ???? ??????211)( ??????? etC pp?根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到 ，求得 該式表明 ， 只是 的函數(shù) ， 而與 無關(guān) ， 越小 ,則 越大 。通?？筛鶕?jù)系統(tǒng)對超調(diào)量的限制要求選定 ，然后在根據(jù)其它要求來確定 。 由式（ 327）可以看出，在瞬態(tài)過程中，某衰減項的指數(shù) 或 的值越大，則該項衰減越快，反之亦然。 一、穩(wěn)定的概念和定義 在自動控制理論中 ， 有多種穩(wěn)定性的定義 ，這里只討論其中最常用的一種 ， 即漸近穩(wěn)定性的定義 。 對于大多數(shù)實際系統(tǒng) ， 當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時 ， 也是不能正常工作的 ， 所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 為了簡化運算 ，可以用一個正整數(shù)去乘或除其一行的各項 ， 這將不改變穩(wěn)定性的結(jié)論 。此時，為了確定根的分布情況， 可按下列步驟處理： * 利用第 K1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程分別為 或 由特征方程列勞斯表 321 KKKKsssTKs???????? )1)(1)(1()( 3210)1)(1)(1( 321 ?????? sTss01)()( 32123231213321 ????????????????????? Ksss321 ???323121 ????????323121321323121321 )1())((?????????????????????????? KK+1 1KTTT 321???3s2s1s0s要使系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 必須滿足 K+10 通常 ， 系統(tǒng)的時間常數(shù)及放大系數(shù)都大于零 ， 因此 ， 要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足 或 0321 ????0323121 ?????????0321 ??? TTT0)1())((323121321323121321 ??????????????????????????? K)( 321 TTT ?? )( 323121 ???????? 0)1(321 ????? K)()1( 321 TTTK ???? )111(321 ?????當(dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 由此可見， 、 、 中只要有一個足夠小，則 就可以增大，決定 大小的，實際上并不是各時間常數(shù)的絕對值，而是其相對值，即決定于各時間常數(shù)的比值。 086 24 ??? ss22,1 js ?? 24,3 js ??0?ia0?ia 運用勞斯判據(jù) ， 不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定 ，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響 ， 從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍 。 對于這種情況 ，也可以用 (s+1)因子乘以原特征方程 ， 然后按新的特征方程計算勞斯表 。 2. 勞斯判據(jù) ? 應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時 ， 可按下述方法進(jìn)行 。 根據(jù)這個思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 。 35 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 假設(shè)系統(tǒng)所有零點 、 極點互不相同 ， 且極點中 q個實數(shù)極點和 r對復(fù)數(shù)極點 ， 零點中只有實數(shù)極點 ， 則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 式中 n=q+2r 011011......)(asasabsbsbsnnnnmmmm????????????sssPsZsKsRssCrknknkkqiimjjr1)2()()()()()(12211?????????????????將上式展開成部分分式 ， 得 式中 、 、 和 都是進(jìn)行部分分式展開時所確定的常數(shù) 。 若取 ， ， 若取 ， 振蕩次數(shù)只與阻尼比 有關(guān)。 當(dāng) 一定時 ， 越小 ， 也越小 。系統(tǒng)輸出為衰減正弦振蕩過程。于是有 式中 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 1，瞬態(tài)分量 是一個隨時間 t的增大而衰減的 正弦振蕩過程。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 K為系統(tǒng)的開環(huán)放 大系數(shù)， T為時間常數(shù)。 一階系統(tǒng)的單 位脈沖響應(yīng)曲線如圖 34所示 。 一 、 單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù) r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 , 則輸出的拉氏變換為 ssR1)( ?TsssTssC1111.11)(?????對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為 上式表明，當(dāng)初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線 ,式中的 1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時 ，瞬態(tài)分量衰減為零。 時域分析法的物理概念清晰 ， 準(zhǔn)確度較高 ，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后 ， 使用時域分析法比較方便 。 32 一階系統(tǒng)的時域響應(yīng) 167。 常用的試驗信號是 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù) 、 拋物線函數(shù) 、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù) 。 實際上，響應(yīng)曲線的斜率是 不斷下降的，經(jīng)過 T時間后，輸出量 C（ T） 從零上升到穩(wěn)態(tài)值的 %。 T值越小 ， 系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好 ， 精度越高 。 02 22 ??? nn ss ???122,12,1 ????? ???? nnPs?ssssRssC nnn 1.2)()()( 222??????????（一） 過阻尼（ 1）的情況 當(dāng) 1時，系統(tǒng)具有兩個不相等的負(fù)實數(shù)極點， 它們在 S平面上的位置如圖 36 所示。 21s in ?? ???? ?co s?)143(0)s i n (11)( 2 ???????ttetC dtn???????? 21 ?? a rc tg ?? a rc c o s?t C(t) 1 0 圖 39 欠阻尼響應(yīng) d??n?n??（三）臨界阻尼 （ ）的情況 當(dāng) 時，系統(tǒng)具有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點， ，如圖 310所示。 ????)(tC0????????1??2??tn? 圖 313 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 一般希望二階系統(tǒng)工作在 =～ 狀態(tài)下，在工程實際中，通常選取 作為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。 當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比 確定后 ， 即可求得對應(yīng)的 超調(diào)量 。 例 31 設(shè)控制系統(tǒng) 如圖 316所示。而 和 就是系統(tǒng)的極點到虛軸的距離，因此，如果分布在 S平面左半部分的極點離虛軸越遠(yuǎn)，則它對應(yīng)的分量衰減越快。 穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例 ? ?39。 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實部 ， 或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于為 S平面的左半部分 （ 不包括虛軸 ） 。 121211)(ccbbcd ??131312)(ccbbcd ??… … … … 131512 bbaabc nn ?? ??141713 bbaabc nn ?? ??121311 bbaabc nn ?? ??… … … … 勞斯穩(wěn)定判據(jù) （ 1） 勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況 如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 * 求輔助方程對 s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的 K行，繼續(xù)計算勞斯表。上式變?yōu)? 由此可見，當(dāng) 時， ，若取 ，則 所以把時間常數(shù)錯開，可使系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)增大。 若計算勞斯表時出現(xiàn)情況（ 2）和（ 3），此時為確定系數(shù)極點的分布情況，可按情況（ 2）和（ 3）的方法處理。 解： 由特征方程列出勞斯表 1 2 5 1 2 0 5 5 當(dāng) ?的取值足夠小時 ， (2e5)/e=25/e 將取負(fù)值 ， 故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次 ， 由勞斯判據(jù)可知 ， 特征方程有兩個根具有正實部 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 但是 ， 當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時 ， 并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的 ， 為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 可以使用勞斯判據(jù) 。 設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時 ， 輸入一個理想單位脈沖 ， 這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下 ， 受到一個擾動信號的作用 ， 如果當(dāng) t趨于 時 ，系統(tǒng)的輸出響應(yīng) C(t)收斂