【正文】 介紹。 因此，為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗(yàn)它們是否都具有負(fù)實(shí)部。 ? 如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根 ， 而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部 ， 則 C（ t） 趨于常數(shù)或作等幅振蕩 ，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài) ， 常稱(chēng)之為臨界穩(wěn)定狀態(tài) 。 設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí) ， 輸入一個(gè)理想單位脈沖 ， 這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下 ， 受到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用 ， 如果當(dāng) t趨于 時(shí) ，系統(tǒng)的輸出響應(yīng) C(t)收斂到原來(lái)的零平衡狀態(tài) ，即 該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的 。 否則 ， 稱(chēng)該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 圖 3－ 17為穩(wěn)定的系統(tǒng)。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。 167。 如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn) （ 或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ） 離虛軸最近 ， 且其附近又無(wú)零點(diǎn)存在 ， 而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上 ， 則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè) （ 或這對(duì) ） 極點(diǎn)來(lái)確定 ， 而其它極點(diǎn)的影響可 以忽略不計(jì) ， 這個(gè) （ 或這對(duì) ） 極點(diǎn)就稱(chēng)為高階系統(tǒng)的 主導(dǎo)極點(diǎn) 。 iP nkk??i? kCkBiP nkk??iP nkk?? 各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在 S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在 S平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí)，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。 下面簡(jiǎn)單地介紹高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑 。 在控制工程中 ， 大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 。 n? ? p? st)( ?? ? rt pt?n?tK 將上式與式（ 36）相比較得 解得 , 根據(jù)式 （ 319） 、 （ 320） 、 （ 321） 、 （ 324） 、 （ 325） 計(jì)算上升時(shí)間 1010)(2 ???? sss12 ?n??102 ?n??? ?n?R(s) E(s) )1(10?ssC(s) (a) (b) R(s) E(s) C(s) )1(10?sssKt圖 316 例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 11221???????????nrtgt （秒） 解 系統(tǒng)（ a） 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 峰值時(shí)間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間 振蕩次數(shù) 系統(tǒng) （ b） 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 2??????npt（秒） %%1 0 021 ??? ?????? ep63 ??nst ??（秒） )( ??2??? ?? ?N （次） )( ??10)101(10)(2 ????? sKsst將上式與式（ 36）相比較得 將 代入，解得 由 和 可求得 通過(guò)上述計(jì)算可知 ， 采用速度反饋后 ， 可以明顯地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 。 dsTtN ?dd TT?2???nst ??3???? ????nst ??4???? 212 ??N??n??n? rt pt ststp?當(dāng)保持 不變時(shí)，增大 可使 和 下降 ,但使 和 上升，顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統(tǒng)具有滿意的動(dòng)態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無(wú)阻尼自振蕩率。 根據(jù)定義，振蕩次數(shù) 式中 稱(chēng)為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。由于 是閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的數(shù)值， 越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn)，因此，可以近似地認(rèn)為調(diào)節(jié)時(shí)間 與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。 一般當(dāng) 時(shí)，相應(yīng) 的超調(diào)量 。 超調(diào)量可表示為 式中 為輸出量的最大值， 為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。 ?? kt pd ?pt21 ????????ddpt（ 3－ 20） 可見(jiàn) ， 當(dāng) 一定時(shí) ， 越大 ， 越小 ， 反應(yīng)速度越快 。 系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為 (318) )s i n (11)(2??????????tetC dtn )0( ?t對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖 314 所示下面就根據(jù)式（ 318） 和圖 314所示曲線來(lái)定 義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) ， 同時(shí)討論性能指標(biāo)與特征 量之間的關(guān)系 。為了定量地評(píng)價(jià)二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析 和 對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響 ， 并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo) 。從過(guò) 渡過(guò)程持續(xù)的時(shí)間看，當(dāng)系 統(tǒng)無(wú)振蕩時(shí)，以臨界阻尼時(shí) 過(guò)渡過(guò)程的時(shí)間最短，此時(shí)， 系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。 若選取 為橫坐標(biāo) ， 可以作出不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲 線 , n?d??0??tn? —— 無(wú)阻尼自然振蕩頻率 ， 此時(shí)系統(tǒng)輸出為 等幅振蕩 —— 阻尼振蕩頻率。 綜上所述 ， 不難看出頻率 和 的物理意義 。 是輸出響應(yīng)的單調(diào)和 振蕩過(guò)程的分界 ， 通常稱(chēng) 為臨界阻尼狀態(tài) 。 此時(shí)系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài) 。 根據(jù)式（ 244）求得 ， ， 令 , ，其中 角如圖 38所示。 ?C(t) t o 1 圖 37 過(guò)阻尼響應(yīng) 2p1p tpe 2 tpe 12p??1?? 它們?cè)?S平面上的位置如圖 38 所示。 1])([ 00 ???? ?sssC1211 12)]()([1 ppssC nps??????? ???2222 12)]()([2 ppssC nps????????? ??)(121)(21221pepetC tptpn ?????? )0( ?t0A 1A 2A當(dāng) １時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn) 比 距虛軸遠(yuǎn)的多，故 比 衰減快的多。 )()()()(22tKrtKcdt tdcdt tcdT ???22222)()()(nnnssRsCs?????????(36) TKn ??TK21??系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （ 37） 它的兩個(gè)根為 （ 38） 二階系統(tǒng)特征根 （ 即閉環(huán)極點(diǎn) ） 的形式隨著阻尼比 取值的不同而不同 。 )1( ?Tss KC(t) R(t) _ C(t) 圖 35 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 KsTsKsRsCs????? 2)()()( （ 3－ 5） 設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 35所示。 因此 ， 在后面的分析中 ， 我們將主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 21T?T1比較一階系統(tǒng)對(duì)上述信號(hào)的輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn) ，脈沖響應(yīng) 、 階躍響應(yīng) 、 斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 由上面的分析可見(jiàn) ， 一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來(lái)表述 ， 響應(yīng)時(shí)間為 （ 34） T； 在 t=0時(shí) ， 單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為 。 )1()()()( TteTtctrte ?????Ttet???)(lim 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得單位脈沖響應(yīng)為 由此可見(jiàn) ， 系統(tǒng)的單位脈沖 響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 的拉氏變換 。 式中， tT為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時(shí)， 瞬態(tài)分量衰減到零。可見(jiàn)，時(shí)間常數(shù) T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度， T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過(guò)程的快速性也越好。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖 32所示。 系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系為 對(duì)應(yīng)的微分方程為 11)()()(???? TssRsCs （ 3－ 3 在零初始條件下 ， 利用拉氏反變換或直接求解微分方程 ， 可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng) 。 本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)等輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng) 。 如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，則選用階躍函數(shù)較合適。 在工程實(shí)際中 ， 有些系統(tǒng)的 輸入信號(hào)是已知的 （ 如恒值系統(tǒng) ） ， 但對(duì)有些控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō) ， 常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的 （ 如隨動(dòng)系統(tǒng) ） 。 ? 穩(wěn)態(tài)分量 是過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后 ,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài) ，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分 ， 它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差 。 一旦獲得合理的數(shù)學(xué)模型 ， 就可以采用不同的分析方法來(lái)分析系統(tǒng)的性能 。 34 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 167。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 31 引 言 分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。 ? 瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的 ， 隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分 ， 它提供了系統(tǒng)在過(guò)度過(guò)程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息 。 為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng) ， 必須了解輸入信號(hào)的變化形式 。 這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù) ， 并且易于通過(guò)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生 ， 便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究 。此外，在選取試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，除應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號(hào)作為典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)。 圖 32 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 C(s) R(s) Ts1Ts1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )(11)().()( sRTssRssC ????)()()()( trtctdtdcT ??可見(jiàn)，典型的一階系統(tǒng)是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，而 T也是閉環(huán)系統(tǒng)的慣性時(shí)間常數(shù)。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱(chēng)為非周期響應(yīng)。經(jīng)過(guò) 3T～ 4T時(shí)， C（ t） 將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%。 此外 ， 用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開(kāi)始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的 %所需的時(shí)間 ， 就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) T。即 且 可見(jiàn)，當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí)，誤差趨近于 T， 因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量 c (t) 將小于輸入量 r(t)一個(gè) T的值，時(shí)間常數(shù) T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。當(dāng) t趨于 ∞ 時(shí) ， 輸出量 c (∞) 趨于零 ， 所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量在實(shí)際中一般認(rèn)為在 t=3T～ 4T時(shí)過(guò)度過(guò)程結(jié)束 ， 故系統(tǒng)過(guò)度過(guò)程的快速性取決于 T的值 ，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好 。 按照脈沖函數(shù) ， 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù)的順序 ， 前者是后者的導(dǎo)數(shù) ， 而后者是前者的積分 。 這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征 ， 它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng) ， 也適用于高階線性定常系統(tǒng) 。在控制工程實(shí)踐中 ， 二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛 ， 此外 ， 許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來(lái)研究 ， 因此 ， 詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義 。 為了分析方便 ，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫(xiě)成如下形式 式中 ， 稱(chēng)為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率 ， （ 簡(jiǎn)稱(chēng)為無(wú)阻尼自振頻率 ）