【正文】 但是 ， 它的應(yīng)用也具有一定的局限性 ， 通常它只能提供系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的結(jié)論 ， 而不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)過程 。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)和特征方程分別為 或 由特征方程列勞斯表 321 KKKKsssTKs???????? )1)(1)(1()( 3210)1)(1)(1( 321 ?????? sTss01)()( 32123231213321 ????????????????????? Ksss321 ???323121 ????????323121321323121321 )1())((?????????????????????????? KK+1 1KTTT 321???3s2s1s0s要使系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 必須滿足 K+10 通常 ， 系統(tǒng)的時間常數(shù)及放大系數(shù)都大于零 ， 因此 ， 要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足 或 0321 ????0323121 ?????????0321 ??? TTT0)1())((323121321323121321 ??????????????????????????? K)( 321 TTT ?? )( 323121 ???????? 0)1(321 ????? K)()1( 321 TTTK ???? )111(321 ?????當(dāng)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時 由此可見， 、 、 中只要有一個足夠小，則 就可以增大，決定 大小的，實(shí)際上并不是各時間常數(shù)的絕對值，而是其相對值，即決定于各時間常數(shù)的比值。 086 24 ??? ss22,1 js ?? 24,3 js ??0?ia0?ia 運(yùn)用勞斯判據(jù) ， 不僅可以判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定 ，還可以用來分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對穩(wěn)定性產(chǎn)生的影響 ， 從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍 。 當(dāng)特征方程的系數(shù)滿足 (i=0,1,2,…… n)時，計算勞斯表。 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 0 0 0 由上表看出， 行的各項(xiàng)全為零，為了求出 ～ 各行，由 行的各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成輔助方程 將輔助方程對 s求導(dǎo)得 用上式各項(xiàng)系數(shù)作為 行的各系數(shù)繼續(xù)計算勞斯表得 6s3s4s5s3s4s016122)( 24 ????? sss3s 0s0248)( 2 ???? ssds sd3s例 36 已知系統(tǒng)的特征方程為 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。此時，為了確定根的分布情況， 可按下列步驟處理： * 利用第 K1行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程。 對于這種情況 ，也可以用 (s+1)因子乘以原特征方程 ， 然后按新的特征方程計算勞斯表 。 解 列勞斯表如下 S4 1 1 1 S3 2 1 0 S2 (2*1－ 1*1)/2=1/2 (2*1－ 1*0)/2=1 S1 (1*1－ 2*2)/1=－ 3 S0 (－ 3*2－ 1*0)/－ 3= 2 由于勞斯表第一列的系數(shù)變號兩次，一次由 1/2變?yōu)?3 ， 另一次由 3變?yōu)?2，故特征方程有兩個根在 S平面右半部 分，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 021017146 2345 ?????? sssss解 列勞斯表 勞斯表第一列的系數(shù)符號相同，故系統(tǒng)的是穩(wěn)定的。 為了簡化運(yùn)算 ，可以用一個正整數(shù)去乘或除其一行的各項(xiàng) ， 這將不改變穩(wěn)定性的結(jié)論 。 2. 勞斯判據(jù) ? 應(yīng)用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時 ， 可按下述方法進(jìn)行 。 穩(wěn)定的必要條件 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為 式中 （當(dāng) 時，可將方程兩邊同乘以 1）。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對低階系統(tǒng)尚可以進(jìn)行，而對高階系統(tǒng)，將會遇到較大的困難。 對于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng) ， 當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時 ， 也是不能正常工作的 ， 所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 根據(jù)這個思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 。 在下面的討論中 ， 如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上 ， 則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號的變化均不超出其線性范圍 。 圖 3－ 18為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 一、穩(wěn)定的概念和定義 在自動控制理論中 ， 有多種穩(wěn)定性的定義 ，這里只討論其中最常用的一種 ， 即漸近穩(wěn)定性的定義 。 35 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對系統(tǒng)過渡過程的影響就越小。 由式（ 327）可以看出，在瞬態(tài)過程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù) 或 的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。 設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn) 、 極點(diǎn)互不相同 ， 且極點(diǎn)中 q個實(shí)數(shù)極點(diǎn)和 r對復(fù)數(shù)極點(diǎn) ， 零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn) ， 則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 式中 n=q+2r 011011......)(asasabsbsbsnnnnmmmm????????????sssPsZsKsRssCrknknkkqiimjjr1)2()()()()()(12211?????????????????將上式展開成部分分式 ， 得 式中 、 、 和 都是進(jìn)行部分分式展開時所確定的常數(shù) 。 從理論上講 ， 高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應(yīng) ， 然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) 。 tn K1012 ???? 102 ?n???1012 ??? ntK?? 10 ?????102)( ???? sss?? ?n?%?p? ??N?rt （秒） ?pt （秒） ?st（秒） 例 3—2 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為 試確定參數(shù) K和 a的值 。通?？筛鶕?jù)系統(tǒng)對超調(diào)量的限制要求選定 ，然后在根據(jù)其它要求來確定 。 若取 ， ， 若取 ， 振蕩次數(shù)只與阻尼比 有關(guān)。在設(shè)計系統(tǒng)時， 通常由要求的超調(diào)量所決定，而調(diào)節(jié)時間 則由自然振蕩頻率 所決定。 與 關(guān)系曲線如圖 315所示。將式（ 320）代入式（ 318）求得輸出量的最大值為 所以 %1 0 0)( )()( ?? ??? C CtC pp?)( ptC )(?C2111)(2?????????etCp )sin( ?? ?21s in)s in ( ???? ??????211)( ??????? etC pp?根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到 ，求得 該式表明 ， 只是 的函數(shù) ， 而與 無關(guān) ， 越小 ,則 越大 。 當(dāng) 一定時 ， 越小 ， 也越小 。 上升時間 響應(yīng)曲線從零開始上升 ， 第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的 時間，稱為上升時間。 除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外 ， 通常希望二階系統(tǒng)工作在 =～ 。 當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時，若 阻尼比 在 ～ ， 則系統(tǒng)的過度過程時間比臨 界阻尼時更短，而且此時的振蕩特性也并不嚴(yán)重。系統(tǒng)輸出為衰減正弦振蕩過程。 n?n?d?圖 312 無阻尼時的極點(diǎn)分布和響應(yīng) ?jn?1P2P[s] ?o 0??(a) C(t) (b) 1 t o 當(dāng) ,系統(tǒng)具有實(shí)部為正的極點(diǎn) ,輸出響應(yīng)是發(fā)散的 ， 此時系統(tǒng)已無法正常工作 。 （四）無阻尼（ ）的情況 當(dāng) 時，系統(tǒng)具有一對共軛純虛數(shù)極點(diǎn) ,它們在 S平面上的位置如圖 312（ a）所示 。 輸出響應(yīng)如圖 39所示 。于是有 式中 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 1，瞬態(tài)分量 是一個隨時間 t的增大而衰減的 正弦振蕩過程。此時，式（ 39）可寫成 （ 312） 21 1 ???? ???? nn jp22 1 ???? ???? nn jp))(()(2dndnnjsjsssC ????????????1P2P?21 ?? ?n?jn?n???[s] o ?10 ???圖 38 欠阻尼時的極點(diǎn)分布 22210)( dnsss ??? ????????(二 )欠阻尼（ ）的情況 當(dāng) 時，系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，且在 S平面的左半部分，即 10 ???10 ???將它們代入式（ 312）并將式中的第二項(xiàng)分成兩項(xiàng)得 因?yàn)? 2222 )()(1)(dnndnnsssssC ??????????????????tes s dtdnn n ?????? ?? c o s])([163。因此，可以忽略 對系統(tǒng)輸出的影響，從而把二階 系統(tǒng)近似看作一階系統(tǒng)來處理。 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為 （ 39） 對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 K為系統(tǒng)的開環(huán)放 大系數(shù)， T為時間常數(shù)。 167。 這表明 ， 系統(tǒng)對某種輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng) ， 等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 。單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 T 。 一階系統(tǒng)的單 位脈沖響應(yīng)曲線如圖 34所示 。一階 系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 如圖 33所示。 T