【正文】 的關(guān)系 解 系統(tǒng)的開環(huán) 傳遞函數(shù)為 1? 3?2?)1)(1)(1()( 321 ??????? sssKsGR(s) 11 1?sTK 12 2?sTK 13 3?sTKC(s) 圖 321 例 38系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中 K= ， 為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù) 。當(dāng)特征方程的系數(shù)不滿足 (i=0,1,2,…… n)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯 然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 5s4s3s0s1s2s例 3－ 4 已知系統(tǒng)的特征方程為 s4+2s2+s2+s+1=0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 這個(gè)計(jì)算過程一直進(jìn)行到 n+1行為止 。至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析法等，將在以后的各章中分別予以介紹。 ? 如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根 ， 而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部 ， 則 C（ t） 趨于常數(shù)或作等幅振蕩 ，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài) ， 常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài) 。 否則 ， 稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。 如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn) （ 或一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ） 離虛軸最近 ， 且其附近又無零點(diǎn)存在 ， 而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上 ， 則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè) （ 或這對 ） 極點(diǎn)來確定 ， 而其它極點(diǎn)的影響可 以忽略不計(jì) ， 這個(gè) （ 或這對 ） 極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的 主導(dǎo)極點(diǎn) 。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在 S平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng) t趨于無窮大時(shí)，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。 在控制工程中 ， 大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 。 dsTtN ?dd TT?2???nst ??3???? ????nst ??4???? 212 ??N??n??n? rt pt ststp?當(dāng)保持 不變時(shí)，增大 可使 和 下降 ,但使 和 上升，顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的，要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能，必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。由于 是閉環(huán)極點(diǎn)實(shí)部的數(shù)值， 越大，則閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn)，因此，可以近似地認(rèn)為調(diào)節(jié)時(shí)間 與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。 超調(diào)量可表示為 式中 為輸出量的最大值， 為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。 系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為 (318) )s i n (11)(2??????????tetC dtn )0( ?t對應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖 314 所示下面就根據(jù)式（ 318） 和圖 314所示曲線來定 義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) ， 同時(shí)討論性能指標(biāo)與特征 量之間的關(guān)系 。從過 渡過程持續(xù)的時(shí)間看，當(dāng)系 統(tǒng)無振蕩時(shí)，以臨界阻尼時(shí) 過渡過程的時(shí)間最短，此時(shí)， 系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。 綜上所述 ， 不難看出頻率 和 的物理意義 。 此時(shí)系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài) 。 ?C(t) t o 1 圖 37 過阻尼響應(yīng) 2p1p tpe 2 tpe 12p??1?? 它們在 S平面上的位置如圖 38 所示。 )()()()(22tKrtKcdt tdcdt tcdT ???22222)()()(nnnssRsCs?????????(36) TKn ??TK21??系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （ 37） 它的兩個(gè)根為 （ 38） 二階系統(tǒng)特征根 （ 即閉環(huán)極點(diǎn) ） 的形式隨著阻尼比 取值的不同而不同 。 因此 ， 在后面的分析中 ， 我們將主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 由上面的分析可見 ， 一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來表述 ， 響應(yīng)時(shí)間為 （ 34） T； 在 t=0時(shí) ， 單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為 。 式中， tT為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時(shí)， 瞬態(tài)分量衰減到零。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖 32所示。 本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)等輸入信號作用下的輸出響應(yīng) 。 在工程實(shí)際中 ， 有些系統(tǒng)的 輸入信號是已知的 （ 如恒值系統(tǒng) ） ， 但對有些控制系統(tǒng)來說 ， 常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的 （ 如隨動系統(tǒng) ） 。 一旦獲得合理的數(shù)學(xué)模型 ， 就可以采用不同的分析方法來分析系統(tǒng)的性能 。第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 167。 31 引 言 分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。 為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng) ， 必須了解輸入信號的變化形式 。此外，在選取試驗(yàn)信號時(shí)，除應(yīng)盡可能簡單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實(shí)驗(yàn)信號。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。 此外 ， 用實(shí)驗(yàn)的方法測定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的 %所需的時(shí)間 ， 就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) T。當(dāng) t趨于 ∞ 時(shí) ， 輸出量 c (∞) 趨于零 ， 所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量在實(shí)際中一般認(rèn)為在 t=3T～ 4T時(shí)過度過程結(jié)束 ， 故系統(tǒng)過度過程的快速性取決于 T的值 ，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好 。 這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征 ， 它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng) ， 也適用于高階線性定常系統(tǒng) 。 為了分析方便 ，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫成如下形式 式中 ， 稱為無阻尼自然振蕩角頻率 ， （ 簡稱為無阻尼自振頻率 ） ， 稱為阻尼系數(shù) （ 或阻尼比 ） 。 通常，稱 阻尼比 時(shí)二階系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)為過阻尼狀態(tài) 。 衰減速度取決于 的大小 。 響應(yīng)曲線如圖 3 –12（ b） 所示 。由圖可見， 越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著 增大到一定程度后，響應(yīng) 特性變成單調(diào)上升的。 控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來說是與初始條件有關(guān)的 ， 為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量 ， 通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零 。 ?n?ptn??ptd?d?pt21 ????????ddpt（ 3－ 20） 超調(diào)量 在響應(yīng)過程中 ， 輸出量 C（ t） 超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量 。 根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義應(yīng)有下式成立 式中 （ 或 ） 將式 （ 318） 及 代入上式得 為簡單起見 ， 可以采用近似的計(jì)算方法 ， 忽略正弦函數(shù)的影響 ， 認(rèn)為指數(shù)項(xiàng)衰減到 （ 或 ）時(shí) ， 過渡過程即進(jìn)行完畢 ， 于是得到 st%5? %2?)()()( ?????? CCtC )( stt ??? 1)( ??C?????)s in (1 2?????te dtn)( stt ? 由此可求得 若取 ，則得 若取 ，則得 ????21 ??? tne)( stt ?)11ln1( l n111ln122 ?????? ???????nnst??nst ??? 211ln3?????(322) nst ??? 211ln4??? (323) 在 時(shí)，上面兩式可分別近似為 和 該式表明，調(diào)節(jié)時(shí)間 近似與 成反比。當(dāng)保持 不變時(shí)，提高 可使 、 、 下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時(shí)系統(tǒng)的快速性，同時(shí)保持 和 N不變。 34 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階 ， 則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng) 。 ? ?? ? ???????????qirk nknkkknkknkkkiissCsBPsssC 1 1 222021)()( ???????0? i? k? kC? ?? ?? ????????qiknkrktktpi teetCnkki1210 )1c o s ()( ??????? ??? rknktk teC nkk12 )1s in ( ???? )0( ?t(327) 各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù) 、 的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù) 、 、 的大小。 因此 ， 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來決定 。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用 ， 偏離了原來的平衡狀態(tài) ， 而當(dāng)擾動消失后 ， 系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài) ， 則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的 （ 簡稱為穩(wěn)定 ） 。 ? 如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部 ， 則該根對應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的 ， 此時(shí)有 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根具有負(fù)實(shí)部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法 ， 可以計(jì)算 c , d, … … e , f , g各行的系數(shù) 。 本例中，勞斯表可按如下方法計(jì)算； 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以 6) 791 134 （同乘以 67） 36900 （同乘以 791） 134 由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結(jié)論與前面一致。 057432)1)(522( 2345234 ???????????? ssssssssss5s0s1s2s3s4s例如 ， ， 等等。 但由于 行的各項(xiàng)均為零 ， 這表明系統(tǒng)有共軛虛根 ， 所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 ， 共軛虛根可由輔助方程求得 ， 即由 6s1s2s3s4s5s0s3s016122 24 ??? ss 或 解得 綜上所述，應(yīng)用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，一般可以按如下順序進(jìn)行： 確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。 當(dāng) 時(shí) , 試確定 K為何值時(shí) ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。