【正文】 征方程的所有根互不相同 ， 且有 q個(gè)實(shí)數(shù)根 和 r對共軛復(fù)數(shù)根 ,則在單位脈沖函數(shù) 的作用下 ， 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為 將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得 （ 328） 式中 0... 011 ???? ?? asasa nnnni?21 ???? ??? nknkk j)(t?1)2()()()(1 1221??????? ??? ??qirknknkkimjjrssPsZsKsC???? ?? ??? ?????qirkdkkdkktti tCteetCnkki1 1)s i nc o s()( ????21 ??? ?? nkdk 式 （ 328） 表明 ? 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí) ， 則各瞬態(tài)分量都是衰減的 ， 且有 ， 此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部 ， 或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為 S平面的左半部分 （ 不包括虛軸 ） 。因此，人們希望尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法，而勞斯判據(jù)就是其中的一種。若該方程的特征根為 （ 1,2,… .n） ,該 n個(gè)根可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則式（ 329）可改寫成為 將上式展開 0. . . . . . 0111 ????? ?? asasasa nnnn0?na 0?naip0)) . . . . . . ()((...... 210111 ????????? ?? nnnnnnn pspspsaasaasaas（ 3－ 29） ). . .. . .( 211 nnnaa ?????????nnnnaa ???????????????????1423231212 ............nnnaa ?????? ......)1(210…… 由此可見，如果特征方程的根 都具有負(fù)實(shí)部，則式（ 329）的所有系數(shù) 必然都大于零。 將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式 0. . . . .. 0111 ????? ?? asasasa nnnn )0( 0?a? 將方程各項(xiàng)系數(shù)組成勞斯表 … ns na 2?na 6?na4?na1?ns 7?na5?na3?na1?na2?ns 1b 4b3b2b… … … 3?ns 1c 4c3c2c … … … 4?ns1 d 4 d3 d2 d2s 1e 2e1s 1f0s 1g… … … … … … … … … ?計(jì)算勞斯表的各系數(shù) 13211???? ??nnnnnaaaaab15412???? ??nnnnnaaaaab17613???? ??nnnnnaaaaabib…… 系數(shù)的計(jì)算一直進(jìn)行到其余的 b值全部等于零為止 。 121211)(ccbbcd ??131312)(ccbbcd ??… … … … 131512 bbaabc nn ?? ??141713 bbaabc nn ?? ??121311 bbaabc nn ?? ??… … … … 勞斯穩(wěn)定判據(jù) （ 1） 勞斯表第一列所有系數(shù)均不為零的情況 如果勞斯表中第一列的系數(shù)都具有相同的符號 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定的 ， 否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 由于判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定只與勞斯表中第一列系數(shù)的符號有關(guān)，而把勞斯表中某一行系數(shù)同乘以一個(gè)正數(shù)不會改變第一列系數(shù)的符號，所以為簡化運(yùn)算，常把勞斯表的某一行同乘以以一個(gè)正數(shù)后，再繼續(xù)運(yùn)算。 (2) 勞斯表某行的第一列系數(shù)等于零，而其余各項(xiàng)不全為零的情況 當(dāng)勞斯表某一行的第一列系數(shù)為零，而其余項(xiàng)不全為零，可用一個(gè)很小的正數(shù) ? 代替第一列的零項(xiàng)，然后按照通常方法計(jì)算勞斯表中的其余項(xiàng)。 例如在上例中用 (s+1)乘以原特征方程得 4s1s3s0s2s 0 e ?（ 2 e5） / e 0522 234 ????? ssss 勞斯表為 1 3 7 2 4 5 2 9 （同乘以 2） 10 10 11 10 顯然 ， 勞斯表第一列系數(shù)變號兩次 ， 其結(jié)論與前面是一致的 。 * 求輔助方程對 s的導(dǎo)數(shù)，將其系數(shù)代替原全部為零的 K行，繼續(xù)計(jì)算勞斯表。 解 由特征方程列勞斯表 01616202282 23456 ??????? ssssss 1 8 20 16 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 8/3 16 由于勞斯表第一列系數(shù)符號都相同 ， 因此 ， 可以確定沒有特征方程根分布在 S平面的右半部分 。當(dāng)勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 例 37 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 320所示 。上式變?yōu)? 由此可見，當(dāng) 時(shí)， ，若取 ，則 所以把時(shí)間常數(shù)錯開，可使系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)增大。 此外 ， 當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí) ， 它不能提供改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法和途徑 。 )( 321 TTTK c ??? 1)111(321??????1? 3?2? cKcK2313321231212????????????????? TTK c321 ????T 8?cK 32 ???21 10 ??? ?cK 在系統(tǒng)的分析中 ， 勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 同時(shí)還能給出系統(tǒng)的某些參數(shù)的取值范圍 。 解 圖 320的開環(huán)傳遞函數(shù)為 其閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ???n?)2()()(22nnsskssG??????R(s) E(s) 1 + C(s) sK)2( nnss ????222322)()(nnnnKssskss???????????圖 320 例 37系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 特征方程為 將 ， 代入特征方程得 由特征方程列勞斯表 1 7500 7500K 7500K 要使系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 必須滿足 02 2223 ???? nnn Ksss ?????? ?n?07 5 0 07 5 0 23 ???? Ksss75007500346 K??3s2s1s0s07500 ?k 7 5 0 07 5 0 ??? K解不等式得 K 〉 0， K〈 因此，要使不等式穩(wěn)定，參數(shù) K的取值范圍是 0 〈 K 〈 例 38 已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 321所示，求系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的放大系數(shù)及它與參數(shù) 、 、 之間的關(guān)系 解 系統(tǒng)的開環(huán) 傳遞函數(shù)為 1? 3?2?)1)(1)(1()( 321 ??????? sssKsGR(s) 11 1?sTK 12 2?sTK 13 3?sTKC(s) 圖 321 例 38系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 其中 K= ， 為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù) 。 若計(jì)算勞斯表時(shí)出現(xiàn)情況（ 2）和（ 3），此時(shí)為確定系數(shù)極點(diǎn)的分布情況，可按情況（ 2）和（ 3）的方法處理。當(dāng)特征方程的系數(shù)不滿足 (i=0,1,2,…… n)時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 ???? jw??? jw???? ?(3)勞斯表某行所有系數(shù)均為零的情況 如果勞斯表中某一行（如第 K行）各項(xiàng)為零，這說明在S平面內(nèi)存在以原點(diǎn)為對稱的特征根。顯 然，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 解： 由特征方程列出勞斯表 1 2 5 1 2 0 5 5 當(dāng) ?的取值足夠小時(shí) ， (2e5)/e=25/e 將取負(fù)值 ， 故勞斯表第一列系數(shù)變號兩次 ， 由勞斯判據(jù)可知 ， 特征方程有兩個(gè)根具有正實(shí)部 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 5s4s3s0s1s2s例 3－ 4 已知系統(tǒng)的特征方程為 s4+2s2+s2+s+1=0 試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 1 14 10 6 17 2 5s4s3s 6676 171146 ???? 6586 21106 ????677 9 1667658617667????2s2667062667????1s 7 9 16 1 5 0677 9 12667658677 9 1????0s 2 例 33 已知系統(tǒng)的特征方程為 試用勞斯判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 這個(gè)計(jì)算過程一直進(jìn)行到 n+1行為止 。 但是 ， 當(dāng)特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時(shí) ， 并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的 ， 為了進(jìn)一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 ， 可以使用勞斯判據(jù) 。至于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的其它方法如奈氏判據(jù)、根軌跡圖分析法、伯德圖分析法等，將在以后的各章中分別予以