【正文】 第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 167。 31 引 言 167。 32 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 34 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 35 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 167。 36 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 167。 31 引 言 分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。 一旦獲得合理的數(shù)學(xué)模型 ， 就可以采用不同的分析方法來(lái)分析系統(tǒng)的性能 。 經(jīng)典控制理論中常用的工程方法有 ? 時(shí)域分析法 ? 根軌跡法 ? 頻率特性法 分析內(nèi)容 ? 瞬態(tài)性能 ? 穩(wěn)態(tài)性能 ? 穩(wěn)定性 時(shí)域分析法在時(shí)間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)的作用下 ， 其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的方法 。對(duì)于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng) ， 輸出 響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量 。 ? 瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的 ， 隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分 ， 它提供了系統(tǒng)在過(guò)度過(guò)程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息 。 ? 穩(wěn)態(tài)分量 是過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后 ,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài) ，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分 ， 它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差 。 時(shí)域分析法的物理概念清晰 ， 準(zhǔn)確度較高 ，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后 ， 使用時(shí)域分析法比較方便 。 不過(guò)若用它來(lái)設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng) ， 根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來(lái)選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) ， 卻存在一定的困難 。 為了研究控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng) ， 必須了解輸入信號(hào)的變化形式 。 在工程實(shí)際中 ， 有些系統(tǒng)的 輸入信號(hào)是已知的 （ 如恒值系統(tǒng) ） ， 但對(duì)有些控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō) ， 常常不能準(zhǔn)確地知道其輸入量是如何變化的 （ 如隨動(dòng)系統(tǒng) ） 。 因此 ， 為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì) ， 使各種控制系統(tǒng)有一個(gè)進(jìn)行比較的基礎(chǔ) ， 需要選擇一些典型試驗(yàn)信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入 ，然后比較各種系統(tǒng)對(duì)這些輸入信號(hào)的響應(yīng) 。 常用的試驗(yàn)信號(hào)是 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù) 、 拋物線函數(shù) 、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù) 。 這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù) ， 并且易于通過(guò)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生 ， 便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究 。 如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，則選用階躍函數(shù)較合適。需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號(hào)，對(duì)同一系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，其過(guò)渡過(guò)程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。此外，在選取試驗(yàn)信號(hào)時(shí)，除應(yīng)盡可能簡(jiǎn)單，以便于分析處理外，還應(yīng)選擇那些能使系統(tǒng)工作在最不利的情況下的輸入信號(hào)作為典型實(shí)驗(yàn)信號(hào)。 本章主要討論控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)等輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng) 。 h(t) t 時(shí)間 tr 上 升 峰值時(shí)間 tp A B 超調(diào)量 σ% = A B 100% 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義 1 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts h(t) t 時(shí)間 tr 上 升 峰值時(shí)間 tp A B 超調(diào)量 σ% = A B 100% 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts 167。 32 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng) , 典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖 32所示 .其中 是積分環(huán)節(jié) ， T為它的時(shí)間常數(shù) 。 圖 32 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 C(s) R(s) Ts1Ts1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )(11)().()( sRTssRssC ????)()()()( trtctdtdcT ??可見(jiàn)，典型的一階系統(tǒng)是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，而 T也是閉環(huán)系統(tǒng)的慣性時(shí)間常數(shù)。 系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系為 對(duì)應(yīng)的微分方程為 11)()()(???? TssRsCs （ 3－ 3 在零初始條件下 ， 利用拉氏反變換或直接求解微分方程 ， 可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng) 。 一 、 單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù) r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 , 則輸出的拉氏變換為 ssR1)( ?TsssTssC1111.11)(?????對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為 上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線 ,式中的 1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時(shí) ，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會(huì)超過(guò)起穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖 32所示。 TtetC ??? 1)( )0( ?tTte??圖 32中指數(shù)響應(yīng)曲線的初 始（ t=0時(shí)）斜率為 . 因此，如果系統(tǒng)保 持初始響應(yīng)的變化速度 不變，則當(dāng) t=T時(shí)，輸出 量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。 實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是 不斷下降的，經(jīng)過(guò) T時(shí)間后，輸出量 C（ T） 從零上升到穩(wěn)態(tài)值的 %。經(jīng)過(guò) 3T～ 4T時(shí)， C（ t） 將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%?？梢?jiàn)，時(shí)間常數(shù) T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度， T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過(guò)程的快速性也越好。 T1斜率 T11 C(t) T 3T 圖 32 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 由式 （ 32） 可知 ， 只有當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí) ， 響應(yīng)的瞬態(tài)過(guò)程才能結(jié)束 ， 在實(shí)際應(yīng)用中 ， 常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%或 98%的時(shí)間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間 （ 即調(diào)節(jié)時(shí)間 ） ， 這時(shí)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為 5%或 2%。 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定 ， 將測(cè)得的曲線與圖 32的曲線作比較 ， 就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng) 。 此外 ， 用實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定一階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零值開(kāi)始到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的 %所需的時(shí)間 ， 就可以確定系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù) T。 式中， tT為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時(shí)， 瞬態(tài)分量衰減到零。一階 系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線 如圖 33所示。 TsTsTssTssC 11111)(22 ???????)1()( TtTteTtTeTttC ?? ?????? （ t≥0） (33) T t T C(t) r(t)=t o 圖 33 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) TtTe?二、單位斜坡響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù) r(t)=t， 其拉氏變換為 則輸出的拉氏變換為 21)(ssR ?顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從 t=0時(shí)開(kāi)始跟蹤輸入信號(hào)而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號(hào)同速增長(zhǎng)，但它們之間存在跟隨誤差。即 且 可見(jiàn)，當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí)，誤差趨近于 T， 因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量 c (t) 將小于輸入量 r(t)一個(gè) T的值，時(shí)間常數(shù) T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。 )1()()()( TteTtctrte ?????Ttet???)(lim 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得單位脈沖響應(yīng)為 由此可見(jiàn) ， 系統(tǒng)的單位脈沖 響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 的拉氏變換 。 一階系統(tǒng)的單 位脈沖響應(yīng)曲線如圖 34所示 。 TsTTsSC 1111)(????TteTtC ?? 1)( （ t≥0） (34) C(t) 3T T1T1斜率 21T?C(t) T 2T t 圖 34 一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 三、單位脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù) r (t) = δ(t),其拉氏變換為 R(s)=1, 則輸出響應(yīng)的拉氏變換為 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線 ， 曲線的初始斜率為 ， 輸出量的初始值為 。當(dāng) t趨于 ∞ 時(shí) ， 輸出量 c (∞) 趨于零 ， 所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量在實(shí)際中一般認(rèn)為在 t=3T～ 4T時(shí)過(guò)度過(guò)程結(jié)束 ， 故系統(tǒng)過(guò)度過(guò)程的快速性取決于 T的值 ，T越小系統(tǒng)響應(yīng)的快速性也越好 。 由上面的分析可見(jiàn) ， 一階系統(tǒng)的特權(quán)性由參數(shù)T來(lái)表述 ， 響應(yīng)時(shí)間為 （ 34） T； 在 t=0時(shí) ， 單位階躍響應(yīng)的斜率和單位脈沖響應(yīng)的幅值均為 。單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 T 。 T值越小 ， 系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好 ， 精度越高 。 按照脈沖函數(shù) ， 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù)的順序 ， 前者是后者的導(dǎo)數(shù) ， 而后者是前者的積分 。 21T?T1比較一階系統(tǒng)對(duì)上述信號(hào)的輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn) ，脈沖響應(yīng) 、 階躍響應(yīng) 、 斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 這表明 ， 系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng) ， 等于對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù) 。 反之 ，系統(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)積分的響應(yīng) ， 等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分 。 這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特征 ， 它不僅適用于一階線性定常系統(tǒng) ， 也適用于高階線性定常系統(tǒng) 。 因此 ， 在后面的分析中 ， 我們將主要研究系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 167。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng) 。在控制工程實(shí)踐中 ， 二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛 ， 此外 ， 許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來(lái)研究 ， 因此 ， 詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義 。 )1( ?Tss KC(t) R(t) _ C(t) 圖 35 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 KsTsKsRsCs????? 2)()()( （ 3－ 5） 設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 35所示。 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 其中 K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放 大系數(shù)， T為時(shí)間常數(shù)。 與式 （ 35） 相對(duì)應(yīng)的微分方程為 可見(jiàn) ， 該系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng) 。 為了分析方便 ，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)改寫(xiě)成如下形式 式中 ， 稱為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率 ， （ 簡(jiǎn)稱為無(wú)阻尼自振頻率 ） ， 稱為阻尼系數(shù) （ 或阻尼比 ） 。 )()()()(22tKrtKcdt tdcdt tcdT ???22222)()()(nnnssRsCs?????????(36) TKn ??TK21??系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 （ 37） 它的兩個(gè)根為 （ 38） 二階系統(tǒng)特征根 （ 即閉環(huán)極點(diǎn) ） 的形式隨著阻尼比 取值的不同而不同 。 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，則系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換表達(dá)式為 （ 39） 對(duì)上式取拉氏反變換，即可求得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 。 02 22 ??? nn ss ???122,12,1 ????? ???? nnPs?ssssRssC nnn 1.2)()()( 222??????????（一） 過(guò)阻尼（ 1）的情況 當(dāng) 1時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)， 它們?cè)?S平面上的位置如圖 36 所示。此時(shí)，（ 39）可寫(xiě)成