【正文】 第三章 控制系統的時域分析 167。 31 引 言 167。 32 一階系統的時域響應 167。 33 二階系統的時域響應 167。 34 高階系統的時域響應 167。 35 控制系統的穩(wěn)定性 167。 36 控制系統的穩(wěn)態(tài)誤差 167。 31 引 言 分析和設計控制系統的首要任務是建立系統的數學模型 。 一旦獲得合理的數學模型 ， 就可以采用不同的分析方法來分析系統的性能 。 經典控制理論中常用的工程方法有 ? 時域分析法 ? 根軌跡法 ? 頻率特性法 分析內容 ? 瞬態(tài)性能 ? 穩(wěn)態(tài)性能 ? 穩(wěn)定性 時域分析法在時間域內研究系統在典型輸入信號的作用下 ， 其輸出響應隨時間變化規(guī)律的方法 。對于任何一個穩(wěn)定的控制系統 ， 輸出 響應含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量 。 ? 瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的 ， 隨時間的推移而趨向消失的響應部分 ， 它提供了系統在過度過程中的各項動態(tài)性能的信息 。 ? 穩(wěn)態(tài)分量 是過渡過程結束后 ,系統達到平衡狀態(tài) ，其輸入輸出間的關系不再變化的響應部分 ， 它反映了系統的穩(wěn)態(tài)性能或誤差 。 時域分析法的物理概念清晰 ， 準確度較高 ，在已知系統結構和參數并建立了系統的微分方程后 ， 使用時域分析法比較方便 。 不過若用它來設計和校正系統 ， 根據系統性能指標的要求來選定系統的結構和參數 ， 卻存在一定的困難 。 為了研究控制系統的輸出響應 ， 必須了解輸入信號的變化形式 。 在工程實際中 ， 有些系統的 輸入信號是已知的 （ 如恒值系統 ） ， 但對有些控制系統來說 ， 常常不能準確地知道其輸入量是如何變化的 （ 如隨動系統 ） 。 因此 ， 為了方便系統的分析和設計 ， 使各種控制系統有一個進行比較的基礎 ， 需要選擇一些典型試驗信號作為系統的輸入 ，然后比較各種系統對這些輸入信號的響應 。 常用的試驗信號是 階躍函數 、 斜坡函數 、 拋物線函數 、脈沖函數及正弦函數 。 這些函數都是簡單的時間函數 ， 并且易于通過實驗產生 ， 便于數學分析和試驗研究 。 如果控制系統的實際輸入大部分是隨時間逐漸增加的信號，則選用斜坡函數較合適；如果作用到系統的輸入信號大多具有突變性質時，則選用階躍函數較合適。需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統來說，其過渡過程所反應出的系統特性應是統一的。這樣，便有可能在同一基礎上去比較各種控制系統的性能。此外，在選取試驗信號時，除應盡可能簡單，以便于分析處理外，還應選擇那些能使系統工作在最不利的情況下的輸入信號作為典型實驗信號。 本章主要討論控制系統在階躍函數等輸入信號作用下的輸出響應 。 h(t) t 時間 tr 上 升 峰值時間 tp A B 超調量 σ% = A B 100% 動態(tài)性能指標定義 1 調節(jié)時間 ts h(t) t 時間 tr 上 升 峰值時間 tp A B 超調量 σ% = A B 100% 調節(jié)時間 ts 167。 32 一階系統的時域響應 由一階微分方程描述的系統稱為一階系統 , 典型閉環(huán)控制一階系統如圖 32所示 .其中 是積分環(huán)節(jié) ， T為它的時間常數 。 圖 32 一階系統的結構圖 C(s) R(s) Ts1Ts1 系統的傳遞函數為 )(11)().()( sRTssRssC ????)()()()( trtctdtdcT ??可見，典型的一階系統是一個慣性環(huán)節(jié)，而 T也是閉環(huán)系統的慣性時間常數。 系統輸入、輸出之間的關系為 對應的微分方程為 11)()()(???? TssRsCs （ 3－ 3 在零初始條件下 ， 利用拉氏反變換或直接求解微分方程 ， 可以求得一階系統在典型輸入信號作用下的輸出響應 。 一 、 單位階躍響應 設系統的輸入為單位階躍函數 r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 , 則輸出的拉氏變換為 ssR1)( ?TsssTssC1111.11)(?????對上式進行拉氏反變換，求得單位階躍響應為 上式表明，當初始條件為零時，一階系統單位階躍響應的變化曲線是一條單調上升的指數曲線 ,式中的 1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當 t→∞ 時 ，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個工作時間內，系統的響應都不會超過起穩(wěn)態(tài)值。由于該響應曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應。一階系統的單位階躍響應曲線如圖 32所示。 TtetC ??? 1)( )0( ?tTte??圖 32中指數響應曲線的初 始（ t=0時）斜率為 . 因此，如果系統保 持初始響應的變化速度 不變，則當 t=T時，輸出 量就能達到穩(wěn)態(tài)值。 實際上，響應曲線的斜率是 不斷下降的，經過 T時間后，輸出量 C（ T） 從零上升到穩(wěn)態(tài)值的 %。經過 3T～ 4T時， C（ t） 將分別達到穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%。可見，時間常數 T反應了系統的響應速度， T越小，輸出響應上升越快，響應過程的快速性也越好。 T1斜率 T11 C(t) T 3T 圖 32 一階系統的單位階躍響應 由式 （ 32） 可知 ， 只有當 t趨于無窮大時 ， 響應的瞬態(tài)過程才能結束 ， 在實際應用中 ， 常以輸出量達到穩(wěn)態(tài)值的 95%或 98%的時間作為系統的響應時間 （ 即調節(jié)時間 ） ， 這時輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為 5%或 2%。 系統單位階躍響應曲線可用實驗的方法確定 ， 將測得的曲線與圖 32的曲線作比較 ， 就可以確定該系統是否為一階系統或等效為一階系統 。 此外 ， 用實驗的方法測定一階系統的輸出響應由零值開始到達穩(wěn)態(tài)值的 %所需的時間 ， 就可以確定系統的時間常數 T。 式中， tT為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當 t→∞ 時， 瞬態(tài)分量衰減到零。一階 系統的單位斜坡響應曲線 如圖 33所示。 TsTsTssTssC 11111)(22 ???????)1()( TtTteTtTeTttC ?? ?????? （ t≥0） (33) T t T C(t) r(t)=t o 圖 33 一階系統的單位斜坡響應 TtTe?二、單位斜坡響應 設系統的輸入為單位斜坡函數 r(t)=t， 其拉氏變換為 則輸出的拉氏變換為 21)(ssR ?顯然，系統的響應從 t=0時開始跟蹤輸入信號而單調上升，在達到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。即 且 可見，當 t趨于無窮大時，誤差趨近于 T， 因此系統在進入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時刻，輸出量 c (t) 將小于輸入量 r(t)一個 T的值，時間常數 T越小，系統跟蹤斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。 )1()()()( TteTtctrte ?????Ttet???)(lim 對上式進行拉氏變換，求得單位脈沖響應為 由此可見 ， 系統的單位脈沖 響應就是系統閉環(huán)傳遞函數 的拉氏變換 。 一階系統的單 位脈沖響應曲線如圖 34所示 。 TsTTsSC 1111)(????TteTtC ?? 1)( （ t≥0） (34) C(t) 3T T1T1斜率 21T?C(t) T 2T t 圖 34 一階系統的脈沖響應 三、單位脈沖響應 設系統的輸入為單位脈沖函數 r (t) = δ(t),其拉氏變換為 R(s)=1, 則輸出響應的拉氏變換為 一階系統的單位脈沖響應是單調下降的指數曲線 ， 曲線的初始斜率為 ， 輸出量的初始值為 。當 t趨于 ∞ 時 ， 輸出量 c (∞) 趨于零 ， 所以它不存在穩(wěn)態(tài)分量在實際中一般認為在 t=3T～ 4T時過度過程結束 ， 故系統過度過程的快速性取決于 T的值 ，T越小系統響應的快速性也越好 。 由上面的分析可見 ， 一階系統的特權性由參數T來表述 ， 響應時間為 （ 34） T； 在 t=0時 ， 單位階躍響應的斜率和單位脈沖響應的幅值均為 。單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為 T 。 T值越小 ， 系統響應的快速性越好 ， 精度越高 。 按照脈沖函數 ， 階躍函數 、 斜坡函數的順序 ， 前者是后者的導數 ， 而后者是前者的積分 。 21T?T1比較一階系統對上述信號的輸出響應可以發(fā)現 ，脈沖響應 、 階躍響應 、 斜坡響應之間也存在同樣的對應關系 。 這表明 ， 系統對某種輸入信號導數的響應 ， 等于對該輸入信號響應的導數 。 反之 ，系統對某種輸入信號積分的響應 ， 等于系統對該輸入信號響應的積分 。 這是線性定常系統的一個重要特征 ， 它不僅適用于一階線性定常系統 ， 也適用于高階線性定常系統 。 因此 ， 在后面的分析中 ， 我們將主要研究系統的單位階躍響應 。 167。 33 二階系統的時域響應 由二階微分方程描述的系統稱為二階系統 。在控制工程實踐中 ， 二階系統應用極為廣泛 ， 此外 ， 許多高階系統在一定的條件下可以近似為二階系統來研究 ， 因此 ， 詳細討論和分析二階系統的特征具有極為重要的實際意義 。 )1( ?Tss KC(t) R(t) _ C(t) 圖 35 二階系統結構圖 KsTsKsRsCs????? 2)()()( （ 3－ 5） 設一個二階系統的結構圖如圖 35所示。 系統的閉環(huán)傳遞函數為 其中 K為系統的開環(huán)放 大系數， T為時間常數。 與式 （ 35） 相對應的微分方程為 可見 ， 該系統是一個二階系統 。 為了分析方便 ，將系統的傳遞函數改寫成如下形式 式中 ， 稱為無阻尼自然振蕩角頻率 ， （ 簡稱為無阻尼自振頻率 ） ， 稱為阻尼系數 （ 或阻尼比 ） 。 )()()()(22tKrtKcdt tdcdt tcdT ???22222)()()(nnnssRsCs?????????(36) TKn ??TK21??系統的閉環(huán)特征方程為 （ 37） 它的兩個根為 （ 38） 二階系統特征根 （ 即閉環(huán)極點 ） 的形式隨著阻尼比 取值的不同而不同 。 設系統的輸入為單位階躍函數，則系統輸出響應的拉氏變換表達式為 （ 39） 對上式取拉氏反變換，即可求得二階系統的單位階躍響應 。 02 22 ??? nn ss ???122,12,1 ????? ???? nnPs?ssssRssC nnn 1.2)()()( 222??????????（一） 過阻尼（ 1）的情況 當 1時，系統具有兩個不相等的負實數極點， 它們在 S平面上的位置如圖 36 所示。此時，（ 39）可寫成