【正文】 1斜率 T11 C(t) T 3T 圖 32 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 由式 （ 32） 可知 ， 只有當(dāng) t趨于無窮大時(shí) ， 響應(yīng)的瞬態(tài)過程才能結(jié)束 ， 在實(shí)際應(yīng)用中 ， 常以輸出量達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%或 98%的時(shí)間作為系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間 （ 即調(diào)節(jié)時(shí)間 ） ， 這時(shí)輸出量與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差為 5%或 2%。 TtetC ??? 1)( )0( ?tTte??圖 32中指數(shù)響應(yīng)曲線的初 始（ t=0時(shí)）斜率為 . 因此，如果系統(tǒng)保 持初始響應(yīng)的變化速度 不變，則當(dāng) t=T時(shí)，輸出 量就能達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。 一 、 單位階躍響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù) r(t) = 1(t) ,其拉氏變換為 , 則輸出的拉氏變換為 ssR1)( ?TsssTssC1111.11)(?????對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為 上式表明，當(dāng)初始條件為零時(shí)，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線 ,式中的 1為穩(wěn)態(tài)分量， 為瞬態(tài)分量，當(dāng) t→∞ 時(shí) ，瞬態(tài)分量衰減為零。 h(t) t 時(shí)間 tr 上 升 峰值時(shí)間 tp A B 超調(diào)量 σ% = A B 100% 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)定義 1 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts h(t) t 時(shí)間 tr 上 升 峰值時(shí)間 tp A B 超調(diào)量 σ% = A B 100% 調(diào)節(jié)時(shí)間 ts 167。需要注意的是，不管采用何種典型輸入型號，對同一系統(tǒng)來說，其過渡過程所反應(yīng)出的系統(tǒng)特性應(yīng)是統(tǒng)一的。 因此 ， 為了方便系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì) ， 使各種控制系統(tǒng)有一個(gè)進(jìn)行比較的基礎(chǔ) ， 需要選擇一些典型試驗(yàn)信號作為系統(tǒng)的輸入 ，然后比較各種系統(tǒng)對這些輸入信號的響應(yīng) 。 時(shí)域分析法的物理概念清晰 ， 準(zhǔn)確度較高 ，在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)并建立了系統(tǒng)的微分方程后 ， 使用時(shí)域分析法比較方便 。 經(jīng)典控制理論中常用的工程方法有 ? 時(shí)域分析法 ? 根軌跡法 ? 頻率特性法 分析內(nèi)容 ? 瞬態(tài)性能 ? 穩(wěn)態(tài)性能 ? 穩(wěn)定性 時(shí)域分析法在時(shí)間域內(nèi)研究系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下 ， 其輸出響應(yīng)隨時(shí)間變化規(guī)律的方法 。 35 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性 167。 31 引 言 167。 32 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 36 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 167。對于任何一個(gè)穩(wěn)定的控制系統(tǒng) ， 輸出 響應(yīng)含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量 。 不過若用它來設(shè)計(jì)和校正系統(tǒng) ， 根據(jù)系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求來選定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) ， 卻存在一定的困難 。 常用的試驗(yàn)信號是 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù) 、 拋物線函數(shù) 、脈沖函數(shù)及正弦函數(shù) 。這樣，便有可能在同一基礎(chǔ)上去比較各種控制系統(tǒng)的性能。 32 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng) , 典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖 32所示 .其中 是積分環(huán)節(jié) ， T為它的時(shí)間常數(shù) 。在整個(gè)工作時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會超過起穩(wěn)態(tài)值。 實(shí)際上，響應(yīng)曲線的斜率是 不斷下降的，經(jīng)過 T時(shí)間后，輸出量 C（ T） 從零上升到穩(wěn)態(tài)值的 %。 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線可用實(shí)驗(yàn)的方法確定 ， 將測得的曲線與圖 32的曲線作比較 ， 就可以確定該系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)或等效為一階系統(tǒng) 。 TsTsTssTssC 11111)(22 ???????)1()( TtTteTtTeTttC ?? ?????? （ t≥0） (33) T t T C(t) r(t)=t o 圖 33 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) TtTe?二、單位斜坡響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位斜坡函數(shù) r(t)=t， 其拉氏變換為 則輸出的拉氏變換為 21)(ssR ?顯然，系統(tǒng)的響應(yīng)從 t=0時(shí)開始跟蹤輸入信號而單調(diào)上升，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，它與輸入信號同速增長，但它們之間存在跟隨誤差。 TsTTsSC 1111)(????TteTtC ?? 1)( （ t≥0） (34) C(t) 3T T1T1斜率 21T?C(t) T 2T t 圖 34 一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 三、單位脈沖響應(yīng) 設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位脈沖函數(shù) r (t) = δ(t),其拉氏變換為 R(s)=1, 則輸出響應(yīng)的拉氏變換為 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是單調(diào)下降的指數(shù)曲線 ， 曲線的初始斜率為 ， 輸出量的初始值為 。 T值越小 ， 系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好 ， 精度越高 。 反之 ，系統(tǒng)對某種輸入信號積分的響應(yīng) ， 等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分 。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng) 。 與式 （ 35） 相對應(yīng)的微分方程為 可見 ， 該系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng) 。 02 22 ??? nn ss ???122,12,1 ????? ???? nnPs?ssssRssC nnn 1.2)()()( 222??????????（一） 過阻尼（ 1）的情況 當(dāng) 1時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)， 它們在 S平面上的位置如圖 36 所示。 在工程上，當(dāng) 時(shí)，這種近似處理方法具有足夠的準(zhǔn)確度。 221 ?????tes dtdnd n ????? ?? s i n])([ 163。振蕩的角頻率為 它取決于阻尼比 和無阻尼自 然頻率 。 21s in ?? ???? ?co s?)143(0)s i n (11)( 2 ???????ttetC dtn???????? 21 ?? a rc tg ?? a rc c o s?t C(t) 1 0 圖 39 欠阻尼響應(yīng) d??n?n??（三）臨界阻尼 （ ）的情況 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)， ，如圖 310所示。 將 代入式 （ 313） 得 1??1??t 1 o C(t) 圖 311 臨界阻尼響應(yīng) 0??0??njp ???2,10??ttC n?c o s1)( ?? 可見 ， 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程 ， 其振蕩頻率為 。 根據(jù)上面的分析可知 ， 在不同的阻尼比時(shí) ， 二階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點(diǎn) 。 如圖 313所示，此時(shí)曲線只和阻尼比 有關(guān)。 ????)(tC0????????1??2??tn? 圖 313 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 一般希望二階系統(tǒng)工作在 =～ 狀態(tài)下，在工程實(shí)際中，通常選取 作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。 ?21??? n?? 此時(shí) ， 系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下 ， 能有較短的過渡過程時(shí)間 ， 因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo) ， 主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的 。根據(jù)上述定義，當(dāng)時(shí)， ， ，由式（ 318）可得 超調(diào)量 C(t) 上升時(shí)間 峰值時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 誤差帶 穩(wěn)態(tài)誤差 )( ??to 1.0 t 圖 314 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo) rtrtt? 1)( ?rtC 即 所以 （ k=0,1,2…… ） 由于上升時(shí)間 是 C（ t） 第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間，故取 k=1， 所以 由式 (319)可以看出，當(dāng) 一定時(shí)，阻尼比 越大，上升時(shí)間 越長，當(dāng) 一定時(shí)， 越大， 越小。 由于 是閉環(huán)極點(diǎn)虛部的數(shù)值 ， 越大 ， 則閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離越遠(yuǎn) ， 因此 ， 也可以說峰值時(shí)間 與閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離成反比 。 當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比 確定后 ， 即可求得對應(yīng)的 超調(diào)量 。 1)( ??Cp??n? ? p??p?~??p?%~25?p??%100%100)( )()( 21 ???? ??? ?????? eC CtC pp（ 321） p?100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 圖 315 欠阻尼二階系統(tǒng) 超調(diào)與阻尼比關(guān)系曲線 ? 調(diào)節(jié)時(shí)間 響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的 （ 或 )誤差范圍內(nèi)所需的最小時(shí)間稱為調(diào)節(jié)時(shí)間 （ 或過渡過程時(shí)間 ） 。也就是說，在不改變超調(diào)量的條件下，通過改變 的值可以改變調(diào)節(jié)時(shí)間。阻尼比 和無阻尼自振頻率 是二階系統(tǒng)兩個(gè)重要特征參數(shù)，它們對系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。 例 31 設(shè)控制系統(tǒng) 如圖 316所示。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由此得 )()( assKsG??%10?p? 2%)5( ?stKassKs???? 2)(Kn ??Kaan 22?? ??由題意 即 解得 而 即 解得 a=3 所以 %10%10021 ??? ?????? ep1 2??????????232 ??? KKan??23 ??nst ??（秒） ) 3()2( 22 ???? ?aK167。 但是 ， 高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困難 ， 同時(shí) ， 在工程設(shè)計(jì)的許多問題中 ， 過分講究精確往往是不必要的 ， 甚至是無意義的 。 對上式進(jìn)行拉氏反變換 ， 求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為 由此可見 ， 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成 。而 和 就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在 S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對應(yīng)的分量衰減越快。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對零極點(diǎn)對系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。 穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例 ? ?39。 二 .穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后 ， 自身具有的一種恢復(fù)能力 ， 它是系統(tǒng)的一種固有特性 ， 這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) ， 與外作用無關(guān) 。 此時(shí) ， 該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義 。 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )(t??0)(lim ??? tCt011011......)(asasabsbsbsnnnnmmmm????????????)(t?特征方程為 如果特