【正文】 自動控制理論 方框圖 主要內(nèi)容 167。 4— 1 根軌跡的基本概念 167。 4— 2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 167。 4— 3 廣義根軌跡 167。 4— 4 滯后系統(tǒng)的根軌跡 167。 4— 5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 167。 4— 6 用 MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析 自動控制理論 方框圖 167。 4— 1 根軌跡的基本概念 系統(tǒng)特征根的圖解方法 !!! 根軌跡： 當系統(tǒng) 某一參數(shù) 在 規(guī)定范圍內(nèi)變化 時，相應的系統(tǒng) 閉環(huán)特征方程根 在 s平面上的位置也隨之變化移動，一個根形成一條軌跡。 廣義根軌跡 :系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。 狹義根軌跡 （通常情況）： 變化參數(shù)為 開環(huán)增益 K，且其變化取值范圍為 0到 ∞ 。 問題 1: 如何 按 希望性能將閉環(huán)極點合適的位置 ? 閉環(huán)極點（即閉環(huán)特征方程根） 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性、瞬態(tài)響應特性 問題 2: 當系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開環(huán)增益）變化時，反復求解， 不方便 ,有沒有簡便分析方法 ? 自動控制理論 方框圖 )1()()( ?? ssKsHsG Kss K)s(R )s(C)s( 2 ?????0Kss)s(D 2 ????Ks 4121212,1 ????4/1＝K 2/121 ??? ss01?s 1s2 ??K＝ 0時 4/10 ?? K 兩個負實根 K值增加 相對靠近移動 離開負實軸，分別 s=1/2 直線向上和向下移動。 ??? K4/1 一對共軛復根 自動控制理論 方框圖 根軌跡圖 ?系統(tǒng)的相關動靜態(tài)性能信息 4/10 ?? K4/1＝K4/1?K過阻尼系統(tǒng)，階躍響應為非周期過程； 臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應為非周期過程； 欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應為阻尼振蕩過程。 1）當 K值確定之后，根據(jù)閉環(huán)極點的位 置，該系統(tǒng)的階躍響應指標便可求出。 2）閉環(huán)極點不可能出現(xiàn)在 S平面右半 部，系統(tǒng)始終穩(wěn)定。 !系統(tǒng)開環(huán)增益確定 ? 閉環(huán)極點在 S平面上的位置也確定。 自動控制理論 方框圖 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點間的關系 ????????????????????q1iif1ii39。G222221222221G)ps()zs(K)1sTsT)(1sT(s)1ss)(1s(K)s(G??前向通道根軌跡增益 ??22122139。 TTKK GG ?????????? h1jjl1jj39。H)ps()zs(K)s(H反饋通道根軌跡增益 前向通道增益 ????????????? h1jjl1jjq1iif1ii39。)ps()zs()ps()zs(K)s(H)s(G39。H39。G39。 KKK ?iz jzip jp開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 前向通道零點 反饋通道零點 前向通道極點 反饋通道極點 ? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????? f1il1jji39。q1ih1jjif1ih1jji39。G)zs()zs(K)ps()ps()ps()zs(K)s(H)s(G1)s(G)s(m個零點 (m=f + l ) n個極點 (n= q + h) m個零點 (m=f + l ) n個極點 (n= q + h) 自動控制理論 方框圖 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?????????? filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs1 139。1 11 139。)()()()()()()(3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 =開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。 1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點 =前向通道的零點 +反饋通道的極點； 2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及根軌跡 增益均有關； ！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點和極點，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點。 單位反饋系統(tǒng) （ 1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； （ 2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點就是開環(huán)系統(tǒng)的零點。 39。H39。G39。 KKK ?自動控制理論 方框圖 167。 4— 2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件 二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 三、閉環(huán)極點的確定 自動控制理論 方框圖 一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件 0)s(H)s(G1)s(D ???1)s(H)s(G ??根軌跡方程 m個零點 n個極點 （ n?m） 1)ps()zs(K)s(H)s(G n1iim1ii39。 ?????????1pszsK n1iim1ii39。 ???????幅值條件 1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點有關，還與開環(huán)根軌跡增益有關； 2）必要條件： ?? ?? ????????? n 1i im 1i i )1k2()ps()zs(幅角條件（ k=0,1,2, … ） 1）幅角條件只與開環(huán)零、極點有關 2）充要條件： 自動控制理論 方框圖 11ss K ???幅值條件 2??s K＝ 2 幅值條件成立 ！ 不是根軌跡上的一點 27212,1 js ???根軌跡上的一點 必要條件： S平面上的某一點 s是根軌跡上的點，則幅值條 件成立； S平面上的任一點 s滿足幅值條件，該點卻不一 定是根軌跡上的點。 幅值條件是必要條件 自動控制理論 方框圖 )js)(js)(T/1s(s )/1s(K)1sT2sT)(1sT(s )1s(K)s(H)s(G dndn139。22221 ?????????????????? ??? 22139。 TT/KK ??2n T/1?? 22d T1 ????12 T/1p ?? dn4,3 jp ???????/11 ??z)()ps()zs()s(H)s(G 432141i 1i11i i11????????????????? ????開環(huán)極點（ “ ” ） p1=0 開環(huán)零點（ “ 〇 ” ） !!幅角均以反時針方向進行。 如果幅角條件成立，則 s1即根軌跡上的一個點。 ? 1開 環(huán)零點至 s1的幅角 ? ? ? ?4：開環(huán) 極點至 s1的幅角。 由幅值條件 11413121139。 zs pspspssK ? ???????幅角條件繪制根軌跡，幅值條件定 K值 自動控制理論 方框圖 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) sK)s(G ?一個開環(huán)極點 P1=0 負實軸上點 s1 ??????????????? n1i 11im1i i1 8 0ps|)ps()zs( ?s2=1j ?????????????? n1i 12im1i i1 3 5ps|)ps()zs( ?負實軸上都是根軌跡上的點 ！ 負實軸外的點都不是根軌跡上的點 ！ 舉例 自動控制理論 方框圖 二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 一、根軌跡的起點和終點 二、根軌跡分支數(shù) 三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性 四、實軸上的根軌跡 五、根軌跡的漸近線 六、根軌跡的分離點 七、根軌跡的起始角和終止角 八、根軌跡與虛軸的交點 九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積 自動控制理論 方框圖 一、根軌跡的起點和終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點 幅值條件 ??????miiniizspsK1139。＝039。 ?Ks值必須趨近于某個開環(huán)極點 ?根軌跡起始于 開環(huán)極點 ??39。Ks值必須趨近于某個開環(huán)零點 ?根軌跡終止于 開環(huán)零點 自動控制理論 方框圖 二、根軌跡分支數(shù) n階系統(tǒng)，根軌跡有 n個起始點，?系統(tǒng)根軌跡有 n個分支 2）實際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點一般多于開環(huán)零點， 即 n m。 m條終止于開環(huán)零點（有限值零點 )； （ n－ m）條根軌跡分支終止于（ n－ m）個無限 遠零點。 1）系統(tǒng)特征方程的階次為 n次 ?特征方程有 n個根 K變化 (0到 ∞ ),n個根隨著變化 ?n條根軌跡。 自動控制理論 方框圖 三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性 根軌跡是連續(xù)曲線，且對稱于實軸。 閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點已定的情況下， 各根分別是 K的連續(xù)函數(shù)； 特征方程的根為實根或共軛復數(shù)根。 僅需先畫出 S平面上半部和實軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。 自動控制理論 方框圖 四、實軸上的根軌跡 如果實軸上某一區(qū)段的右邊的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實軸必是根軌跡。 ?? ?? ??????? 5 1i i1 1i i11 )ps()zs()s(H)s(G???? 1 8 0)12()()( 11 ksHsG ＝開環(huán)零點： z1 開環(huán)極點： p p p p p5 在實軸區(qū)段 [p2， p3]上取試驗點 s1 每對共軛復數(shù)極點所提供的幅角之和為 360176。 ； s1左邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為 0176。 。 s1右邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為 180176。 ； ？ ? 自動控制理論 方框圖 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實軸上的根軌跡。 22 )3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G??????[1， 2] 右側實零、極點數(shù) =3。 [4， 6] 右側實零、極點數(shù) =7。 6? 5? 4? 3? 2? 1? o?j?平面s表示兩重極點自動控制理論 方框圖 五、根軌跡的漸近線 mnka ????? 1 8 0)12(?mnzpm1iin1iia ???????＝當系統(tǒng) nm時，有（ n－ m）條根軌跡分支終止于無限遠零點。 沿著 漸近線 趨于無限遠處， 漸近線也對稱于實軸（包括與實軸重合）。 漸近線與實軸的傾角（ k=0， 1， 2， … ） ： 漸近線與實軸交點的坐標值： 自動控制理論 方框圖 1)()()()(111139。1139。 ??????????? ??????????