【正文】 點 s滿足幅值條件，該點卻不一 定是根軌跡上的點。22221 ?????????????????? ??? 22139。 如果幅角條件成立，則 s1即根軌跡上的一個點。 由幅值條件 11413121139。＝039。Ks值必須趨近于某個開環(huán)零點 ?根軌跡終止于 開環(huán)零點 自動控制理論 方框圖 二、根軌跡分支數(shù) n階系統(tǒng)，根軌跡有 n個起始點，?系統(tǒng)根軌跡有 n個分支 2）實際物理系統(tǒng)，開環(huán)極點一般多于開環(huán)零點， 即 n m。 1）系統(tǒng)特征方程的階次為 n次 ?特征方程有 n個根 K變化 (0到 ∞ ),n個根隨著變化 ?n條根軌跡。 閉環(huán)特征方程的根在開環(huán)零極點已定的情況下， 各根分別是 K的連續(xù)函數(shù)； 特征方程的根為實根或共軛復數(shù)根。 自動控制理論 方框圖 四、實軸上的根軌跡 如果實軸上某一區(qū)段的右邊的實數(shù)開環(huán)零點、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)段實軸必是根軌跡。 ； s1左邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為 0176。 s1右邊所有位于實軸上的每一個極點或零點所提供的幅角為 180176。 22 )3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G??????[1， 2] 右側(cè)實零、極點數(shù) =3。 6? 5? 4? 3? 2? 1? o?j?平面s表示兩重極點自動控制理論 方框圖 五、根軌跡的漸近線 mnka ????? 1 8 0)12(?mnzpm1iin1iia ???????＝當系統(tǒng) nm時，有（ n－ m）條根軌跡分支終止于無限遠零點。 漸近線與實軸的傾角（ k=0， 1， 2， … ） ： 漸近線與實軸交點的坐標值： 自動控制理論 方框圖 1)()()()(111139。 ??????????? ??????????? ??????????????????nniinmmiimniimiispsszsKpszsKsHsG證明 39。111 Kszps mnmi ini imn ??????????? ??? ????? ?? ?K’ ?∞ 時， s?∞ ，取前兩項 改寫為模和相角的形式 ?)12(39。1111 ＝＋牛頓二項式定理展開，由于 s?∞ ，忽略分母為 s的二次冪和二次冪以上各項 mnkjmnimiini eKszpmns????? ????????????? ??????)12(139。amn)1k2(jmn139。 mnzpm1iin1iia ???????＝說明 自動控制理論 方框圖 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。K))(1s(s)(K)s(G????????漸近線與實軸正方向的夾角： 三個開環(huán)極點： 0、 5 一個開環(huán)零點： 4 nm=31=2 漸近線與實軸交點： 113 )4()5()1()0(mnzpm1iin1iia ?????????????????＝mn1 8 0)1k2(a ?????? ?2 7 0、90 0a ??根軌跡的漸近線例一 自動控制理論 方框圖 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定根軌跡的漸近線。 分離點必然是為 D(s)某一數(shù)值時的 重根點。 ?dsdK???? ??? nj jbmi ib pz 1111?? ?b坐標值由分式方程解出 證明 例 由 極值點求解 ?b 坐標值由 解出 ?b 4/139。 0)s(39。K,s(D ???自動控制理論 方框圖 重根法求解 ?b 證明 )s(B)s(A39。K)s(A)39。K)s(A)39。Kds )s(dAds )s(dD 1b11rb ????????? ?r重根 r1 ds)s(dD 含 1rb )s( ???0|]ds )s(B39。K ??兩邊求導 ?b 必要條件： !!當解得多個 s值時，其中 k’ 值為正實數(shù)時才有效。)()()()( ????????? mi inj jzsKpssD139。1 11 0)()()(0)()()(1 139。1 1 )()(?????? ????????? ? ?? ?? mi inj j zsdsdKpsdsd 1 1139。 規(guī)則 3? 根軌跡有三條分支，分別起始于開環(huán)極點 0、－ － 3，終止于一個開環(huán)有限零點－ 1和二個無限零點。 規(guī)則 4?實軸上 0到－ 1和－ 2到－ 3兩個區(qū)域段為根軌跡 規(guī)則 5?根軌跡有兩條漸近線（ n－ m＝ 2), 令 k=0 ??????? ???? 9021 8 01 8 0)12( mnka? 22 )1()3()2(0mnzp m1iin1iia ????????????????＝規(guī)則 6?在實軸上有根軌跡分離點，且在區(qū)段－ 2到－ 3之間 31210111 ＋＋＋＋＝＋ bbbb ???? ? ??b? ????? 902180b自動控制理論 方框圖 由 極值點求解 ?b 假定 s點沿實軸自 p2點移向 p1點 , k’ 增益：從零開始逐漸增大， 到達 ?b點時為最大， 逐漸減小， 到 p1點時 k’ 為零。????????????????????miiniizspsdsddsdK －？！取在根軌跡上的解。???? ssssKsHsG規(guī)則 4 ? 根軌跡對稱于實軸， 有四條根軌跡分支，分別起始于極點 0，－ 4和－ 2177。 實軸上 0～－ 4區(qū)段為根軌跡。???? ssssKsHsG?????? ???? 13545180)12( ，mnka?根據(jù)規(guī)則 5? 根軌跡有四條漸近線 24 )2()2()4(0mnzp m1i in1i ia ??????????? ?? ?? ＋＝0)204)(4(1)()(1 2 39。 ssssssssK ??????????0)8072244( 2339。 根軌跡起始角的一般計算式 (0～ 360176。 ??????????????? mji 1iijn1iijjz )zz()pz()1k2( ＋＝根軌跡終止角一般計算式 (0～ 360176。jsjsss jsjssKsHsG ????? ??????四條分支 起始點 p1＝ 0、 p 3＝ ―+ 、 p4＝ ― 終止點 z1＝－ 、 z2， 3 ＝－ 2177。 或 2p??自動控制理論 方框圖 ??????????????????????????????????????)1k2()zz()zz()pz()pz()pz()pz()1k2(3212423222122z ＋＝??? ＝???? ＝取 k＝ 1 z2和 z3為共軛復數(shù)， 根軌跡終止角對稱。 1）應(yīng)用勞斯判據(jù)求出系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界的臨界值 K’ ， 由 K’ 值求出相應(yīng)的 ω值 例 2）代數(shù)法 ?js? 0)()(1 ?? ?? jHjG? ?? ????????0)()(1Im0)()(1Re????jHjGjHjG代入特征方程 聯(lián)立求解， ?根軌跡與虛軸的交點 ω值和相應(yīng)的 臨界 K’ 值。 )2)(1()()(39。2339。339。2k 系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界 K’ 值： K’=6 陣列中 s2行元素構(gòu)成輔助方程 063 2 ??s2js ?? 根軌跡與虛軸的交點 自動控制理論 方框圖 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 求根軌跡與虛軸的交點。??? sssKsHsG?js ?代入系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 0)2()3()(2)(3)( 3239。23 ???????? ?????? jKKjjj03 239。 ?K自動控制理論 方框圖 九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積 系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式 ??? ? ????? ??????????? ni nnnnnimi ini i asasasassszsKps 1 12211139。 自動控制理論 方框圖 )22)(3()2(3)()(2 ?????sssssKsHsG?根軌跡增益 K’=3K 。 j，終止于零點－ 2和另外三個無限遠零點。 ?根軌跡有三條漸近線（ n－ m＝ 3），與實軸的傾角為 3 1 8 0)12( ???? ka?取 k＝ 0、 1?＋ 60176。 、＋ 180176。39。239。5039。6(51851KKKKK?????039。68KK? 039。K6(51839。2 ???根軌跡與虛軸的交點 自動控制理論 方框圖 ?????????????? )(45180)12( ?kp??兩條根軌跡分支起始于共軛 復數(shù)極點－ 1177。 6 1 ,3 js ??K＝ 根軌跡與虛軸兩個交點 閉環(huán)極點之和為－ 5 閉環(huán)交點之積為 2K’= ??s ??s自動控制理論 方框圖 三、閉環(huán)極點的確定 例 : 設(shè)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(3()()( 2 ???? ssssKsHsG若要求閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比 ξ =,求系統(tǒng)閉環(huán)極點。 自動控制理論 方框圖 3 . 5 3 2 . 5 2 1 . 5 1 0 . 5 0 0 . 5 12 1 . 51 0 . 500 . 511 . 52R e a l A x i sImag Axisd a t a 1d a t a 2d a t a 3d a t a 4d a t a 5d a t a 6d a t a 7ds阻尼比線 閉環(huán)主導極點 自動控制理論 方框圖 閉環(huán)主導極點為 jsd ??根據(jù)幅值條件開環(huán)增益為 4111 ???????????iidmiiniipszspsK ＝????????????????????????????)()(5)(434321434321ssjjssssssjjssss511