【正文】 點(diǎn)： 0、 1+j、 1j、 4 一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)： 1 nm=41=3 漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)： 3514)1()4()j1()j1()0(mnzp m1iin1iia ????????????????? ?? ??＝漸近線與實(shí)軸正方向的夾角： mn 1 8 0)1k2(a ? ??????? 3 0 0、1 8 0、60 0a ??根軌跡的漸近線例二 平面s4?35?1j1j?自動控制理論 方框圖 六、根軌跡的分離點(diǎn) 分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)） ：根軌跡在 S平面某一點(diǎn)相遇后又立即分開。 )5s)(1s(s)4s(39。n1iin1ii???????? ???????? ??＝?? mnka ? ???? 1 8 0)12(? mnzp m1i in1i ia ??? ?? ??＝自動控制理論 方框圖 1）當(dāng) k值取不同值時(shí)， ?a 有（ n－ m）個(gè)值，而 ?a不變； mnka ????? 1 8 0)12(?2）根軌跡在 s?∞ 時(shí)的漸近線為 （ n－ m）條與實(shí)軸交點(diǎn)為 ?a 、傾角 ?a為的 一組射線。1111 ＝＋ aeKeKmnzps mn 139。111?????? ???????? ??? ?? kjmnmi ini imn eKszps ＝兩邊開（ n－ m）次方 mn kjmnmnmiiniieKszps ?????? ????????????? ?? ???)12(139。1111 Kszsspsmmiimnniin??????????? ??????????? ??????????長除法 ? 39。1139。 沿著 漸近線 趨于無限遠(yuǎn)處， 漸近線也對稱于實(shí)軸（包括與實(shí)軸重合）。 [4， 6] 右側(cè)實(shí)零、極點(diǎn)數(shù) =7。 ； ？ ? 自動控制理論 方框圖 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試確定實(shí)軸上的根軌跡。 。 ?? ?? ??????? 5 1i i1 1i i11 )ps()zs()s(H)s(G???? 1 8 0)12()()( 11 ksHsG ＝開環(huán)零點(diǎn)： z1 開環(huán)極點(diǎn)： p p p p p5 在實(shí)軸區(qū)段 [p2， p3]上取試驗(yàn)點(diǎn) s1 每對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)所提供的幅角之和為 360176。 僅需先畫出 S平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部由鏡象求得。 自動控制理論 方框圖 三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性 根軌跡是連續(xù)曲線，且對稱于實(shí)軸。 m條終止于開環(huán)零點(diǎn)（有限值零點(diǎn) )； （ n－ m）條根軌跡分支終止于（ n－ m）個(gè)無限 遠(yuǎn)零點(diǎn)。 ?Ks值必須趨近于某個(gè)開環(huán)極點(diǎn) ?根軌跡起始于 開環(huán)極點(diǎn) ??39。 zs pspspssK ? ???????幅角條件繪制根軌跡，幅值條件定 K值 自動控制理論 方框圖 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) sK)s(G ?一個(gè)開環(huán)極點(diǎn) P1=0 負(fù)實(shí)軸上點(diǎn) s1 ??????????????? n1i 11im1i i1 8 0ps|)ps()zs( ?s2=1j ?????????????? n1i 12im1i i1 3 5ps|)ps()zs( ?負(fù)實(shí)軸上都是根軌跡上的點(diǎn) ！ 負(fù)實(shí)軸外的點(diǎn)都不是根軌跡上的點(diǎn) ！ 舉例 自動控制理論 方框圖 二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 二、根軌跡分支數(shù) 三、根軌跡的連續(xù)性和對稱性 四、實(shí)軸上的根軌跡 五、根軌跡的漸近線 六、根軌跡的分離點(diǎn) 七、根軌跡的起始角和終止角 八、根軌跡與虛軸的交點(diǎn) 九、閉環(huán)特征方程根之和與根之積 自動控制理論 方框圖 一、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn) 根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn) 幅值條件 ??????miiniizspsK1139。 ? 1開 環(huán)零點(diǎn)至 s1的幅角 ? ? ? ?4：開環(huán) 極點(diǎn)至 s1的幅角。 TT/KK ??2n T/1?? 22d T1 ????12 T/1p ?? dn4,3 jp ???????/11 ??z)()ps()zs()s(H)s(G 432141i 1i11i i11????????????????? ????開環(huán)極點(diǎn)（ “ ” ） p1=0 開環(huán)零點(diǎn)（ “ 〇 ” ） !!幅角均以反時(shí)針方向進(jìn)行。 幅值條件是必要條件 自動控制理論 方框圖 )js)(js)(T/1s(s )/1s(K)1sT2sT)(1sT(s )1s(K)s(H)s(G dndn139。 ?????????1pszsK n1iim1ii39。 KKK ?自動控制理論 方框圖 167。H39。 單位反饋系統(tǒng) （ 1）閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益； （ 2）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)就是開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)。)()()()()()()(3）閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 =開環(huán)系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益。G)zs()zs(K)ps()ps()ps()zs(K)s(H)s(G1)s(G)s(m個(gè)零點(diǎn) (m=f + l ) n個(gè)極點(diǎn) (n= q + h) m個(gè)零點(diǎn) (m=f + l ) n個(gè)極點(diǎn) (n= q + h) 自動控制理論 方框圖 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?????????? filjjiqihjjifihjjiGzszsKpspspszsKs1 139。 KKK ?iz jzip jp開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 前向通道零點(diǎn) 反饋通道零點(diǎn) 前向通道極點(diǎn) 反饋通道極點(diǎn) ? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????? f1il1jji39。H39。H)ps()zs(K)s(H反饋通道根軌跡增益 前向通道增益 ????????????? h1jjl1jjq1iif1ii39。G222221222221G)ps()zs(K)1sTsT)(1sT(s)1ss)(1s(K)s(G??前向通道根軌跡增益 ??22122139。 !系統(tǒng)開環(huán)增益確定 ? 閉環(huán)極點(diǎn)在 S平面上的位置也確定。 1）當(dāng) K值確定之后，根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)的位 置，該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)指標(biāo)便可求出。 問題 1: 如何 按 希望性能將閉環(huán)極點(diǎn)合適的位置 ? 閉環(huán)極點(diǎn)（即閉環(huán)特征方程根） 閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定 性、瞬態(tài)響應(yīng)特性 問題 2: 當(dāng)系統(tǒng)的某些參數(shù)（如開環(huán)增益）變化時(shí)，反復(fù)求解， 不方便 ,有沒有簡便分析方法 ? 自動控制理論 方框圖 )1()()( ?? ssKsHsG Kss K)s(R )s(C)s( 2 ?????0Kss)s(D 2 ????Ks 4121212,1 ????4/1＝K 2/121 ??? ss01?s 1s2 ??K＝ 0時(shí) 4/10 ?? K 兩個(gè)負(fù)實(shí)根 K值增加 相對靠近移動 離開負(fù)實(shí)軸，分別 s=1/2 直線向上和向下移動。 廣義根軌跡 :系統(tǒng)的任意一變化參數(shù)形成根軌跡。 4— 6 用 MATLAB繪制系統(tǒng)的根軌跡 第四章 線性系統(tǒng)的根軌跡分析 自動控制理論 方框圖 167。 4— 4 滯后系統(tǒng)的根軌跡 167。 4— 2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 167。自動控制理論 方框圖 主要內(nèi)容 167。 4— 1 根軌跡的基本概念 167。 4— 3 廣義根軌跡 167。 4— 5 利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能 167。 4— 1 根軌跡的基本概念 系統(tǒng)特征根的圖解方法 !!! 根軌跡： 當(dāng)系統(tǒng) 某一參數(shù) 在 規(guī)定范圍內(nèi)變化 時(shí)，相應(yīng)的系統(tǒng) 閉環(huán)特征方程根 在 s平面上的位置也隨之變化移動，一個(gè)根形成一條軌跡。 狹義根軌跡 （通常情況）： 變化參數(shù)為 開環(huán)增益 K，且其變化取值范圍為 0到 ∞ 。 ??? K4/1 一對共軛復(fù)根 自動控制理論 方框圖 根軌跡圖 ?系統(tǒng)的相關(guān)動靜態(tài)性能信息 4/10 ?? K4/1＝K4/1?K過阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程； 臨界阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為非周期過程； 欠阻尼系統(tǒng)，階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。 2）閉環(huán)極點(diǎn)不可能出現(xiàn)在 S平面右半 部，系統(tǒng)始終穩(wěn)定。 自動控制理論 方框圖 閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)間的關(guān)系 ????????????????????q1iif1ii39。 TTKK GG ?????????? h1jjl1jj39。)ps()zs()ps()zs(K)s(H)s(G39。G39。q1ih1jjif1ih1jji39。1 11 139。 1）閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn) =前向通道的零點(diǎn) +反饋通道的極點(diǎn)； 2）閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)與開環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)、零點(diǎn)以及根軌跡 增益均有關(guān)； ！根軌跡法：由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，不通過解閉環(huán)特征方程找出閉環(huán)極點(diǎn)。 39。G39。 4— 2 繪制根軌跡的基本條件和基本規(guī)則 一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件 二、繪制根軌跡的基本規(guī)則 三、閉環(huán)極點(diǎn)的確定 自動控制理論 方框圖 一、繪制根軌跡的相角條件和幅值條件 0)s(H)s(G1)s(D ???1)s(H)s(G ??根軌跡方程 m個(gè)零點(diǎn) n個(gè)極點(diǎn) （ n?m） 1)ps()zs(K)s(H)s(G n1iim1ii39。 ???????幅值條件 1）幅值條件不但與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)； 2）必要條件： ?? ?? ????????? n 1i im 1i i )1k2()ps()zs(幅角條件（ k=0,1,2, … ） 1）幅角條件只與開環(huán)零、極點(diǎn)有關(guān) 2）充要條件： 自動控制理論 方框圖 11ss K ???幅值條件 2??s K＝ 2 幅值條件成立 ！ 不是根軌跡上的一點(diǎn) 27212,1 js ???根軌跡上的一點(diǎn) 必要條件： S平面上的某一點(diǎn) s是根軌跡上的點(diǎn)，則幅值條 件成立； S平面上的任一