【正文】 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ? 前言 ? 元件和系統(tǒng)微分方程的建立 ? 非線性微分方程的線性化 ? 拉普拉斯變換法求解微分方程 ? 傳遞函數(shù)的概念 ? 結(jié)構(gòu)圖、信號流圖及梅森增益公式 ? 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ?小結(jié) 前言 在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。 建立數(shù)學(xué)模型方法有 分析法 和 實(shí)驗(yàn)法 。分析法是對系統(tǒng)各部分的運(yùn)動機(jī)理進(jìn)行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運(yùn)動方程。實(shí)驗(yàn)法是給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。本章重點(diǎn)研究分析法。 自控理論數(shù)學(xué)模型有多種形式。時域中有 微分方程 、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有 傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 ；頻域中有頻率特性等。 21 控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型 1 線性元件的微分方程 解 : 設(shè)回路電流為 i(t) , 由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 )()(1)()( tudttiCtRidt tdiL i??? ??? dttiCtu o )(1)(ui(t) uo(t) C R L i(t) 例 21 圖為由電阻 R、 電感 L電容 C組成的無源網(wǎng)絡(luò) ,試列寫以 ui(t) 為輸入量 ,以 uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程 . 圖 21 RLC無源網(wǎng)絡(luò) 消去中間變量 i(t),便得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為 )()()()(22tutudt tduRCdt tudLC iooo ???(21) 假定 R、 L、 C都是常數(shù)，這是一個二階常系數(shù)線性微分方程 ,也就是上圖無源網(wǎng)絡(luò)的時域數(shù)學(xué)模型。 例 22 試列圖 流電動機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓 ua(t)為輸入量，電動機(jī)轉(zhuǎn)速ωm(t)為輸出量。圖中 Ra， La分別是電樞電路的電阻和電感； Mc是折合到電動機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)矩。激磁磁通設(shè)為常值。 ①電樞回路電壓平衡方程 式中 Ea(V) 是電樞反電勢 ,它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢 ,其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比 ,方向與電樞電壓 ua(t) 相反 ,即 是反電勢系數(shù) . )//(,)( sr a dVCtCEemea ??aaaaaa EtiRdttdiLtu ??? )()()( (22) ② 電磁轉(zhuǎn)矩方程 式中 是電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) , 是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩 . )/( AmNC m ? ))(( MNtM m ?)()( tiCtM amm ? (23) ③ 電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程 )()()()( tMtMtfdt tdJ cmmmmm ??? ?? (24) 式中 , 是電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù) 。 是電動機(jī)和負(fù)載折合到電動機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動慣量 . )//( sr a dmNf m ?)( 2smkgJ m ?? 由式 (22)~式 (24）消去中間變量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得到以 ?m(t) 為輸出量 ,以 ua(t)為輸入量的直流電機(jī)微分方程為 )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma??????? ???(25) 工程中電樞電路電感 La 較小 , 常忽略不計(jì) ,因而上式可簡化為 )()()()( 21 tMKtuKtdt tdT cammm ??? ??(26) 式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是電動機(jī)機(jī)電時間常數(shù) (s)。 K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是電動機(jī)傳遞系數(shù) . 如果 Ra 和 Jm 都很小而忽略不計(jì)時 ,式 (26)還可進(jìn)一步簡化為 這時 ,?m(t)與 ua(t)成正比 ,于是 ,電動機(jī)可作為測速發(fā)電機(jī)使用 . )()( tutC ame ?? (27) 例 23 圖 23a)所示為彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)。當(dāng)受外力F(t)作用時，要求寫出系統(tǒng) 的微分方程。 F(t) x(t) m F2(t) F1(t) 圖 23 機(jī)械位移系統(tǒng) b) F(t) x(t) m K f a) 質(zhì)量 m 上受力情況如圖 示。 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動定律有： 2221)()()()(dttxdmtFtFtF ??? （ 28） 式中 : )(1 tF—— 阻尼器阻力。其大小與運(yùn)動速度成正比，方向 與運(yùn)動方向相反，阻尼系數(shù)為 f， 即： dttdxftF )()(1 ?)(2 tF —— 彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有： )()(2 tKxtF ?K—— 彈簧剛度 聯(lián)立以上三式并整理得： )()()()(22tFtKxdt tdxfdt txdm ??? （ 29） 假定 m、 k、 f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。 從以上分析可以發(fā)現(xiàn) ,物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng) ,可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型 ,例如，前述的 RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧 質(zhì)量 阻尼器機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，我們稱之為 相似系統(tǒng) .相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系，利用它可以 (1) 用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng) 。 (2) 為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ) . (3) 二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng) . 綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下： ?根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量； ?分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程； ?消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程，便是元件時域的數(shù)學(xué)模型。一般應(yīng)將微分方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式，即與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。 2 控制系統(tǒng)微分方程的建立 建立系統(tǒng)微分方程時，先由系統(tǒng)原理線路圖或方塊圖，分別列寫組成系統(tǒng)各元件的微分方程；然后，消去中間變量便得到描述系統(tǒng)輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程。 解 系統(tǒng)被控對象是電動機(jī)（帶負(fù)載），系統(tǒng)的輸出量是轉(zhuǎn)速 ω ， 參據(jù)量是 ui。 系統(tǒng)由給定電位器、運(yùn)算放大器 I、運(yùn)算放大器 Ⅱ 、功率放大器、測速發(fā)電機(jī)、減速器等組成。分別列寫各元部件微分方程： 例 24 試列寫圖 24所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。 圖 24 R2 運(yùn)算放大器 I 給定電壓 ui與速度反饋電壓 ut合成，產(chǎn)生偏差電壓并放大 運(yùn)算放大器 Ⅱ u2與 u1之間的微分方程為 功率放大器 采用晶閘管整流裝置 ,k3為比例系數(shù) 直流電動機(jī) 直接引用例 22所求得的直流電動機(jī)微分方程式 (26) 齒輪系 設(shè)速比為 i， 電機(jī)轉(zhuǎn)速 ωm經(jīng)齒輪系減速后變?yōu)?ω 有 測速發(fā)電機(jī) 其輸出電壓 ut與轉(zhuǎn)速 ω 成正比 Kt為比例系數(shù) （ 210） 3 線性系統(tǒng)的基本特性 疊加原理 兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單獨(dú)作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。因此對線性系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)時，如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可將它們分別處理，依次求出各個外作用單獨(dú)加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。 4 線性定常微分方程的求解 當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性定常微分方程的求解方法有經(jīng)典法、 拉氏變換法 和數(shù)值計(jì)算方法。 用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時 ,可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型 — 傳遞函數(shù) .傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能 ,而且可以用來研究系