【正文】 氏變換并代入已知數(shù)據(jù)，經整理后有 在上式中，前兩項是由網絡輸入電壓產生的輸出分量，與初始條件無關，故稱為 零初始條件響應 ；后一項則是由初始條件產生的輸出分量，與輸入電壓無關，故稱為零輸入響應 ，它們統(tǒng)稱為網絡的 單位階躍響應 。 ? ? ?? 0 )()( dtetfsF st (211) (s是一個復參量 ) 若 F(s)是 f(t) 的拉氏變換，稱 f(t)為 F(s)的 拉氏逆變換 ，記作 f(t) =L1[F(s)]. F(s)和 f(t)為 一個拉氏變換對。 4 線性定常微分方程的求解 當系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。 系統(tǒng)由給定電位器、運算放大器 I、運算放大器 Ⅱ 、功率放大器、測速發(fā)電機、減速器等組成。 (2) 為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎 . (3) 二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng) . 綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下： ?根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量； ?分析元件工作中所遵循的物理或化學規(guī)律，列寫相應的微分方程； ?消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關系的微分方程，便是元件時域的數(shù)學模型。 根據(jù)牛頓第二運動定律有： 2221)()()()(dttxdmtFtFtF ??? （ 28） 式中 : )(1 tF—— 阻尼器阻力。 是電動機和負載折合到電動機軸上的轉動慣量 . )//( sr a dmNf m ?)( 2smkgJ m ?? 由式 (22)~式 (24）消去中間變量 ia(t) , Ea 及 Mm(t) , 便可得到以 ?m(t) 為輸出量 ,以 ua(t)為輸入量的直流電機微分方程為 )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma??????? ???(25) 工程中電樞電路電感 La 較小 , 常忽略不計 ,因而上式可簡化為 )()()()( 21 tMKtuKtdt tdT cammm ??? ??(26) 式中 Tm=RaJm/(Rafm+CmCe) 是電動機機電時間常數(shù) (s)。 例 22 試列圖 流電動機的微分方程，要求取電樞電壓 ua(t)為輸入量，電動機轉速ωm(t)為輸出量。本章重點研究分析法。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達式，并對系統(tǒng)進行性能分析。第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 ? 前言 ? 元件和系統(tǒng)微分方程的建立 ? 非線性微分方程的線性化 ? 拉普拉斯變換法求解微分方程 ? 傳遞函數(shù)的概念 ? 結構圖、信號流圖及梅森增益公式 ? 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) ?小結 前言 在控制系統(tǒng)的分析和設計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 建立數(shù)學模型方法有 分析法 和 實驗法 。 自控理論數(shù)學模型有多種形式。圖中 Ra， La分別是電樞電路的電阻和電感； Mc是折合到電動機軸上的總負載轉矩。 K1=Cm/(Rafm+CmCe) , K2=Ra/(Rafm+CmCe)是電動機傳遞系數(shù) . 如果 Ra 和 Jm 都很小而忽略不計時 ,式 (26)還可進一步簡化為 這時 ,?m(t)與 ua(t)成正比 ,于是 ,電動機可作為測速發(fā)電機使用 . )()( tutC ame ?? (27) 例 23 圖 23a)所示為彈簧、質量、阻尼系統(tǒng)。其大小與運動速度成正比，方向 與運動方向相反，阻尼系數(shù)為 f， 即： dttdxftF )()(1 ?)(2 tF —— 彈簧力。一般應將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關的項寫在方程的右端，與輸出量有關的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導數(shù)項均按降冪排列。分別列寫各元部件微分方程： 例 24 試列寫圖 24所示速度控制系統(tǒng)的微分方程。線性定常微分方程的求解方法有經典法、 拉氏變換法 和數(shù)值計算方法。 ⑵ 拉氏變換表 表 2－ 1 拉氏變換表 (參見教材表 A3) f(t) F(s) ? (t) 1 1(t) 1 / s t 1 / s2 tn1/(n1)! 1 /sn eat 1/(s+a) sin?t ?/(s2+?2) cos?t s/(s2+?2) 1 b－ a (eat－ ebt) 1/(s+a)(s+b) ② 位移定理： ? ? )()( sFetfL s?? ??? ? ? )()( asFtfeL at ??⑶ 基本定理 設 F(s)=L[f(t)] , F1(s)=L[f1(t)], F2(s)=L[f2(t)],α,β為常數(shù) ① 線性定理： ? ? )()()()(2121 sFsFtftfL ???? ???? ? )()()()( 21211 sfsftFtFL ???? ????③ 相似定理： )()( sFtfL ??? ???????α為實常數(shù) ④ 微分定理： )0()()( fssFdttdfL ????????)0()0()0()0()()()1()2(21??????????????????????nnnnnnnfsffsfssFsdttfdL ?當 f(t)及其各階導數(shù)的初始值都為零時： )()( sFsdt tfdL nn???????⑤ 積分定理： ? ? sfs sFdttfL )0()()( 1????式中： 為在 處的值 ??? dttff )()0(1 0?tL L ⑥ 終值定理： )(lim)(lim)( 0 sFstff st ???? ???⑷ 拉氏反變換 定義： )0,()(21)( ???? ? ???? tjsdsesFjtfjjst ?????拉氏反演積分 求拉氏逆變換的方法 在實際使用時，采用部分分式展開法，即將復雜函數(shù)展開成簡單函數(shù)的和 當： 時 )()()()( 21 sFsFsFsF n??????????⑦ 初值定理： ? ? ? ? ? ? ? ?)()()()()()()(21121111tftftfsFLsFLsFLsFLnn???????????????????? ????其中： 可查表。 用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結如下： ?考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉換為變量 s的代數(shù)方程； ?由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式； ?對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。 22 控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型 傳遞函數(shù) 拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時，可得到控制系統(tǒng)在復數(shù)域中的數(shù)學模型 — 傳遞函數(shù)。反之亦可 . ④ 傳遞函數(shù) G(s) 的拉氏反變換是脈沖響應 g(t) . 脈沖響應g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖 輸入時的輸出響應 ,此時 , )(t? ? ?)()( tLsR ??? ? ? ? ? ? .)()()()()(,1 111 sGLsGsRLsCLtg ??? ???? 故有 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的 ,控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義 :一是指輸入量是在 t≥0時才作用于系統(tǒng) ,因此在 t=0時輸入量及其各階導數(shù)均為零 。 ⑴ 電位器 電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置 .在控制系統(tǒng)中 ,單個電位器用作為 信號變換裝置 ,如圖 26(a)所示 。可見，兩相伺服電機和直流電機的傳遞函數(shù)在形式上 完全相同 。 ⑶ 比較點 (綜合點 ) . 對兩個以上的信號進行加減運算 , “ +”號表示相加， “ ”號表示相減， “ +”號可省略，如圖 212(c)。而且，從系統(tǒng)結構圖