【正文】 , d使 )(/1 AN? 曲線不被 )( ?jG所包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅值不斷 減小 , 即 d點沿負倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向一直移動 直至非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅值趨向于零 .當系統(tǒng)受到一 個不大的擾動時 1A增大 , 設 a點順箭頭方向移動到 c點 , c則 )(/1 AN? 曲線被 )( ?jG 包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán) 節(jié)的輸入信號幅值不斷增大 , c點一直移動到 b點 , 可見 a 點是一不穩(wěn)定的振蕩點 . 設系統(tǒng)最初工作在 b點 , 對應的參數(shù)為 , 如下圖 . 22,?AImRe0)( ?jG)(/1 AN?),( 11 ?Aa),( 22 ?Abdc當系統(tǒng)受到一個不大的擾動時 2A減小 , 設 )(/1 AN? 曲線上的點將 從 b點逆箭頭方向移動到 c點 , 則按前面 的分析 , 曲線上的點將回到 b點 . 當系統(tǒng) 受到一個不大的擾動時 2A增大 , 設 b點順 箭頭方向移動到 e點 , e使 )(/1 AN? 曲線不被 )( ?jG 所包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅 值不斷減小 , 即 e點沿負倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向回 到 b點 , 故 b點是一穩(wěn)定的自振蕩點 . 非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩點處的振蕩幅值和頻率可由 產(chǎn)生自激振蕩的條件 )(/1)( ANjG ??? 求得 . 例 :設具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如下圖所示 . 圖中 , 0)( ?tr )(te )(tm))(( ?? sssK )(tc0kamea?15,2,1 ??? Kka , 求系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的幅值 和頻率 . 解 : 前已推導出飽和非線性的描述函數(shù)為 : aAAaAaAakAN ???? ? ])/(1)/([ s i n2)( 21?將已知參數(shù)代入上式得 : 1])/1(11)/1([ s i n4/)(/1 21 ?????? ? AAAAAN ?當 1?A 時 , ,)(/1 ??? AN當 ??A 時 , ???? )(/1 AN在復平面上負倒描述函數(shù)的曲線如下圖 . 曲線大致 )( ?jGImRe0)(/1 AN? ?)( ?jG形狀見圖中所示 . 兩條曲線交 于 a點 , a經(jīng)計算可得 a點對應的頻 率 1)(, ??xx jG ??, a點是一穩(wěn)定 的自激振蕩點 , 由自激振蕩條件 )(/1)( ANjG ??? 可得 : 1])/1(11)/1([ s i n4/)(/1)( 21????????? ?AAAAANjG x ???即系統(tǒng)自激振蕩時 , 非線性環(huán)節(jié)的輸入信號 tte )( ?。1111AntYjGAMAtYjGAMty????????????????????若系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩 , 則有 , 比較式 (23)和式 (24) )()(39。39。 NN , 則此非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 39。)(39。39。 (4)若非線性環(huán)節(jié)輸出 )(39。 1Y 為非線性環(huán)節(jié)輸出信 號一次諧波分量的幅值 。 )(te)(tr )(ty )(tc)(2 sG)(1 sG N)(tx)(sH(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號 )(tx 是幅值為 A的正弦信號 , 不包含恒定直流分量 。( 00 ?xxB系統(tǒng)從任一初始點出發(fā) , 均將沿相軌 跡收斂于原點 . 當 T0, 相軌跡如圖 中綠線所示 . ),( 00?xxA)39。,39。s i n,c o s rxdrdxarx ?????? ?若 ),(11?xx 點與圓心的連線和橫軸正方向間的夾角為 1?1?),( 22 ?xx 點與圓心的連線和橫軸正方向間的夾角為 2?2?, 且 . 積分法中的式 (17)可轉化為 : )18(s i n/s i n/ 21212121?????? ???? ????????? ??? ? drdrxdxt xx021 ????4. 非線性系統(tǒng)的相平面分析 例 1. 繼電型非線性系統(tǒng)階躍響應和斜坡響應的分析 . 1h 2h1h?2h?00m0m?me)(tr )(te )(tm)1(4?ss)(tc設系統(tǒng)初始 條件 : 0)0()0( ?? ?cc,210???hhm(1)單位階躍輸入信號 )(),(1)( tcttr ? 對 )(tm 的微分方程式為 : )19()(4)()( tmtctc ?? ??? 因 )(tm 與 )(tr 沒有直接關系 , 故 設法把 )(tc 變量換成 )(te 變量 . 當 0?t 時 , )()(),()()()()()()( tctetctctrtetctrte ???????? ??????????代入式 (19): )20()(4)()( tmtete ??? ???由于 )(te 與 )(tm 為非線性關系 , 將式 (20)分段線性化 , 由右圖 得 : ????????????????????????????????????????????,00,400eeoremeeoreeeeoremmee1h 2h1h?2h?00m0m?me區(qū)域 :???????????????????ede edede edededt eddedt ede?令 deed /??? , 則 )1/( ???? ?e 等傾線為一組平 行于 e 軸的直線 . 當 0?? 時 , ???e?0??相軌跡為一組平行的曲線 , 所由相軌跡均趨向于 的直線 , 如下圖所示 . ???e?ee0?0)0()0(,1)0()0()0(0)0()0(????????????cecrecc?這一特定的相軌跡如上圖 10 pp 所示 . 10p1p????2p區(qū)域 因相軌跡的斜率始終為 1, 所以相軌跡為一簇平行的斜 率為 1的直線 , 見下圖 . :?? 10/ ????? ??? ?edeede??0???ee0?10p1p特定的相軌跡為 21pp區(qū)域 相軌跡與區(qū)域 :??? )1/(????? ???? ?eedeede?? 類似 , 但所有相軌跡均趨向于 ??e直線 , 見下圖 . ????2p?0???ee0?10p1p???0??3p特定的相軌跡為 32 pp4p5p, 最后形成一個極限環(huán) . 系統(tǒng)作持 續(xù)振蕩 , 振蕩的幅值與 021 , mhh及線性部分的時間常數(shù) 和傳遞系數(shù)有關 . (2)等速度輸入信號 代入式 (19)并分段線性化得 : Rtt