【正文】 (s i n [)()( 1 ???? ??? tYjGtx式 (23)中 , )()()()()()()()()(2121??????????jHjGjGjGjHjGjGjG?????設(shè) )(1)()( AjeAMAN ?? , 式中 A 是 )(tx 的幅值 , 則 )24()()()12(s i n [)()()]()(s i n [)()()(39。1111AntYjGAMAtYjGAMty????????????????????若系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩 , 則有 , 比較式 (23)和式 (24) )()(39。 tyty ?可得系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩的條件為 : ????????????)12()()(1)()(1 nAjGAM非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的上述條件 , 也可表為 : )(/1)( ANjG ??? 的形式 , 推導(dǎo)如下 : )(/1)(1)12s i n ()12c o s ()()()()( )12()]()([ 1ANjGnjneeAMjGANjG njAj??????????? ??????? ?????稱上式中 )(/1 AN? 為非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù) . 有上 分析可得兩個結(jié)論 : (1)當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分的頻率特性與非線性環(huán) 節(jié)的乘積等于 1時 , 系統(tǒng)將產(chǎn)生自激振蕩 。 (2)由于 )( ?jG 是關(guān)于 ? 的復(fù)變函數(shù) , 而 )(/1 AN?是關(guān)于 A的復(fù)變函數(shù) , 因此兩者的曲線可畫在同一復(fù)平面 上 ,而 ? 和 A均作為參變量在復(fù)平面上并不出現(xiàn) . 則由兩者 曲線的交點(diǎn) , 可確定系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的性質(zhì) , 自激振蕩 的頻率和幅值 . 由 )(/1)( ANjG ??? 這一等式 ,可將線性系統(tǒng)中的奈氏 穩(wěn)定判據(jù)推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng) , 說明如下 : 假如系統(tǒng)中 沒有非線性環(huán)節(jié) , 則閉環(huán)特征方程的頻域表達(dá)式為 : 01)( ???jG , 即 1)( ???jG , 與非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩 的條件 )( ?jG 復(fù)平 )0,1( j?面上的點(diǎn) 相比較可知 , 線性系統(tǒng) )(/1)( ANjG ???, 在非線性系統(tǒng)的復(fù)平面上被負(fù)倒描述函 數(shù) )(/1 AN? 曲線所取代 . 從而奈氏判據(jù)用于非線性系統(tǒng)時 可作如下表述 : 當(dāng)非線性系統(tǒng)的線性部分傳遞函數(shù)的所有 極點(diǎn)均在 S的左半平面上時 , (1)當(dāng)曲線 )(/1 AN? 未被 )( ?jG 奈氏曲線包圍時 , 非線 性系統(tǒng)是穩(wěn)定的 , 在穩(wěn)態(tài)時 , 系統(tǒng)不會產(chǎn)生自激振蕩 . 如下圖所示 . 兩曲線相距越遠(yuǎn) , 系統(tǒng)越穩(wěn)定 . 其穩(wěn)定程度 ImRe0)(/1 AN?)( ?jG也可仿照線性系統(tǒng)穩(wěn)定裕量的 概念 , 用幅值裕度和相角裕度 來表征 . 但由于 A值不同 , )(/1 AN?曲線上的點(diǎn)與 )( ?jG 曲線的相對位置 也不一樣 , 因而對于不同的 A值就有 不同的穩(wěn)定裕量數(shù)值 , 假如當(dāng) A等于 0A 時 , 在 )(/1 AN? 曲線上的點(diǎn)為 N, NA,0連接 0N, 交 )( ?jG 曲線 于 G點(diǎn) , G則定義幅值裕度為 )()/l o g (20 dbOGONhx ?, 若以 0N為半徑作一圓弧交 )( ?jG 曲線于 M點(diǎn) , M則連線 0N與 0M 間的夾角 ??定義為相角裕度 . (2)當(dāng)曲線 )(/1 AN? 被 )( ?jG 包圍 , 如下圖所示 , ImRe0)(/1 AN?)( ?jG 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 . (3)當(dāng)曲線 與 )(/1 AN? )( ?jG 如下圖所示相交時 , ImRe0)( ?jG)(/1 AN?),( 11 ?Aa),( 22 ?Ab則系統(tǒng) 在交點(diǎn) a,b處將發(fā)生自激振蕩 . 交點(diǎn)的不同 , 自激振蕩又分為 穩(wěn)定的自振蕩和不穩(wěn)定的自振蕩 . 設(shè)系統(tǒng)最初工作在 a點(diǎn) , 對應(yīng)的參數(shù)為 11,?A , 當(dāng)系統(tǒng)受到一個不大的擾動時 1A減小 , 設(shè) )(/1 AN? 曲線上的點(diǎn)將從 a點(diǎn)逆箭頭方向移動到 d點(diǎn) , d使 )(/1 AN? 曲線不被 )( ?jG所包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅值不斷 減小 , 即 d點(diǎn)沿負(fù)倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向一直移動 直至非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅值趨向于零 .當(dāng)系統(tǒng)受到一 個不大的擾動時 1A增大 , 設(shè) a點(diǎn)順箭頭方向移動到 c點(diǎn) , c則 )(/1 AN? 曲線被 )( ?jG 包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán) 節(jié)的輸入信號幅值不斷增大 , c點(diǎn)一直移動到 b點(diǎn) , 可見 a 點(diǎn)是一不穩(wěn)定的振蕩點(diǎn) . 設(shè)系統(tǒng)最初工作在 b點(diǎn) , 對應(yīng)的參數(shù)為 , 如下圖 . 22,?AImRe0)( ?jG)(/1 AN?),( 11 ?Aa),( 22 ?Abdc當(dāng)系統(tǒng)受到一個不大的擾動時 2A減小 , 設(shè) )(/1 AN? 曲線上的點(diǎn)將 從 b點(diǎn)逆箭頭方向移動到 c點(diǎn) , 則按前面 的分析 , 曲線上的點(diǎn)將回到 b點(diǎn) . 當(dāng)系統(tǒng) 受到一個不大的擾動時 2A增大 , 設(shè) b點(diǎn)順 箭頭方向移動到 e點(diǎn) , e使 )(/1 AN? 曲線不被 )( ?jG 所包圍 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 將使非線性環(huán)節(jié)的輸入信號幅 值不斷減小 , 即 e點(diǎn)沿負(fù)倒描述函數(shù)的曲線反箭頭方向回 到 b點(diǎn) , 故 b點(diǎn)是一穩(wěn)定的自振蕩點(diǎn) . 非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩點(diǎn)處的振蕩幅值和頻率可由 產(chǎn)生自激振蕩的條件 )(/1)( ANjG ??? 求得 . 例 :設(shè)具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如下圖所示 . 圖中 , 0)( ?tr )(te )(tm))(( ?? sssK )(tc0kamea?15,2,1 ??? Kka , 求系統(tǒng)產(chǎn)生自激振蕩的幅值 和頻率 . 解 : 前已推導(dǎo)出飽和非線性的描述函數(shù)為 : aAAaAaAakAN ???? ? ])/(1)/([ s i n2)( 21?將已知參數(shù)代入上式得 : 1])/1(11)/1([ s i n4/)(/1 21 ?????? ? AAAAAN ?當(dāng) 1?A 時 , ,)(/1 ??? AN當(dāng) ??A 時 , ???? )(/1 AN在復(fù)平面上負(fù)倒描述函數(shù)的曲線如下圖 . 曲線大致 )( ?jGImRe0)(/1 AN? ?)( ?jG形狀見圖中所示 . 兩條曲線交 于 a點(diǎn) , a經(jīng)計算可得 a點(diǎn)對應(yīng)的頻 率 1)(, ??xx jG ??, a點(diǎn)是一穩(wěn)定 的自激振蕩點(diǎn) , 由自激振蕩條件 )(/1)( ANjG ??? 可得 : 1])/1(11)/1([ s i n4/)(/1)( 21????????? ?AAAAANjG x ???即系統(tǒng)自激振蕩時 , 非線性環(huán)節(jié)的輸入信號 tte )( ?