【正文】 0,11202 01 22????????????????????????x＞＞xxxxxxxxx??????53 ? ?是一個不穩(wěn)定的極限環(huán)可推出對應(yīng)該方程的,用上述相同的分析方法如范德波爾方程改為反之為不穩(wěn)定極限環(huán).限環(huán)。這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極它,側(cè)的相軌跡若均趨向極限環(huán). 極限環(huán)內(nèi)外兩都卷向使極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡越來越大,相應(yīng)系統(tǒng)使x 的幅值,若初始值0 01 0,12m ＞xxxx＜＜x???? ??? ??于54 第六節(jié) 非線性系統(tǒng)的相平面分析 1) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程可解析的，可根據(jù)其線性化方程式根的性質(zhì)去確定奇點的類型，然后用圖解法或解析法畫出奇點附近的相軌跡。 例 86 求下列方程所描述系統(tǒng)的相軌跡圖， 并分析系統(tǒng)奇點的穩(wěn)定性。 2 ???? xxxx ???2) 當(dāng)系統(tǒng)的非線性方程非解析的，則通過將非線性元件的特征 作分段線性化處理，即把相平面分成若干個區(qū)域，每一個區(qū)域 有一個相應(yīng)的微分方程和奇點。只要把各個區(qū)域內(nèi)的相軌跡 依次連接起來，就可得到系統(tǒng)完整的相軌跡圖。 解 : 奇點為（ 0， 0）和（ 2， 0） 55 ?在原點附近，線性化后的方程為 ,特征方程 2,12jxxx???????????????? 在奇點（ 2， 0）附近，對方程作如下改寫 對應(yīng)的奇點為鞍點由此可知,特征方程上式近似表示為附近,在則原方程變?yōu)?令,0,022122?????????????????????yyyyyyyyyxy???????圖 835 例 86的相軌跡 56 ?如果狀態(tài)的初始點位于圖中的陰影區(qū)域內(nèi)， 則相軌跡均收斂于坐標(biāo)原點，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 反之，初始狀態(tài)若位于陰影區(qū)域外，相軌跡均趨向于 無窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ?非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與初始狀態(tài)有關(guān)。 57 例 87 一非線性系統(tǒng)如圖 836所示，試求在階躍輸入 r(t)=R01(t)和斜坡輸入 r(t)=vt(v＞ 0)時的相軌跡。 輸出特性飽和非線性的輸入非線性控制系統(tǒng) ?b)a) 圖 836 ,4,1 0 ???? MeKsT圖中解：由圖得 3 7 所示的三個區(qū)域圖8把相平面分割特點,根據(jù)飽和非線性特性的所以上式改寫為,因為r?????????為rrTKmeeTceKmccT????????? 圖 837 相平面的區(qū)域劃分 58 ? ? 0000ee＜rTKMeeTe ＞erTKMeeT＜eerTKeeeT ee＜Me ＞eM＜eeemrrr??????????????????????????????????????的方程三區(qū)不同的區(qū)域所對應(yīng)得b36由圖859 ? 階躍輸入 ? ?? ?? ?0000ee＜ e ＞eee＜0KMeeTe ＞e0KMeeT????TKMeTKMe＞eeKeeeTt＜ee?????????????????11 20 0,0,100?????????????? 或?qū)懽飨到y(tǒng)的方程為在飽和區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi),飽和區(qū)域節(jié)點只能為穩(wěn)定焦點或穩(wěn)定0,0所以奇點正值,由于方程各項系數(shù)均為線性區(qū)域當(dāng) 當(dāng)60 ? ? ? ? ? ?Ⅱ和Ⅲ部分的相軌則得即等傾線的斜率,若令相軌跡的斜率等于,在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)沒有奇tbKMeKMedeed123838 0???????????00ee＜e ＞e???圖 838 的相軌跡)階 躍信號作用下系統(tǒng)范圍內(nèi)的相軌跡 ba) 0＞ee61 ? 斜坡輸入 ? ?? ?? ?? ?000000e ＜ee ＞eee＜VKMeeTe ＞eVKMeeT＞e＜e???TKMVeTKMVeeeeKVKVVKeeeTeVKmeeTVVtt????????????????????11 20, 1 00??????????????或?qū)懽黠柡蛥^(qū)還是小于的值是否大于這取決區(qū)域外,也可以在本,此奇點可以在本區(qū)域內(nèi)奇點為則原方程改寫為常數(shù),其中令62 ? ?? ?? ?? ?? ?統(tǒng)又一明顯不同之處.系這是非線性系統(tǒng)與線性條件有關(guān),它的大小與系統(tǒng)的初始來表示,OP系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差由線段的相軌跡可知,由圖8當(dāng)其值但有穩(wěn)態(tài)誤差,輸入,系統(tǒng)的輸出能跟蹤斜坡可知,由圖8Ⅰ內(nèi),位于區(qū)域故奇點由于軸的下方,位于漸近線,當(dāng)誤差是無窮大這種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)由相軌跡圖可知,而是落在區(qū)域不位于區(qū)域Ⅰ內(nèi),由,即,當(dāng)三種情況的漸近線有對于區(qū)域漸近線cTeTedeedTeeeTKVeeKMVKVebKV＜eKVeKMVe＜eKMVeKVKeVKMVKMVeKMVess391,0,01 01 0 ,0,)3.390,0,)2,39a8Ⅱ)1,Ⅱ ⅢⅡ 0000?????????????????????????????? ???????????????＜＞＞＞ee＜ee＞eeee＜e ＞e00000見圖內(nèi)圖 839 63 結(jié)論： 和時間常數(shù)T 有關(guān)其穩(wěn)態(tài)誤差與初始條件坡輸入,系統(tǒng)的輸出也能跟蹤斜,其值但有穩(wěn)態(tài)誤差, 輸入,系統(tǒng)的輸出能跟蹤斜坡,坡輸入系統(tǒng)的輸出不能跟蹤斜,對于斜坡輸入0e收斂坐標(biāo)原點,跡飽和非線性系統(tǒng)的相軌對于階躍輸入,ssKMVKVess???)3 .)2 V ＜K M1 ) V ＞K M64 例 88 已知輸入為階躍信號，試求該系統(tǒng)的相軌跡 。 圖 840 非線性控制系統(tǒng) 解由圖得 : 區(qū)域的方程為對應(yīng)于上述三個不同的且,時,考慮到則?????????????????000ee＜Me ＞eM＜ee0x ＞ 00 , ????????????????tTKxeeTecKxccT65 KMeTKMeKMeTKMeCeTee??????????????????????????????????? ee＜ e ＞e ＜eeee＜0KMeeTe ＞e0KMeeT＜ee0eeT 000000 。1 。1 1 0 漸近線有漸近線有方程分別為它們的相軌跡的等傾線對于ⅡⅢ的飽和區(qū)域。式中C 為積分常數(shù)對應(yīng)的相軌跡方程有為區(qū)域Ⅰ,??66 結(jié)論： ?系統(tǒng)穩(wěn)定。 ?線段 OG表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，它的大小與初始條件有關(guān)。 ?減少非線性的死區(qū)或時間常數(shù) T，不能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)而且也有利于 ess的減小。 圖 841 圖 840所示系統(tǒng)的相軌跡 67 ?描述函數(shù)法是在滿足一定條件下的一種線性化分析法，它主要用于判別非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和是否有自持振蕩產(chǎn)生。 ?相平面法是分析二階非線性系統(tǒng)動態(tài)性能的一種有效方法。 ?繪制相軌跡的方法有二種：一種是解析法；另一種是圖解法；圖解法有等傾線和 δ法兩種。 ?用相平面分析下述兩類非線性系統(tǒng)：一類是非線性方程可解析處理的，另一類是不可解析處理的。 小結(jié) :