【正文】 ， 稱為阻尼系數(shù) （ 或阻尼比 ） 。此時，（ 39）可寫成 （ 310） ??121 ???? ???? nnP122 ???? ???? nnP22110212))(()( pspsspspsssCn????????????j ?1P2P0 ?[s] 1??圖 36 過阻尼時極點分布 式中 將 、 、 代入式（ 310），并進行拉氏反變換，得 （ 311) 式 (311)表明，系統(tǒng)的單位階躍響應由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為 1，瞬態(tài)分量包含兩個衰減指數(shù)項，隨著 t增加，指數(shù)項衰減，響應曲線單調(diào)上升，其響應曲線如圖 37所示。 通常，稱 阻尼比 時二階系統(tǒng)的運動狀態(tài)為過阻尼狀態(tài) 。 221 ????)s i n1( c os1)(2ttetC ddtn ?????????? ?)s i nc o s1(11 22tte ddtn?????????????21 ??? ?? nd11 ??? n??22 ???10 ??式中 ，稱為阻尼自振頻率。 衰減速度取決于 的大小 。此時有 將 代入式（ 315）， 并進行拉氏反變換，得 1??1??np ???2,11])([ 00 ???? ?sssC1]))(([{ 21 ????? ?? nsnssCdsd ??nsn nssC ?? ? ?????? ??])()([ 2221PPn???j?o [s] 1??圖 310 臨界阻尼時極點的分布 210 , ???221022)()()(nnnnssssssC?????????????? （ 3－ 15） tnt nn teetC ?? ? ?? ??? 1)()1(1 te ntn ?? ??? ? )0( ?t 該式表明，當 時，系統(tǒng)的輸出響應由零開始單調(diào)上升，最后達到穩(wěn)態(tài)值 1，其響應曲線如圖 311所示。 響應曲線如圖 3 –12（ b） 所示 。 因此阻尼比 是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù) 。由圖可見， 越小，響應特性振蕩得越厲害，隨著 增大到一定程度后，響應 特性變成單調(diào)上升的。 2．二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標 在實際應用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過系統(tǒng)的單位階躍響應的特征量來表示的。 控制系統(tǒng)的單位階躍響應一般來說是與初始條件有關的 ， 為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量 ， 通常假設系統(tǒng)的初始條件為零 。 21 ????? rnte0)s in ( ?? ?? rd t0)s in ( ?? ?? rd t??? kt rd ??rtn??rt?n?rt21 ????????????ndrt(319) 由定義，將式（ 318）對時間求導，并令其等于零，即 得 經(jīng)變換可得 所以 即 （ k=1,2， …… ） 因為峰值時間 是 C(t)到達第一個峰值的時間，故取 =1,所以 tp0)( ??pttdttdC)s in ( ???? ?pdn t 0)c o s ( ??? ??? pdd t)( ?? ?pd ttg ??nd????? 21? ?tg????? ??? kt pd峰值時間 響應曲線 C（ t） 從零開始到達第一個峰值所需時間，稱為峰值時間。 ?n?ptn??ptd?d?pt21 ????????ddpt（ 3－ 20） 超調(diào)量 在響應過程中 ， 輸出量 C（ t） 超出其穩(wěn)態(tài)值的最大差量與穩(wěn)態(tài)值之比稱為超調(diào)量 。 反之 ， 如果給 出了超調(diào)量的要求值 ， 也可 求得相應的阻尼比的數(shù)值 。 根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義應有下式成立 式中 （ 或 ） 將式 （ 318） 及 代入上式得 為簡單起見 ， 可以采用近似的計算方法 ， 忽略正弦函數(shù)的影響 ， 認為指數(shù)項衰減到 （ 或 ）時 ， 過渡過程即進行完畢 ， 于是得到 st%5? %2?)()()( ?????? CCtC )( stt ??? 1)( ??C?????)s in (1 2?????te dtn)( stt ? 由此可求得 若取 ，則得 若取 ，則得 ????21 ??? tne)( stt ?)11ln1( l n111ln122 ?????? ???????nnst??nst ??? 211ln3?????(322) nst ??? 211ln4??? (323) 在 時，上面兩式可分別近似為 和 該式表明，調(diào)節(jié)時間 近似與 成反比。 ?? ?nst ??3?nst ??4?st n??n?? n??st?st n?n?(324) 5．振蕩次數(shù) N 響應曲線在 0～ 時間內(nèi)波動的次數(shù)稱為振蕩次數(shù)。當保持 不變時，提高 可使 、 、 下降，從而提高系統(tǒng)的快速性，同時系統(tǒng)的快速性，同時保持 和 N不變。其中（ a） 為無速度反饋系統(tǒng)，（ b） 為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為 的值，并比較系統(tǒng)（ a） 和 (b)階躍響應的瞬態(tài)性能指標。 34 高階系統(tǒng)的時域響應 若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階 ， 則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng) 。 因此 ， 工程上通常把高階系統(tǒng)適當?shù)睾喕傻碗A系統(tǒng)進行分析 。 ? ?? ? ???????????qirk nknkkknkknkkkiissCsBPsssC 1 1 222021)()( ???????0? i? k? kC? ?? ?? ????????qiknkrktktpi teetCnkki1210 )1c o s ()( ??????? ??? rknktk teC nkk12 )1s in ( ???? )0( ?t(327) 各瞬態(tài)分量在過渡過程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù) 、 的值和相應項的系數(shù) 、 、 的大小。 顯然，對系統(tǒng)過渡過程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點。 因此 ， 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠離零點的極點來決定 。在設計高階系統(tǒng)時，常利用主導極點的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預期的一對共軛復數(shù)主導極點，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標來設計系統(tǒng) 。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。AA f 圖 317 擺運動示意圖 A f 圖 318 不穩(wěn)定系統(tǒng) 圖 319 小范圍穩(wěn)定系統(tǒng) d f c A 圖 3－ 19中，小球超出了 C、 D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動的作用 ， 偏離了原來的平衡狀態(tài) ， 而當擾動消失后 ， 系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的平衡狀態(tài) ， 則稱該系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的 （ 簡稱為穩(wěn)定 ） 。 根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義 ， 可以用 函數(shù)作為擾動來討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 ? 如果特征根中有一個或一個以上具有正實部 ， 則該根對應的瞬態(tài)分量是發(fā)散的 ， 此時有 ， 系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 0)(lim ??? tCt???? )(lim tCt三 .勞斯穩(wěn)定判據(jù) 由以上討論可知， 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負實部。勞斯判據(jù)利用特征方程的各項系數(shù)進行代數(shù)運算，得出全部特征根具有負實部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。故 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正， 即 naaa , 10 ?),2,1,0(0 nia i ???nppp ?, 21 根據(jù)必要條件 ， 在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時 ， 可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零 ， 若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零 ， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘的方法 ， 可以計算 c , d, … … e , f , g各行的系數(shù) 。 且不穩(wěn)定根的個數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù) 。 本例中，勞斯表可按如下方法計算； 1 14 10 6 17 2 67 58 (同乘以 6) 791 134 （同乘以 67） 36900 （同乘以 791） 134 由于第一列系數(shù)的符號相同，故系統(tǒng)穩(wěn)定，結論與前面一致。 例 35 已知系統(tǒng)的特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 057432)1)(522( 2345234 ???????????? ssssssssss5s0s1s2s3s4s例如 ， ， 等等。 * 特征方程中以原點為對稱的根可由輔助方程求得。 但由于 行的各項均為零 ， 這表明系統(tǒng)有共軛虛根 ， 所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 ， 共軛虛根可由輔助方程求得 ， 即由 6s1s2s3s4s5s0s3s016122 24 ??? ss 或 解得 綜上所述，應用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般可以按如下順序進行： 確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 當 時 , 試確定 K為何值時 ， 系統(tǒng)穩(wěn)定 。有些文獻上稱之為“ 錯開原理 ” 。