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自動控制理論—時域分析-文庫吧資料

2025-05-18 22:12本頁面
  

【正文】 ? ??? nknkk j)(t?1)2()()()(1 1221??????? ??? ??qirknknkkimjjrssPsZsKsC???? ?? ??? ?????qirkdkkdkktti tCteetCnkki1 1)s i nc o s()( ????21 ??? ?? nkdk 式 ( 328) 表明 ? 當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實部時 , 則各瞬態(tài)分量都是衰減的 , 且有 , 此時系統(tǒng)是穩(wěn)定的 。 設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時 , 輸入一個理想單位脈沖 , 這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下 , 受到一個擾動信號的作用 , 如果當(dāng) t趨于 時 ,系統(tǒng)的輸出響應(yīng) C(t)收斂到原來的零平衡狀態(tài) ,即 該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的 。 此時 , 該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義 。 否則 , 稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 二 .穩(wěn)定的充要條件 穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動消失后 , 自身具有的一種恢復(fù)能力 , 它是系統(tǒng)的一種固有特性 , 這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù) , 與外作用無關(guān) 。 圖 3- 17為穩(wěn)定的系統(tǒng)。 穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例 ? ?39。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義,穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素擾動時,會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài),并隨時間的推移而發(fā)散。 167。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項指標(biāo)來估計。 如果高階系統(tǒng)有一個極點(diǎn) ( 或一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) ) 離虛軸最近 , 且其附近又無零點(diǎn)存在 , 而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上 , 則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個 ( 或這對 ) 極點(diǎn)來確定 , 而其它極點(diǎn)的影響可 以忽略不計 , 這個 ( 或這對 ) 極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的 主導(dǎo)極點(diǎn) 。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近,則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小,這對零極點(diǎn)對系統(tǒng)過度過程的影響也將很小。 iP nkk??i? kCkBiP nkk??iP nkk?? 各衰減項的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在 S平面中的位置有關(guān),而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。而 和 就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離,因此,如果分布在 S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn),則它對應(yīng)的分量衰減越快。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在 S平面的左半部分,即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實部,那么,當(dāng) t趨于無窮大時,式中的指數(shù)項都趨于零,系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。 對上式進(jìn)行拉氏反變換 , 求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為 由此可見 , 高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成 。 下面簡單地介紹高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑 。 但是 , 高階系統(tǒng)的分布計算比較困難 , 同時 , 在工程設(shè)計的許多問題中 , 過分講究精確往往是不必要的 , 甚至是無意義的 。 在控制工程中 , 大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng) 。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由此得 )()( assKsG??%10?p? 2%)5( ?stKassKs???? 2)(Kn ??Kaan 22?? ??由題意 即 解得 而 即 解得 a=3 所以 %10%10021 ??? ?????? ep1 2??????????232 ??? KKan??23 ??nst ??(秒) ) 3()2( 22 ???? ?aK167。 n? ? p? st)( ?? ? rt pt?n?tK 將上式與式( 36)相比較得 解得 , 根據(jù)式 ( 319) 、 ( 320) 、 ( 321) 、 ( 324) 、 ( 325) 計算上升時間 1010)(2 ???? sss12 ?n??102 ?n??? ?n?R(s) E(s) )1(10?ssC(s) (a) (b) R(s) E(s) C(s) )1(10?sssKt圖 316 例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 11221???????????nrtgt (秒) 解 系統(tǒng)( a) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 峰值時間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間 振蕩次數(shù) 系統(tǒng) ( b) 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 2??????npt(秒) %%1 0 021 ??? ?????? ep63 ??nst ??(秒) )( ??2??? ?? ?N (次) )( ??10)101(10)(2 ????? sKsst將上式與式( 36)相比較得 將 代入,解得 由 和 可求得 通過上述計算可知 , 采用速度反饋后 , 可以明顯地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能 。 例 31 設(shè)控制系統(tǒng) 如圖 316所示。 dsTtN ?dd TT?2???nst ??3???? ????nst ??4???? 212 ??N??n??n? rt pt ststp?當(dāng)保持 不變時,增大 可使 和 下降 ,但使 和 上升,顯然在系統(tǒng)的振蕩性能和快速性之間是存在矛盾的,要使二階系統(tǒng)具有滿意的動態(tài)性能,必須選取合適的阻尼比和無阻尼自振蕩率。阻尼比 和無阻尼自振頻率 是二階系統(tǒng)兩個重要特征參數(shù),它們對系統(tǒng)的性能具有決定性的影響。 根據(jù)定義,振蕩次數(shù) 式中 稱為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。也就是說,在不改變超調(diào)量的條件下,通過改變 的值可以改變調(diào)節(jié)時間。由于 是閉環(huán)極點(diǎn)實部的數(shù)值, 越大,則閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離越遠(yuǎn),因此,可以近似地認(rèn)為調(diào)節(jié)時間 與閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離成反比。 1)( ??Cp??n? ? p??p?~??p?%~25?p??%100%100)( )()( 21 ???? ??? ?????? eC CtC pp( 321) p?100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 圖 315 欠阻尼二階系統(tǒng) 超調(diào)與阻尼比關(guān)系曲線 ? 調(diào)節(jié)時間 響應(yīng)曲線到達(dá)并停留在穩(wěn)態(tài)值的 ( 或 )誤差范圍內(nèi)所需的最小時間稱為調(diào)節(jié)時間 ( 或過渡過程時間 ) 。 一般當(dāng) 時,相應(yīng) 的超調(diào)量 。 當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比 確定后 , 即可求得對應(yīng)的 超調(diào)量 。 超調(diào)量可表示為 式中 為輸出量的最大值, 為輸出量的穩(wěn)態(tài)值。 由于 是閉環(huán)極點(diǎn)虛部的數(shù)值 , 越大 , 則閉環(huán)極點(diǎn)到實軸的距離越遠(yuǎn) , 因此 , 也可以說峰值時間 與閉環(huán)極點(diǎn)到實軸的距離成反比 。 ?? kt pd ?pt21 ????????ddpt( 3- 20) 可見 , 當(dāng) 一定時 , 越大 , 越小 , 反應(yīng)速度越快 。根據(jù)上述定義,當(dāng)時, , ,由式( 318)可得 超調(diào)量 C(t) 上升時間 峰值時間 調(diào)節(jié)時間 誤差帶 穩(wěn)態(tài)誤差 )( ??to 1.0 t 圖 314 二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo) rtrtt? 1)( ?rtC 即 所以 ( k=0,1,2…… ) 由于上升時間 是 C( t) 第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時間,故取 k=1, 所以 由式 (319)可以看出,當(dāng) 一定時,阻尼比 越大,上升時間 越長,當(dāng) 一定時, 越大, 越小。 系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為 (318) )s i n (11)(2??????????tetC dtn )0( ?t對應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖 314 所示下面就根據(jù)式( 318) 和圖 314所示曲線來定 義系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo) , 同時討論性能指標(biāo)與特征 量之間的關(guān)系 。 ?21??? n?? 此時 , 系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下 , 能有較短的過渡過程時間 , 因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo) , 主要是針對二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的 。為了定量地評價二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量,必須進(jìn)一步分析 和 對系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響 , 并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評價系統(tǒng)的性能指標(biāo) 。 ????)(tC0????????1??2??tn? 圖 313 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 一般希望二階系統(tǒng)工作在 =~ 狀態(tài)下,在工程實際中,通常選取 作為設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)。從過 渡過程持續(xù)的時間看,當(dāng)系 統(tǒng)無振蕩時,以臨界阻尼時 過渡過程的時間最短,此時, 系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。 如圖 313所示,此時曲線只和阻尼比 有關(guān)。 若選取 為橫坐標(biāo) , 可以作出不同阻尼比時二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲 線 , n?d??0??tn? —— 無阻尼自然振蕩頻率 , 此時系統(tǒng)輸出為 等幅振蕩 —— 阻尼振蕩頻率。 根據(jù)上面的分析可知 , 在不同的阻尼比時 , 二階系統(tǒng)的響應(yīng)具有不同的特點(diǎn) 。 綜上所述 , 不難看出頻率 和 的物理意義 。 將 代入式 ( 313) 得 1??1??t 1 o C(t) 圖 311 臨界阻尼響應(yīng) 0??0??njp ???2,10??ttC n?c o s1)( ?? 可見 , 系統(tǒng)的輸出響應(yīng)是無阻尼的等幅振蕩過程 , 其振蕩頻率為 。 是輸出響應(yīng)的單調(diào)和 振蕩過程的分界 , 通常稱 為臨界阻尼狀態(tài) 。 21s in ?? ???? ?co s?)143(0)s i n (11)( 2 ???????ttetC dtn???????? 21 ?? a rc tg ?? a rc c o s?t C(t) 1 0 圖 39 欠阻尼響應(yīng) d??n?n??(三)臨界阻尼 ( )的情況 當(dāng) 時,系統(tǒng)具有兩個相等的負(fù)實數(shù)極點(diǎn), ,如圖 310所示。 此時系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài) 。振蕩的角頻率為 它取決于阻尼比 和無阻尼自 然頻率 。 根據(jù)式( 244)求得 , , 令 , ,其中 角如圖 38所示。 221 ?????tes dtdnd n ?
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