【正文】 有些文獻(xiàn)上稱(chēng)之為“ 錯(cuò)開(kāi)原理 ” 。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 * 特征方程中以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)的根可由輔助方程求得。 例 35 已知系統(tǒng)的特征方程為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)等于勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù) 。故 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正， 即 naaa , 10 ?),2,1,0(0 nia i ???nppp ?, 21 根據(jù)必要條件 ， 在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí) ， 可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零 ， 若有任何系數(shù)是負(fù)數(shù)或等于零 ， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 。 0)(lim ??? tCt???? )(lim tCt三 .勞斯穩(wěn)定判據(jù) 由以上討論可知， 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定的充要條件是其特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部。 根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義 ， 可以用 函數(shù)作為擾動(dòng)來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。AA f 圖 317 擺運(yùn)動(dòng)示意圖 A f 圖 318 不穩(wěn)定系統(tǒng) 圖 319 小范圍穩(wěn)定系統(tǒng) d f c A 圖 3－ 19中，小球超出了 C、 D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認(rèn)為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來(lái)選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng) 。 顯然，對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。 因此 ， 工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化成低階系統(tǒng)進(jìn)行分析 。其中（ a） 為無(wú)速度反饋系統(tǒng)，（ b） 為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為 的值，并比較系統(tǒng)（ a） 和 (b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。 ?? ?nst ??3?nst ??4?st n??n?? n??st?st n?n?(324) 5．振蕩次數(shù) N 響應(yīng)曲線在 0～ 時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的次數(shù)稱(chēng)為振蕩次數(shù)。 反之 ， 如果給 出了超調(diào)量的要求值 ， 也可 求得相應(yīng)的阻尼比的數(shù)值 。 21 ????? rnte0)s in ( ?? ?? rd t0)s in ( ?? ?? rd t??? kt rd ??rtn??rt?n?rt21 ????????????ndrt(319) 由定義，將式（ 318）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并令其等于零，即 得 經(jīng)變換可得 所以 即 （ k=1,2， …… ） 因?yàn)榉逯禃r(shí)間 是 C(t)到達(dá)第一個(gè)峰值的時(shí)間，故取 =1,所以 tp0)( ??pttdttdC)s in ( ???? ?pdn t 0)c o s ( ??? ??? pdd t)( ?? ?pd ttg ??nd????? 21? ?tg????? ??? kt pd峰值時(shí)間 響應(yīng)曲線 C（ t） 從零開(kāi)始到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間，稱(chēng)為峰值時(shí)間。 2．二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo) 在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來(lái)表示的。 因此阻尼比 是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù) 。此時(shí)有 將 代入式（ 315）， 并進(jìn)行拉氏反變換，得 1??1??np ???2,11])([ 00 ???? ?sssC1]))(([{ 21 ????? ?? nsnssCdsd ??nsn nssC ?? ? ?????? ??])()([ 2221PPn???j?o [s] 1??圖 310 臨界阻尼時(shí)極點(diǎn)的分布 210 , ???221022)()()(nnnnssssssC?????????????? （ 3－ 15） tnt nn teetC ?? ? ?? ??? 1)()1(1 te ntn ?? ??? ? )0( ?t 該式表明，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)由零開(kāi)始單調(diào)上升，最后達(dá)到穩(wěn)態(tài)值 1，其響應(yīng)曲線如圖 311所示。 221 ????)s i n1( c os1)(2ttetC ddtn ?????????? ?)s i nc o s1(11 22tte ddtn?????????????21 ??? ?? nd11 ??? n??22 ???10 ??式中 ，稱(chēng)為阻尼自振頻率。此時(shí)，（ 39）可寫(xiě)成 （ 310） ??121 ???? ???? nnP122 ???? ???? nnP22110212))(()( pspsspspsssCn????????????j ?1P2P0 ?[s] 1??圖 36 過(guò)阻尼時(shí)極點(diǎn)分布 式中 將 、 、 代入式（ 310），并進(jìn)行拉氏反變換，得 （ 311) 式 (311)表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量組成，其穩(wěn)態(tài)分量為 1，瞬態(tài)分量包含兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)，隨著 t增加，指數(shù)項(xiàng)衰減，響應(yīng)曲線單調(diào)上升，其響應(yīng)曲線如圖 37所示。在控制工程實(shí)踐中 ， 二階系統(tǒng)應(yīng)用極為廣泛 ， 此外 ， 許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來(lái)研究 ， 因此 ， 詳細(xì)討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實(shí)際意義 。 按照脈沖函數(shù) ， 階躍函數(shù) 、 斜坡函數(shù)的順序 ， 前者是后者的導(dǎo)數(shù) ， 而后者是前者的積分 。即 且 可見(jiàn)，當(dāng) t趨于無(wú)窮大時(shí)，誤差趨近于 T， 因此系統(tǒng)在進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在任一時(shí)刻，輸出量 c (t) 將小于輸入量 r(t)一個(gè) T的值，時(shí)間常數(shù) T越小，系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差也越小。經(jīng)過(guò) 3T～ 4T時(shí)， C（ t） 將分別達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的 95%～ 98%。 圖 32 一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 C(s) R(s) Ts1Ts1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )(11)().()( sRTssRssC ????)()()()( trtctdtdcT ??可見(jiàn)，典型的一階系統(tǒng)是一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，而 T也是閉環(huán)系統(tǒng)的慣性時(shí)間常數(shù)。 這些函數(shù)都是簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù) ， 并且易于通過(guò)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生 ， 便于數(shù)學(xué)分析和試驗(yàn)研究 。 ? 瞬態(tài)分量 由于輸入和初始條件引起的 ， 隨時(shí)間的推移而趨向消失的響應(yīng)部分 ， 它提供了系統(tǒng)在過(guò)度過(guò)程中的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能的信息 。 33 二階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 34 高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 167。 ? 穩(wěn)態(tài)分量 是過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后 ,系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài) ，其輸入輸出間的關(guān)系不再變化的響應(yīng)部分 ， 它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能或誤差 。 如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸增加的信號(hào)，則選用斜坡函數(shù)較合適；如果作用到系統(tǒng)的輸入信號(hào)大多具有突變性質(zhì)時(shí)，則選用階躍函數(shù)較合適。 系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系為 對(duì)應(yīng)的微分方程為 11)()()(???? TssRsCs （ 3－ 3 在零初始條件下 ， 利用拉氏反變換或直接求解微分方程 ， 可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的輸出響應(yīng) ?？梢?jiàn)，時(shí)間常數(shù) T反應(yīng)了系統(tǒng)的響應(yīng)速度， T越小，輸出響應(yīng)上升越快，響應(yīng)過(guò)程的快速性也越好。 )1()()()( TteTtctrte ?????Ttet???)(lim 對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，求得單位脈沖響應(yīng)為 由此可見(jiàn) ， 系統(tǒng)的單位脈沖 響應(yīng)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 的拉氏變換 。 21T?T1比較一階系統(tǒng)對(duì)上述信號(hào)的輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn) ，脈沖響應(yīng) 、 階躍響應(yīng) 、 斜坡響應(yīng)之間也存在同樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 )1( ?Tss KC(t) R(t) _ C(t) 圖 35 二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 KsTsKsRsCs????? 2)()()( （ 3－ 5） 設(shè)一個(gè)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖 35所示。 1])([ 00 ???? ?sssC1211 12)]()([1 ppssC nps??????? ???2222 12)]()([2 ppssC nps????????? ??)(121)(21221pepetC tptpn ?????? )0( ?t0A 1A 2A當(dāng) １時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn) 比 距虛軸遠(yuǎn)的多，故 比 衰減快的多。 根據(jù)式（ 244）求得 ， ， 令 , ，其中 角如圖 38所示。 是輸出響應(yīng)的單調(diào)和 振蕩過(guò)程的分界 ， 通常稱(chēng) 為臨界阻尼狀態(tài) 。 若選取 為橫坐標(biāo) ， 可以作出不同阻尼比時(shí)二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲 線 , n?d??0??tn? —— 無(wú)阻尼自然振蕩頻率 ， 此時(shí)系統(tǒng)輸出為 等幅振蕩 —— 阻尼振蕩頻率。為了定量地評(píng)價(jià)二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析 和 對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響 ， 并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo) 。 ?? kt pd ?pt21 ????????ddpt（ 3－ 20） 可見(jiàn) ， 當(dāng) 一定時(shí) ， 越大 ， 越小 ， 反應(yīng)速度越快 。 一般當(dāng) 時(shí)，相應(yīng) 的超調(diào)量 。 根據(jù)定義，振蕩次數(shù) 式中 稱(chēng)為系統(tǒng)的阻尼振蕩周期。 n? ? p? st)( ?? ? rt pt?n?tK 將上式與式（ 36）相比較得 解得 , 根據(jù)式 （ 319） 、 （ 320） 、 （ 321） 、 （ 324） 、 （ 325） 計(jì)算上升時(shí)間 1010)(2 ???? sss12 ?n??102 ?n??? ?n?R(s) E(s) )1(10?ssC(s) (a) (b) R(s) E(s) C(s) )1(10?sssKt圖 316 例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 11221???????????nrtgt （秒） 解 系統(tǒng)（ a） 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 峰值時(shí)間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間 振蕩次數(shù) 系統(tǒng) （ b） 的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1 2??????npt（秒） %%1 0 021 ??? ?????? ep63 ??nst ??（秒） )( ??2??? ?? ?N （次） )( ??10)101(10)(2 ????? sKsst將上式與式（ 36）相比較得 將 代入，解得 由 和