維納濾波和卡爾曼濾波(2)-資料下載頁
2025-05-03 07:54本頁面
【正文】 估計(jì)誤差均方矩陣 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 76 2022年 5月 25日星期三 卡爾曼濾波要求 ：通過選擇合適的 Hk， 使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值 Pk最小 。 因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵是求出 Pk～ Hk的關(guān)系式 。 分兩步推導(dǎo)上述關(guān)系式： Step 1 推導(dǎo)狀態(tài)變量的估計(jì)值 和狀態(tài)變量的估計(jì)誤差 。 Step 2 計(jì)算 的均方值 Pk ， 并通過化簡 Pk ， 得到一組卡爾曼濾波的遞推公式 。 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 77 2022年 5月 25日星期三 Step 1: 推導(dǎo)狀態(tài)變量的估計(jì)值和估計(jì)誤差 () () 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 78 2022年 5月 25日星期三 Step 2 計(jì)算校正 的狀態(tài)變量估計(jì)誤差均方值 Pk 。 首先將狀態(tài)變量估計(jì)誤差分解為三部分： 然后計(jì)算狀態(tài)變量估計(jì)誤差的均方值 Pk: 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 79 2022年 5月 25日星期三 利用下面三個(gè)基本結(jié)論對 Pk進(jìn)行化簡 ： (1) 狀態(tài)變量與輸入信號不相關(guān) (2) 狀態(tài)變量估計(jì)誤差與觀測噪聲不相關(guān) (3) 狀態(tài)變量估計(jì)誤差與輸入信號不相關(guān) 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 80 2022年 5月 25日星期三 對 Pk的各項(xiàng) 進(jìn)行化簡： 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 81 2022年 5月 25日星期三 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 82 2022年 5月 25日星期三 化簡 Pk并計(jì)算 ： 39。kP 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 83 2022年 5月 25日星期三 將 Pk′ 代入 Pk： 令 正定矩陣 39。T39。 kk PP ? 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 84 2022年 5月 25日星期三 下面討論使 最小化的 ： kP kH 最小化的充要條件： kP最優(yōu)加權(quán)矩陣： 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 85 2022年 5月 25日星期三 最小均方誤差矩陣 : 卡爾曼遞推公式 (4個(gè) ): 卡爾曼 (Kalman)濾波 ?????????????????????39。1T139。1T39。T39。11)()()?(??kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPQAPAPRCPCCPHxACyHxAx(a) (b) (c) (d) 個(gè) 15315:38:36 86 2022年 5月 25日星期三 卡爾曼濾波遞推算法初始條件 ： 卡爾曼 (Kalman)濾波 卡爾曼濾波一步遞推算法 ： kH 1?zky ky~ kx?kC kAky??kx??1? ?kxkx?0?x?15315:38:36 87 2022年 5月 25日星期三 維納濾波器與卡爾曼濾波比較 ： (1) 二者均采用均方誤差最小準(zhǔn)則 (MMSE)來實(shí)現(xiàn)信號濾波的 。 (2) 維納濾波得到的是穩(wěn)態(tài)解 。 (3) 卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)采用遞推的方法進(jìn)行濾波 。 對于平穩(wěn)信號 ， 當(dāng)過渡過程結(jié)束后 ， 卡爾曼濾波與維納濾波的穩(wěn)態(tài)結(jié)果相等 。 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 88 2022年 5月 25日星期三 例 已知： 卡爾曼 (Kalman)濾波 在 k=0時(shí)開始觀察 yk, yk=xk+vk， 用卡爾曼濾波的計(jì)算公式求 。 解： (1) 首先對 Sxx(z)進(jìn)行譜分解 ， 確定卡爾曼濾波狀態(tài)方程： kx?15315:38:36 89 2022年 5月 25日星期三 (2) 確定量測方程及其參數(shù)： (3) 確定卡爾曼遞推公式 : (a) (b) (c) (d) 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 90 2022年 5月 25日星期三 (2) 求出卡爾曼濾波的輸出 。 卡爾曼 (Kalman)濾波 1 00 1 11 000 0 000 002 000 0 761 904 761 9043 047 619 352 941 352 9414 705 882 832 844 832 8445 173 12 457 875 457 8756 293 04 114 448 114 4487 073 246 028 61 028 618 018 311 007 152 007 1529 004 577 001 788 001 788 000 00 000 000 000 000k39。kP kHkP? kx0y100 .4 0 .5yy?2 1 00 . 4 0 4 7 6 0 . 2 3 8 0 8 0 . 1 9 0 5y y y??3 2 10 . 3 8 2 3 5 0 . 2 0 2 6 0 . 1 1 9y y y? ? ?4 3 20 . 3 7 6 8 0 . 1 9 1 0 . 1 0y y y? ? ?5430 . 3 7 5 5 0 . 1 8 8 0 . 0 9 5y y y? ? ?6 5 40 . 3 7 5 1 0 . 1 8 7 5 0 . 0 9 4 1 7y y y? ? ?7 6 50 . 3 7 5 0 . 1 8 7 5 0 . 0 9 3y y y? ? ?8 7 60 . 3 7 5 0 . 1 8 7 5 0 . 0 9 3y y y? ? ?9 8 70 . 3 7 5 0 . 1 8 7 5 0 . 0 9 3y y y? ? ?121 2 323 5 75 33()8 2 2 2k k kk k kky y yy y yy??? ? ?? ? ?? ? ? ? ?15315:38:36 91 2022年 5月 25日星期三 (3) 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解 。 首先計(jì)算 均方誤差之穩(wěn)態(tài)解 。 由卡爾曼濾波遞推方程可得： +=+ 卡爾曼 (Kalman)濾波 ????????????? 2P15315:38:36 92 2022年 5月 25日星期三 由 P∞ 計(jì)算進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的加權(quán)矩陣和狀態(tài)方程 : () 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 93 2022年 5月 25日星期三 從理論上講 ， 卡爾曼濾波遞推算法可以無限地繼續(xù)下去 。 然而在實(shí)際中可能會產(chǎn)生發(fā)散問題 。 也就是說 ， 隨著迭代次數(shù)的增加誤差不但不減小 ， 反而越來越大 ， 即不收斂 。 產(chǎn)生原因 和 解決辦法 如下： (1) 舍入誤差及其誤差積累的影響將引起發(fā)散現(xiàn)象 ， 主要是計(jì)算機(jī)有限字長效應(yīng) 。 解決辦法是采用雙精度運(yùn)算 ， 但運(yùn)算量要增加 。 目前多采用平方根法 ， 即把遞推公式中的均方誤差矩陣改用其平方根 。 卡爾曼 (Kalman)濾波 15315:38:36 94 2022年 5月 25日星期三 (2) 待估計(jì)過程模型的不精確也會引起發(fā)散現(xiàn)象 。 當(dāng)系統(tǒng)模型不準(zhǔn)確時(shí) ， 新觀測值的修正作用下降 ， 舊觀測值的修正作用相對上升 ， 可以通過逐漸減小舊觀測值的權(quán)重 ， 增大新觀測值的權(quán)重來解決這個(gè)問題 。 常用的方法有衰減記憶法 、 限定記憶法 、限定下界法等 。 (3) 由于系統(tǒng)不可觀察引起的發(fā)散現(xiàn)象 。 所謂不可觀察是指系統(tǒng)有一個(gè)或幾個(gè)狀態(tài)變量是隱含的 ， 現(xiàn)有的觀測數(shù)據(jù)不能提供足夠的信息來估計(jì)所有的狀態(tài)變量 。 卡爾曼 (Kalman)濾波 153
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