【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 路 ：用白噪聲作為待求濾波器 G(z)的輸入 ，假設(shè) 1/B(z)為 x(n)白化濾波器傳輸函數(shù) ， 那么維納濾波器傳輸函數(shù)可以表示為 () 因此維納濾波器的求解轉(zhuǎn)化為 G(z)的求解。 離散維納濾波器的 Z域解 下面分兩種情況討論： 非因果系統(tǒng)和因果系統(tǒng) 。 15315:38:36 34 2022年 5月 25日星期三 依據(jù)前面討論的思路 ， 下面的問(wèn)題 就是求解滿足下列條件的 g(n)或 G(z)， 其中 為白噪聲 。 )(n?G(z)或 g(n) )(n? )(?)( nsny ? 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 35 2022年 5月 25日星期三 () 計(jì)算均方估計(jì)誤差 ： 使均方誤差為最小的充要條件是： ∞＜ k＜ ∞ () g(n)的最佳值： ∞＜ k＜ ∞ () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 36 2022年 5月 25日星期三 G(z)的最佳值： () 非因果維納濾波器的最佳解為 () 考慮 s(n)=s(n)*δ(n)和 x(n)=ω(n)*b(n)， 由相關(guān)卷積定理得： rxs(m)=rωs(m)*b(m) () Sxs (z)=Sωs(z)B(z1) () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 37 2022年 5月 25日星期三 綜合上面的結(jié)果 ， 并考慮 x(n)的 MA模型 ， 可得維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式 () 假定信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即 E［ s(n)v(n)］ =0： rxs(m)=E{[s(n)+v(n)] s(n+m)}=rss(m) rxx(m)=E{[s(n)+v(n)] [s(n+m)+v(n+m)]}=rss(m)+rvv(m) ∴ Sxs(z)=Sss(z) ∴ Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z) () () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 38 2022年 5月 25日星期三 （ ) 非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解 ： （ ) （ ) 說(shuō)明 ：上述結(jié)果與 ()式一樣 ， 但獲得的方法是不一樣的 。 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 39 2022年 5月 25日星期三 下面推導(dǎo)最小均方誤差 E[|e(n)|2]min。 (1)用圍線積分法求 rss(0): () () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 40 2022年 5月 25日星期三 () () 綜合 (1)和 (2)得到 : () (2) 計(jì)算 ??????ns kr2|)(|?復(fù)卷積定理 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 41 2022年 5月 25日星期三 進(jìn)一步簡(jiǎn)化： () 考慮 實(shí)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)以及 信號(hào)與噪聲不相關(guān)： () )()()()()( 1zSzSzSzSzSvvssxxssss??? ? 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 42 2022年 5月 25日星期三 若維納濾波器是因果濾波器， 要求 g(n)=0 n＜ 0 估計(jì)誤差的均方值： E［ |e(n)|2］ =E［ |s(n)y(n)|2］ () () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 43 2022年 5月 25日星期三 使均方誤差取得最小值的充要條件 ： () 先計(jì)算： () () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 44 2022年 5月 25日星期三 因果系統(tǒng) G(z)的最佳解 ： () 因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解 ： () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 45 2022年 5月 25日星期三 計(jì)算最小均方誤差： () 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 46 2022年 5月 25日星期三 結(jié)論 : (1)因果維納濾波器最小均方誤差與非因果維納濾波器最小均方誤差的形式相同 ， 但公式中的 Hopt(z)的表達(dá)式不同 。 (2)非因果 E[|e(n)|2]min一定小于等于因果 E[|e(n)|2]min,， 原因如下 (3) 具體計(jì)算時(shí) ,可以選擇單位圓作為積分曲線 ， 應(yīng)用留數(shù)定理 ， 通過(guò) 計(jì)算積分函數(shù)在單位圓內(nèi)極點(diǎn)的留數(shù)來(lái)得到 。 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 47 2022年 5月 25日星期三 因果維納濾波器的設(shè)計(jì)步驟 ： (1) 根據(jù)觀測(cè)信號(hào) x(n)的功率譜求出對(duì)應(yīng)的 MA信號(hào)模型 ， 即用譜分解的方法得到 B(z)。 (2)求 的 Z反變換 ， 取其因果部分再做 Z變換 。 即舍掉單位圓外的極點(diǎn) ， 得 (3)計(jì)算 Hopt(z)， 將積分曲線取單位圓計(jì)算 E[|e(n)|2]min。 ?????? ? )( )( 1zB zSxs?? ??????)()(1zBzS xs 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 48 2022年 5月 25日星期三 例 已知 信號(hào)和噪聲不相關(guān) ， 即 rsv(m)=0， 噪聲 v(n)是零均值 、 單位功率的白噪聲 (σ2v=1， mv=0)， 求 Hopt(z)和 E[e(n)|2]min。 解： (1) 物理可實(shí)現(xiàn) ， 因果情況 考慮因果穩(wěn)定系統(tǒng) 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 49 2022年 5月 25日星期三 考慮 Sxs(z)=Sss(z)： 離散維納濾波器的 Z域解 15315:38:36 50 2022年 5月 25日星期三 計(jì)算最小均方估計(jì)誤差 ： 離散維納濾波器的 Z域解 未濾波的均方誤差 ： 15315:38:36 51 2022年 5月 25日星期三 (3) 非物理可實(shí)現(xiàn)，非因果 離散維納濾波器的 Z域解 比較兩種情況 ：非物理可實(shí)現(xiàn)的最小均方誤差 ()小于物理可實(shí)現(xiàn)的均方誤差 ()。 15315:38:36 52 2022年 5月 25日星期三 維 納 預(yù) 測(cè) 167。 維 納 預(yù) 測(cè) 維納預(yù)測(cè)的計(jì)算 觀測(cè)數(shù)據(jù)： x(n)， x(n－ 1)， ...... 維納濾波：期望輸出 yd(n)=s(n)， 實(shí)際輸出 y(n)=s(n)。 維納預(yù)測(cè)：期望輸出 yd(n)=s(n+N)， 實(shí)際輸出 y(n)=s(n+N)。 預(yù)測(cè)的可能性 ：可以從兩個(gè)方面理解 。 (1) 信號(hào)內(nèi)部存在著關(guān)聯(lián)性 。 數(shù)據(jù)前后的關(guān)聯(lián)性越密切 ， 預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確；如果完全無(wú)關(guān)聯(lián) ， 則無(wú)法預(yù)測(cè) 。 (2) 系統(tǒng)是有慣性的 。 即便輸入無(wú)關(guān)聯(lián) ， 系統(tǒng)輸出卻有關(guān)聯(lián) 。 ^ ^ 15315:38:36 53 2022年 5月 25日星期三 維 納 預(yù) 測(cè) 預(yù)測(cè)器輸出信號(hào) y(n)和誤差信號(hào) e(n+N)的描述 ： （ ） （ ） H(z) )(?)( Nnsny ??)()()( nvnsnx ?? )()( Nnsny d ??維納預(yù)測(cè)器的目標(biāo)使預(yù)測(cè)均方誤差極小化： 15315:38:36 54 2022年 5月 25日星期三 滿足預(yù)測(cè)誤差均方值最小的充要條件： （ ） 維 納 預(yù) 測(cè) yd(n)=s(n+N) 15315:38:36 55 2022年 5月 25日星期三 因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解 : （ ） 非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解 ： 維納預(yù)測(cè)器的最小均方誤差： 結(jié)論 ：維納預(yù)測(cè)器的求解和維納濾波器的求解方法是一致的。 維 納 預(yù) 測(cè) （ ） 15315:3