【文章內(nèi)容簡介】 出介紹下Matlab的繪圖功能。Matlab繪制圖形實(shí)例如下所示：基于Matlab軟件繪制數(shù)列圖形指令: syms nn=1000:10000。 xn=(1+1./n).^n。plot(n,xn,39。:39。)。 grid on：圖像直觀地表明了n當(dāng)有限增大時(shí),數(shù)列的變化趨勢,用戶經(jīng)過繪圖能夠理解極限概念和含義。3 卡爾曼濾波器原理 狀態(tài)轉(zhuǎn)移卡爾曼濾波的本質(zhì)是一種遞推估計(jì)過程，只要知道上次狀態(tài)估計(jì)和觀察狀態(tài)可以很容易地得到當(dāng)前狀態(tài)值，它和其他的估計(jì)技術(shù)與眾不同，卡爾曼濾波器不需要觀測和估計(jì)的歷史記錄，卡爾曼濾波器是一個(gè)純粹的時(shí)域?yàn)V波器，它和其他的頻域?yàn)V波器最大的區(qū)別在于，比如低通、高通、帶通、帶阻等頻域?yàn)V波器，這些是需要在頻域中設(shè)計(jì)，然后在轉(zhuǎn)變到時(shí)域中使用。但卡爾曼濾波器可以直接在時(shí)間域內(nèi)設(shè)計(jì)和使用，它適合于實(shí)時(shí)處理數(shù)據(jù)。一個(gè)運(yùn)動的目標(biāo)，它當(dāng)前狀態(tài)可以寫成矩陣形式就是一個(gè)二維的列向量 ，即它由位置和速度構(gòu)成。如果已知上一時(shí)刻狀態(tài)那么當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)的位置及目標(biāo)運(yùn)動速度可以用以下的表示方法 （） （）的狀態(tài)的位置及目標(biāo)運(yùn)動速度的輸出變量都只是其輸入變量的線性組合，這體現(xiàn)了卡爾曼濾波器是最佳的線性濾波器，因?yàn)樗荒苊枋鰻顟B(tài)與狀態(tài)之間的線性關(guān)系。因?yàn)榫€性關(guān)系，把它寫成矩陣的形式： （）進(jìn)一步提取出兩個(gè)狀態(tài)變換矩陣 和 （）其中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，作用在于如何從上一時(shí)刻的狀態(tài)來推測當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)。為控制矩陣，它表示控制量如何作用當(dāng)前狀態(tài)。因此可以得出卡爾曼公式中第一個(gè)公式：。 狀態(tài)預(yù)測 （）為對的估計(jì)量，因?yàn)槲矬w的真實(shí)狀態(tài)無法知道，只能根據(jù)所觀測的數(shù)據(jù)盡可能的估計(jì)的真實(shí)值，接著需要根據(jù)觀察來更新預(yù)測值，以便得到最佳值。但是所有的推測過程都會包含噪聲影響，噪聲越大，不確定性也就越大，如何表示這次推測帶來多少不確定性需要引入?yún)f(xié)方差矩陣。 協(xié)方差矩陣先從一維情況說起，由于噪聲，每次測量的值都不相同，但是都是圍繞在一個(gè)中心值的范圍。表示它的最簡單方式就記下它的中心值和方差。這實(shí)際上是假設(shè)了它是一個(gè)高斯的分布。 一維噪聲數(shù)據(jù)分布，分別對兩個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行投影，在兩個(gè)軸上都是高斯分布。 二維噪聲數(shù)據(jù)分布如果兩個(gè)維度是相互獨(dú)立的就可以分別記下中心值和兩個(gè)軸的方差。但是兩個(gè)維度具有相關(guān)性的時(shí)候，比如在一個(gè)維度上噪聲增大，另一個(gè)維度上噪聲也增大，如果一個(gè)維度增大另一個(gè)維度減小，這個(gè)時(shí)候?qū)蓚€(gè)坐標(biāo)軸上投影和之前的是一樣的都是高斯分布，所以要表示兩個(gè)維度的相關(guān)性除了要記錄兩個(gè)維度的方差之外還要協(xié)方差來表示兩個(gè)維度之間的相關(guān)程度。寫成矩陣的形式： （）對角線上的兩個(gè)值是兩個(gè)維度的方差，反對角線上的兩個(gè)值是相等的，是它們的協(xié)方差。在卡爾曼濾波器中所有關(guān)于不確定性的表述都要用到協(xié)方差矩陣。 噪聲協(xié)方差矩陣的傳遞每一個(gè)時(shí)刻的不確定性都是由協(xié)方差矩陣來表示的，如何讓這種不確定性在每一刻之間傳遞呢。 （）式（）表示從上一時(shí)刻的協(xié)方差推測當(dāng)前時(shí)刻的協(xié)方差。具體推導(dǎo)根據(jù)協(xié)方差矩陣的性質(zhì)。這個(gè)時(shí)候還要考慮一個(gè)問題，這個(gè)預(yù)測模型也不是百分之百準(zhǔn)確的，它本身也是包含噪聲的，所以要在后面加上一個(gè)協(xié)方差矩陣來表示預(yù)測模型本身帶來的噪聲。所以公式寫成： （）式（）就是卡爾曼濾波器的第二個(gè)公式，它表示不確定性在各個(gè)時(shí)刻之間的傳遞關(guān)系。 觀測矩陣每一個(gè)時(shí)刻都能觀測到物體的位置，觀測到的值，記為，那么從物體本身的狀態(tài)到觀測狀態(tài)之間有一個(gè)變化關(guān)系，記為，當(dāng)然這種變換關(guān)系也只能是線性關(guān)系，因?yàn)榭柭鼮V波器是線性濾波器，所以理所當(dāng)然的要把寫成矩陣的形式 。也就是所謂的觀測矩陣,和的維度是不一定相同的，如果是一個(gè)二維的列向量，是一個(gè)標(biāo)量，所以用公式表示觀測矩陣，其中為觀測的噪聲，這個(gè)觀測的協(xié)方差矩陣用來表示，如果觀察的值是一個(gè)一維的值，那么這個(gè)的形式也不是一個(gè)矩陣，也只是一個(gè)值，僅僅表示的方差，假設(shè)除了用雷達(dá)還有別的測量方法可以觀測到物體的某項(xiàng)特征,那么就可能是一個(gè)多維的列向量，它會包括每一種測量方式的測量值，而每一種測量值都是真實(shí)值的一種不完全表現(xiàn)，可以從幾種不完全表現(xiàn)中推斷出真實(shí)的狀態(tài)，而卡爾曼濾波器這種數(shù)據(jù)融合功能正是在這種測量矩陣中體現(xiàn)出來的。 狀態(tài)更新已經(jīng)有了觀測量和它的協(xié)方差矩陣，這個(gè)時(shí)候需要整合進(jìn)去對狀態(tài)的估計(jì)。最佳估計(jì)值得公式是： （）對式（）分析，加上的這項(xiàng)表示實(shí)際的觀測值與預(yù)期的觀測值之間的殘差，這殘差乘上一個(gè)系數(shù)就可以修正的值了，這個(gè)十分的關(guān)鍵，它叫做卡爾曼系數(shù)，它也是一個(gè)矩陣。 （）這個(gè)式（）的推導(dǎo)十分復(fù)雜，這里就定性的來分析一下。這個(gè)卡爾曼系數(shù)的作用主要有兩個(gè)方面，一是權(quán)衡預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差和觀察量的協(xié)方差矩陣的大小來決定是相信預(yù)測模型多一點(diǎn)還是相信觀察模型多一點(diǎn)，如果相信預(yù)測模型多一點(diǎn)這個(gè)殘差權(quán)重就會小一點(diǎn)，如果相信觀測模型多一點(diǎn)那么這個(gè)殘差權(quán)重就會大一點(diǎn)。二是把殘差的表現(xiàn)形式從觀察域轉(zhuǎn)換到狀態(tài)域。剛才說到觀察值只是一個(gè)一維的向量，狀態(tài)是一個(gè)二維的列向量，它們用的單位甚至是特征都有可能是不同的，那怎么用觀察值的殘差去更新狀態(tài)值其實(shí)就要涉及到這個(gè)卡爾曼系數(shù)，實(shí)際上這個(gè)卡爾曼系數(shù)就是在做這樣一個(gè)轉(zhuǎn)換，觀察到物體的位置，但是里面已經(jīng)包含了協(xié)方差矩陣的信息，所以它利用位置和速度這兩個(gè)維度的相關(guān)性，從位置的殘差里推算出了速度的殘差，從而可以對狀態(tài)的兩個(gè)維度同時(shí)進(jìn)行修正。 噪聲協(xié)方差矩陣的更新 （）更新最佳估計(jì)值得噪聲分布，這個(gè)值是留給下一輪迭代時(shí)候用的，在這一步里狀態(tài)的不確定性是減小的，而在下一輪里由于傳遞噪聲的引入不確定性又會增大，卡爾曼濾波器就是在這種不確定性的變化中尋求的一種平衡。但是要注意的是這個(gè)公式僅僅在最優(yōu)卡爾曼增益時(shí)它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個(gè)公式[13]。 卡爾曼濾波的五個(gè)公式預(yù)測： （） （）式（）和式（）是通過前一個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)來預(yù)測當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)，這并不是最佳的估計(jì)值，它們還欠缺點(diǎn)東西，這個(gè)欠缺的東西就是從觀測里面帶來的信息，因?yàn)檫€沒考慮當(dāng)前時(shí)刻的觀測值。更新： （） （） （）式（）式（）和式（）三個(gè)公式就用當(dāng)前的觀測值來更新和,經(jīng)過更新后的值就是最佳估計(jì)值了。 卡爾曼變量和參數(shù) 卡爾曼變量和參數(shù)變量定義維數(shù)當(dāng)前t時(shí)刻位置當(dāng)前t時(shí)刻速度t時(shí)刻狀態(tài)矩陣21狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣22控制矩陣21控制量對的估計(jì)量21協(xié)方差矩陣22t1時(shí)刻的協(xié)方差t時(shí)刻的協(xié)方差估計(jì)噪聲協(xié)方差矩陣觀測值觀測矩陣12觀測協(xié)方差矩陣12觀測噪聲當(dāng)前位置最佳估計(jì)值21卡爾曼增益矩陣最佳估計(jì)的協(xié)方差4 蒙特卡洛仿真試驗(yàn)的數(shù)學(xué)思想 蒙特卡洛方法的產(chǎn)生與發(fā)展蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，又稱隨機(jī)抽樣或者稱統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)方法，屬于計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它是基于上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的數(shù)學(xué)方法[7]。傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法之所以很難得到滿意的答案是因?yàn)椴荒鼙平鎸?shí)的物理過程，而蒙特卡羅方法之所以解決問題與實(shí)際非常符合是因?yàn)槟軌蛘鎸?shí)地模擬實(shí)際物理過程，可以得到很圓滿的結(jié)果。20世紀(jì)40年代以來，隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，人們開始可以使用計(jì)算機(jī)技術(shù)來模擬這類實(shí)驗(yàn)。計(jì)算機(jī)可以取代很多實(shí)際上非常龐大而復(fù)雜的數(shù)字仿真技術(shù)，因?yàn)橛?jì)算機(jī)具有較高的運(yùn)算速率與存儲容量大的特點(diǎn)，并且對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的處理十分迅速，于是蒙特卡洛方法被重新提起，并且蒙特卡洛的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛。尤其是相比于可視化編程的各種方法不斷出現(xiàn)，更加顯示了蒙特卡羅方法的獨(dú)特之處，視覺計(jì)算機(jī)