【文章內(nèi)容簡介】 出介紹下Matlab的繪圖功能。Matlab繪制圖形實例如下所示：基于Matlab軟件繪制數(shù)列圖形指令: syms nn=1000:10000。 xn=(1+1./n).^n。plot(n,xn,39。:39。)。 grid on：圖像直觀地表明了n當(dāng)有限增大時,數(shù)列的變化趨勢,用戶經(jīng)過繪圖能夠理解極限概念和含義。3 卡爾曼濾波器原理 狀態(tài)轉(zhuǎn)移卡爾曼濾波的本質(zhì)是一種遞推估計過程，只要知道上次狀態(tài)估計和觀察狀態(tài)可以很容易地得到當(dāng)前狀態(tài)值，它和其他的估計技術(shù)與眾不同，卡爾曼濾波器不需要觀測和估計的歷史記錄，卡爾曼濾波器是一個純粹的時域濾波器，它和其他的頻域濾波器最大的區(qū)別在于，比如低通、高通、帶通、帶阻等頻域濾波器，這些是需要在頻域中設(shè)計，然后在轉(zhuǎn)變到時域中使用。但卡爾曼濾波器可以直接在時間域內(nèi)設(shè)計和使用，它適合于實時處理數(shù)據(jù)。一個運動的目標(biāo)，它當(dāng)前狀態(tài)可以寫成矩陣形式就是一個二維的列向量 ，即它由位置和速度構(gòu)成。如果已知上一時刻狀態(tài)那么當(dāng)前時刻的狀態(tài)的位置及目標(biāo)運動速度可以用以下的表示方法 （） （）的狀態(tài)的位置及目標(biāo)運動速度的輸出變量都只是其輸入變量的線性組合，這體現(xiàn)了卡爾曼濾波器是最佳的線性濾波器，因為它只能描述狀態(tài)與狀態(tài)之間的線性關(guān)系。因為線性關(guān)系，把它寫成矩陣的形式： （）進一步提取出兩個狀態(tài)變換矩陣 和 （）其中為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，作用在于如何從上一時刻的狀態(tài)來推測當(dāng)前時刻的狀態(tài)。為控制矩陣，它表示控制量如何作用當(dāng)前狀態(tài)。因此可以得出卡爾曼公式中第一個公式：。 狀態(tài)預(yù)測 （）為對的估計量，因為物體的真實狀態(tài)無法知道，只能根據(jù)所觀測的數(shù)據(jù)盡可能的估計的真實值，接著需要根據(jù)觀察來更新預(yù)測值，以便得到最佳值。但是所有的推測過程都會包含噪聲影響，噪聲越大，不確定性也就越大，如何表示這次推測帶來多少不確定性需要引入?yún)f(xié)方差矩陣。 協(xié)方差矩陣先從一維情況說起，由于噪聲，每次測量的值都不相同，但是都是圍繞在一個中心值的范圍。表示它的最簡單方式就記下它的中心值和方差。這實際上是假設(shè)了它是一個高斯的分布。 一維噪聲數(shù)據(jù)分布，分別對兩個坐標(biāo)軸進行投影，在兩個軸上都是高斯分布。 二維噪聲數(shù)據(jù)分布如果兩個維度是相互獨立的就可以分別記下中心值和兩個軸的方差。但是兩個維度具有相關(guān)性的時候，比如在一個維度上噪聲增大，另一個維度上噪聲也增大，如果一個維度增大另一個維度減小，這個時候?qū)蓚€坐標(biāo)軸上投影和之前的是一樣的都是高斯分布，所以要表示兩個維度的相關(guān)性除了要記錄兩個維度的方差之外還要協(xié)方差來表示兩個維度之間的相關(guān)程度。寫成矩陣的形式： （）對角線上的兩個值是兩個維度的方差，反對角線上的兩個值是相等的，是它們的協(xié)方差。在卡爾曼濾波器中所有關(guān)于不確定性的表述都要用到協(xié)方差矩陣。 噪聲協(xié)方差矩陣的傳遞每一個時刻的不確定性都是由協(xié)方差矩陣來表示的，如何讓這種不確定性在每一刻之間傳遞呢。 （）式（）表示從上一時刻的協(xié)方差推測當(dāng)前時刻的協(xié)方差。具體推導(dǎo)根據(jù)協(xié)方差矩陣的性質(zhì)。這個時候還要考慮一個問題，這個預(yù)測模型也不是百分之百準(zhǔn)確的，它本身也是包含噪聲的，所以要在后面加上一個協(xié)方差矩陣來表示預(yù)測模型本身帶來的噪聲。所以公式寫成： （）式（）就是卡爾曼濾波器的第二個公式，它表示不確定性在各個時刻之間的傳遞關(guān)系。 觀測矩陣每一個時刻都能觀測到物體的位置，觀測到的值，記為，那么從物體本身的狀態(tài)到觀測狀態(tài)之間有一個變化關(guān)系，記為，當(dāng)然這種變換關(guān)系也只能是線性關(guān)系，因為卡爾曼濾波器是線性濾波器，所以理所當(dāng)然的要把寫成矩陣的形式 。也就是所謂的觀測矩陣,和的維度是不一定相同的，如果是一個二維的列向量，是一個標(biāo)量，所以用公式表示觀測矩陣，其中為觀測的噪聲，這個觀測的協(xié)方差矩陣用來表示，如果觀察的值是一個一維的值，那么這個的形式也不是一個矩陣，也只是一個值，僅僅表示的方差，假設(shè)除了用雷達還有別的測量方法可以觀測到物體的某項特征,那么就可能是一個多維的列向量，它會包括每一種測量方式的測量值，而每一種測量值都是真實值的一種不完全表現(xiàn)，可以從幾種不完全表現(xiàn)中推斷出真實的狀態(tài)，而卡爾曼濾波器這種數(shù)據(jù)融合功能正是在這種測量矩陣中體現(xiàn)出來的。 狀態(tài)更新已經(jīng)有了觀測量和它的協(xié)方差矩陣，這個時候需要整合進去對狀態(tài)的估計。最佳估計值得公式是： （）對式（）分析，加上的這項表示實際的觀測值與預(yù)期的觀測值之間的殘差，這殘差乘上一個系數(shù)就可以修正的值了，這個十分的關(guān)鍵，它叫做卡爾曼系數(shù)，它也是一個矩陣。 （）這個式（）的推導(dǎo)十分復(fù)雜，這里就定性的來分析一下。這個卡爾曼系數(shù)的作用主要有兩個方面，一是權(quán)衡預(yù)測狀態(tài)協(xié)方差和觀察量的協(xié)方差矩陣的大小來決定是相信預(yù)測模型多一點還是相信觀察模型多一點，如果相信預(yù)測模型多一點這個殘差權(quán)重就會小一點，如果相信觀測模型多一點那么這個殘差權(quán)重就會大一點。二是把殘差的表現(xiàn)形式從觀察域轉(zhuǎn)換到狀態(tài)域。剛才說到觀察值只是一個一維的向量，狀態(tài)是一個二維的列向量，它們用的單位甚至是特征都有可能是不同的，那怎么用觀察值的殘差去更新狀態(tài)值其實就要涉及到這個卡爾曼系數(shù)，實際上這個卡爾曼系數(shù)就是在做這樣一個轉(zhuǎn)換，觀察到物體的位置，但是里面已經(jīng)包含了協(xié)方差矩陣的信息，所以它利用位置和速度這兩個維度的相關(guān)性，從位置的殘差里推算出了速度的殘差，從而可以對狀態(tài)的兩個維度同時進行修正。 噪聲協(xié)方差矩陣的更新 （）更新最佳估計值得噪聲分布，這個值是留給下一輪迭代時候用的，在這一步里狀態(tài)的不確定性是減小的，而在下一輪里由于傳遞噪聲的引入不確定性又會增大，卡爾曼濾波器就是在這種不確定性的變化中尋求的一種平衡。但是要注意的是這個公式僅僅在最優(yōu)卡爾曼增益時它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而導(dǎo)致數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個公式[13]。 卡爾曼濾波的五個公式預(yù)測： （） （）式（）和式（）是通過前一個時刻的狀態(tài)來預(yù)測當(dāng)前時刻的狀態(tài)，這并不是最佳的估計值，它們還欠缺點東西，這個欠缺的東西就是從觀測里面帶來的信息，因為還沒考慮當(dāng)前時刻的觀測值。更新： （） （） （）式（）式（）和式（）三個公式就用當(dāng)前的觀測值來更新和,經(jīng)過更新后的值就是最佳估計值了。 卡爾曼變量和參數(shù) 卡爾曼變量和參數(shù)變量定義維數(shù)當(dāng)前t時刻位置當(dāng)前t時刻速度t時刻狀態(tài)矩陣21狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣22控制矩陣21控制量對的估計量21協(xié)方差矩陣22t1時刻的協(xié)方差t時刻的協(xié)方差估計噪聲協(xié)方差矩陣觀測值觀測矩陣12觀測協(xié)方差矩陣12觀測噪聲當(dāng)前位置最佳估計值21卡爾曼增益矩陣最佳估計的協(xié)方差4 蒙特卡洛仿真試驗的數(shù)學(xué)思想 蒙特卡洛方法的產(chǎn)生與發(fā)展蒙特卡羅（Monte Carlo）方法，又稱隨機抽樣或者稱統(tǒng)計試驗方法，屬于計算數(shù)學(xué)的一個分支，它是基于上世紀(jì)四十年代中期為了適應(yīng)當(dāng)時原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的數(shù)學(xué)方法[7]。傳統(tǒng)的經(jīng)驗方法之所以很難得到滿意的答案是因為不能逼近真實的物理過程，而蒙特卡羅方法之所以解決問題與實際非常符合是因為能夠真實地模擬實際物理過程，可以得到很圓滿的結(jié)果。20世紀(jì)40年代以來，隨著電子計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，人們開始可以使用計算機技術(shù)來模擬這類實驗。計算機可以取代很多實際上非常龐大而復(fù)雜的數(shù)字仿真技術(shù)，因為計算機具有較高的運算速率與存儲容量大的特點，并且對實驗結(jié)果的處理十分迅速，于是蒙特卡洛方法被重新提起，并且蒙特卡洛的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛。尤其是相比于可視化編程的各種方法不斷出現(xiàn)，更加顯示了蒙特卡羅方法的獨特之處，視覺計算機