【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 可得 ()為了求得動(dòng)力學(xué)方程，現(xiàn)在根據(jù)式()，對(duì)拉格朗日算子進(jìn)行微分，即 ()由以上的各微分項(xiàng)，根據(jù)第二類拉格朗日方程，我們就可以直接得到主動(dòng)關(guān)節(jié)的力矩表達(dá)式為 ()再把拉格朗日算子對(duì)和求微分，進(jìn)而得到欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程： ()于是欠驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程為 () 式和式可以簡(jiǎn)寫成如下形式： () 在考慮摩擦力矩的情況下，上述表達(dá)式可以拓展成為 ()其中，其中各個(gè)參數(shù)的表達(dá)式如下：如果系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型表示成式()，那么有一個(gè)特征要注意：和并非兩個(gè)完全獨(dú)立的矩陣，兩者之間是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。其物理意義是機(jī)械臂動(dòng)能的導(dǎo)數(shù)等于驅(qū)動(dòng)器力矩和重力矩的功率輸入之和 ()因此，對(duì)于任意時(shí)間有 ()我們得到如式()的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式，在實(shí)際應(yīng)用中，為了計(jì)算與實(shí)驗(yàn)的方便，引入以下五個(gè)參數(shù)表達(dá)式： ()因此有 ()則可將倒立擺機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程改寫成狀態(tài)方程形式： ()令得到狀態(tài)方程： ()即Pendubot系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ()其中， () 小結(jié)本章基于拉格朗日動(dòng)力學(xué)理論建立Pendubot的動(dòng)力學(xué)模型。在建立Pendubot機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，把Pendubot看作是一個(gè)個(gè)關(guān)節(jié)連接起來(lái)的剛體。并用基于運(yùn)動(dòng)能量的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方法建立Pendubot動(dòng)力學(xué)模型。這種方法僅需計(jì)算Pendubot的動(dòng)能與勢(shì)能，因而與牛頓一歐拉方程相比更為簡(jiǎn)潔，而且還能夠充分反映Pendubot的動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)特征。本章所得到的動(dòng)力學(xué)模型是研究Pendubot控制策略的基礎(chǔ)。第三章 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)首先，針對(duì)倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)需要了解倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立相應(yīng)辨識(shí)方程。圖 其中：為主動(dòng)臂長(zhǎng)度，為主動(dòng)臂的質(zhì)心長(zhǎng)度，為欠驅(qū)動(dòng)臂的質(zhì)心長(zhǎng)度，為主動(dòng)臂質(zhì)量，為欠驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)量，為主動(dòng)臂質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為欠驅(qū)動(dòng)臂質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型通過(guò)拉格朗日動(dòng)力學(xué)建立。倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和相關(guān)參數(shù)如下： ()其中，為電機(jī)力矩矢量，q為倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)的角度矢量位置，,。由動(dòng)力學(xué)方程可知，方程含有很多正常數(shù)項(xiàng)，主要是系統(tǒng)中各部分的質(zhì)量，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和長(zhǎng)度，所以為了簡(jiǎn)化方程，便于控制器設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)常數(shù)如下： ()這5個(gè)參數(shù)即為系統(tǒng)所需辨識(shí)的參數(shù)。 能量法辨識(shí)方程建立能量法即通過(guò)能量守恒定律來(lái)建立辨識(shí)方程，是機(jī)械系統(tǒng)最常用的在線或離線辨識(shí)方法之一。針對(duì)被控對(duì)象的輸入能量和輸出能量建立能量守恒方程，通過(guò)梯度法、最小二乘等方法求得所需的辨識(shí)參數(shù)。倒立擺機(jī)器人的輸入能量來(lái)自力矩電機(jī)，輸出能量主要表現(xiàn)為動(dòng)能和勢(shì)能，一般情況下忽略摩擦以及熱能的損耗。首先，列出倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)的動(dòng)能表達(dá)式 ()以及勢(shì)能表達(dá)式 ()通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程可知，動(dòng)能和勢(shì)能的具體表達(dá)式如下， 由于倒立擺機(jī)器人的動(dòng)能和勢(shì)能表達(dá)式與系統(tǒng)所需辨識(shí)參數(shù)關(guān)系為線性的，因此可利用新參數(shù)簡(jiǎn)化式()和式()，便于辨識(shí)算法的設(shè)計(jì)。令，為倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)在時(shí)刻的總能量，為倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)在時(shí)刻的總動(dòng)能，為倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)在時(shí)刻的總勢(shì)能。建立式()總動(dòng)能的等價(jià)表達(dá)式： 其中。建立式()總勢(shì)能的等價(jià)表達(dá)式：其中，、所以 由能量守恒定律得到 () 將式()線性參數(shù)化，得到參數(shù)辨識(shí)方程 ()其中。由于為常數(shù)，而可以通過(guò)給定信號(hào)和反饋信號(hào)計(jì)算獲得，所以式()可以通過(guò)最小二乘法得到辨識(shí)參數(shù)。 辨識(shí)實(shí)驗(yàn) 辨識(shí)程序?qū)崿F(xiàn)根據(jù)辨識(shí)方程可知，當(dāng)方程組中線性無(wú)關(guān)方程數(shù)大于需辨識(shí)參數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，通過(guò)最小二乘方法即可獲得最優(yōu)解，同時(shí)所需辨識(shí)參數(shù)為正常數(shù)，所以我們最終采用離線的非負(fù)最小二乘辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)。首先，打開EasyControl 軟件，設(shè)置采樣周期，打開檢測(cè)主動(dòng)臂和欠驅(qū)動(dòng)臂角位移和速度的示波器，并利用示波器的數(shù)據(jù)儲(chǔ)存功能將數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在Matlab的Workplace中；然后給定系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)，本實(shí)驗(yàn)所采用的激勵(lì)信號(hào)為一階階躍信號(hào)，信號(hào)幅值要求主動(dòng)臂擺動(dòng)瞬間超過(guò)0度，但小于90度，最終穩(wěn)定在45到0度之間即可；最后進(jìn)行辨識(shí)實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)完成之后，即可獲得辨識(shí)結(jié)果。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)求得平均值，然后設(shè)計(jì)控制器，驗(yàn)證辨識(shí)結(jié)果的可實(shí)用性。參數(shù)辨識(shí)程序的實(shí)現(xiàn)需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟：數(shù)據(jù)采集和參數(shù)辨識(shí)程序。(1) 數(shù)據(jù)采集程序數(shù)據(jù)采集程序采用Simulink來(lái)編寫，主要任務(wù)為采集在激勵(lì)信號(hào)下主動(dòng)臂和欠驅(qū)動(dòng)臂的角度信號(hào)和角速度信號(hào)。取三次速度的平均值作為當(dāng)前時(shí)刻的速度值。 () 圖 倒立擺機(jī)器人控制系統(tǒng)開環(huán)運(yùn)行的Simulink程序圖 速度平均濾波方式Simulink程序(2) 參數(shù)辨識(shí)程序?qū)崿F(xiàn)采用Matlab的m語(yǔ)言編寫非負(fù)最小二乘辨識(shí)程序，程序代碼如下所示：dq1 (1)=0。%第一個(gè)采樣周期主動(dòng)臂的速度值dq1 (2)=0。 %第二個(gè)采樣周期主動(dòng)臂的速度值dq2 (1)=0。 %第一個(gè)采樣周期欠驅(qū)動(dòng)臂的速度值dq2 (2)=0。 %第二個(gè)采樣周期欠驅(qū)動(dòng)臂的速度值dq2 (3)=0。 %第三個(gè)采樣周期欠驅(qū)動(dòng)臂的速度值dq1 (3)=0。 %第三個(gè)采樣周期主動(dòng)臂的速度值g=。%重力加速度% dLdLdL3為動(dòng)能表達(dá)式，dL4 、dL5為勢(shì)能表達(dá)式dL1=(*dq1.^2)。dL2=(*dq1.^2+dq1.*dq2 +*dq2.^2)。dL3=(cos(q2).*(dq1.^2+dq1.*dq2))。dL4=(g*sin(q1))。dL5=(g*sin(q1 +q2))。% tdq1為電機(jī)輸入能量，在這里將驅(qū)動(dòng)器增益常數(shù)和電機(jī)力矩常數(shù)考慮在需辨識(shí)的參數(shù)中% signal_Gain%為輸入電壓，tdq1=signal_Gain.*dq1 **。for i=1:(length(dL1)10), DL(i,1)=dL1(i+10)dL1(i)。 DL(i,2)=dL2(i+10)dL2(i)。 DL(i,3)=dL3(i+10)dL3(i)。 DL(i,4)=dL4(i+10)dL4(i)。 DL(i,5)=dL5(i+10)dL5(i)。 Itq(i,1)=trapz(Time(i:i+10),tdq1(i:i+10))。endtheta=lsqnonneg(DL,Itq) %辨識(shí)結(jié)果 參數(shù)辨識(shí)的物理實(shí)驗(yàn)本實(shí)驗(yàn)針對(duì)倒立擺機(jī)器人系統(tǒng)而進(jìn)行的參數(shù)辨識(shí)，為用戶提供有效可靠的參數(shù)值。表 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置激勵(lì)信號(hào)幅值采樣周期編碼器精度5毫秒1250*4 脈沖/圈系統(tǒng)常數(shù)如下：。電源作用為驅(qū)動(dòng)器提供電壓。216。 實(shí)驗(yàn)過(guò)程運(yùn)行EasyControl，設(shè)置示波器時(shí)間范圍。運(yùn)行程序，保存實(shí)驗(yàn)曲線，，將所需數(shù)據(jù)存在Workplace中，運(yùn)行非負(fù)最小二乘辨識(shí)程序()，獲得參數(shù)辨識(shí)結(jié)果。216。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果：第四章 二級(jí)倒立擺平衡點(diǎn)控制 基于LQR方法設(shè)計(jì)平衡控制器 控制理論介紹LQR (linear quadratic regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對(duì)象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目