【文章內(nèi)容簡介】 般這類信號的頻域是連續(xù)的，而函數(shù)信號為斷續(xù)的。隨機信號是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來描述的，不能預(yù)測其未來任何瞬時值，任何一次觀測只代表其在變動范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，其值的變動服從統(tǒng)計規(guī)律。它不是時間的確定函數(shù)，其在定義域內(nèi)的任意時刻沒有確定的函數(shù)值[12]。 一維時變隨機信號的數(shù)學(xué)模型對每一確定的取樣時刻k，x（k）是一個隨機變量。當(dāng)取樣時刻的時標(biāo)k變化時，我們就得到一個離散的隨機過程，即隨機系列{x（k）}。假設(shè)待估隨機信號的數(shù)學(xué)模型是一個由白噪聲系列{w（k）}驅(qū)動的一階自遞歸過程，其動態(tài)方程為： （31）式中：參數(shù) （31）式中的稱為過程噪聲或動態(tài)噪聲。當(dāng)時標(biāo)k變化時，它將構(gòu)成一個白噪聲序列，其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特診來描述：均值： （32）方差： 常數(shù) （33）自相關(guān)序列： （34）由式（31）式所決定的信號x（k），當(dāng)時標(biāo)k變化時，將構(gòu)成一個平穩(wěn)隨機{x（k）}，其統(tǒng)計特性可用以下數(shù)字特性來描述：： （35）： 常數(shù) （36） 當(dāng)取樣時刻的時標(biāo)k變化時，取樣時刻時標(biāo)相差j的x（k）的兩樣值間的自相關(guān)序列為 （37） 信號測量過程的數(shù)學(xué)模型信號測量過程的數(shù)學(xué)模型，可用如下的測量方差給出 （38）式中：為k時刻的信號值。為該時刻對進行測量所得到的信號測量樣值。為此時在測量過程中所引入的量測噪聲，可將其視為獨立的附加白噪聲。當(dāng)k變化時，將組成一個隨機信號序列，將組成一個測量樣值序列，而將組成一個附加白噪聲序列。C為量測參數(shù)，它是一個由測量系統(tǒng)和測量方法所確定的不隨時間變化的常數(shù)。因為量測噪聲序列是一個白噪聲序列，故其統(tǒng)計特性可用如下的數(shù)字特征描述：均值： （39）方差： 常數(shù) （310）自相關(guān)序列： （311） 又因量測噪聲序列與隨機信號序列互不相關(guān)，故 所以，我們可以看到一維時變隨機信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型，見圖31.圖31 一維時變信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型第四章 向量卡爾曼濾波和預(yù)測的一般方法 標(biāo)量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容一維隨機信號的遞歸型估計器的一般表達式： （41）在信號數(shù)學(xué)模型為（31）式、測量過程的數(shù)學(xué)模型為（32）的條件下，以均方根估計誤差最小為準(zhǔn)則對估計器的加權(quán)系數(shù)和進行最優(yōu)化，并推導(dǎo)出標(biāo)量卡爾曼濾波器的最有估計的遞推算法。由（31）式表達的遞歸型估計器在k時刻對信號的估計誤差為 （42） 均方估計差為： （43） 若將（31）式代入（43）式，可得 （44） 若令對呵的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 （45） （46）則由（45）式和（46）式中解出和將保證該遞歸型估計器的均方估計誤差為最小。根據(jù)統(tǒng)計理論中的正交原理，我們也可將（45）式和（46）式分別寫成正交方程的形式，即 （47） （48）由（45）式，我們可得 （49）再由（49）式出發(fā)，經(jīng)過一系列的代換可求出 （410）此式為經(jīng)過最優(yōu)化得到的表達式。式中：是最優(yōu)遞歸型估計器的一個時變增益，它將隨時標(biāo)k的改變而變化。a是信號模型中反映一階自遞歸過程惰性大小的參數(shù)，只要信號模型確定后，它就是一個常數(shù)。顯然，和a是兩個意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個未知的時變增益，因此它實際上只是一個和的關(guān)系式。要想最終確定，還必須求出。最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差可寫成 （411）由正交公式（47）式和（48）式可知，上式等號右側(cè)的后兩項為零，故 （412） 由測量方程（32）式，我們可得 （413）代入（412）式，因為信號與測量噪聲不相關(guān)，（k1）時刻的信號估計值與k時刻的量測噪聲也補相關(guān)，故 （414） 我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計器對信號的均方估計誤差寫成 （415）再利用和的關(guān)系式（410）式 （416）因為、和互不相關(guān)，它們的交叉乘積項的均值都為零，故 （417）將（413）式代入（415）式，經(jīng)整理后求解得 （418）此式即經(jīng)過最優(yōu)化所得到的的表達式。 最優(yōu)遞歸型估計器的構(gòu)成 由（31）式 （419） 所表述的遞歸型估計器，當(dāng)其時變增益和經(jīng)過最優(yōu)化，即分別有（411）式和（416）式給出時，就是一個最優(yōu)遞歸型估計器，其均方估計誤差最小。利用（411）式，我們可從（31）式中消去，得到 （420）由（420）式，可構(gòu)成一個最優(yōu)遞歸型估計器標(biāo)量科爾曼濾波器，其框圖如圖41.圖41 標(biāo)量卡爾曼濾波器框圖對（420）式物理意義的說明：在尚未獲得k時刻的新測量樣值以前，我們只能從（k1）時刻對信號所作出的估計出發(fā)，根據(jù)由信號數(shù)學(xué)模型所確定的規(guī)律來對k時刻的信號進行預(yù)測。由于信號數(shù)學(xué)模型中的動態(tài)噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作?？梢?，（420）式等號右側(cè)的第一項就是在未獲得任何新信息的情況下，根據(jù)以往的測量數(shù)據(jù)對k時刻的信號所做的預(yù)估。在k 時刻的新測量樣值尚未得到之前，我們還可對k時刻的將要測得的新測量樣值進行預(yù)估。但是，此時我們只能從對k時刻的信號的預(yù)估值出發(fā)，根據(jù)量測方程來對k時刻將要測得的作出預(yù)估。由于量測噪聲的確切數(shù)值無從得知，故對的預(yù)估值只能取作 （421）當(dāng)我們測得k時刻的新測量樣值后，若所測得的值與其預(yù)估值 之差不為零，就說明k時刻的新測量樣值中包含有前（k1）次測量中所沒有的新信息。若與其預(yù)估值之差為零，則說明k時刻的新測量樣值中不包含任何新信息。因此，我們把k時刻的信號實測值與其預(yù)估值之差稱為第k 次測量中的新信息。顯然，當(dāng)我們測得k時刻的新測量樣值之后，可利用第k次測量中的新信息乘上一個比例系數(shù)作為修正項，對未測得前對信號給出的預(yù)估值進行修正，從而得到k時刻對信號的估計值?？梢?，（420）式等號右側(cè)的第二項即為對信號預(yù)估值的修正項。 標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波的基本算法是預(yù)估加修正，而公式（420）式、（421）式和（413）式就構(gòu)成了標(biāo)量卡爾曼濾波器在信號及其測量過程的數(shù)學(xué)模型分別為和)時對信號進行最優(yōu)估計的一套完整的遞推算法。（46）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k對信號的估計值，即 （422）（420）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的時變?yōu)V波增益，即 （423）（413）式可用來推算卡爾曼濾波器在不同取樣時刻k的均方估計誤差，即 （424） 為了便于將標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法直接推廣到向量隨機信號（即多維隨機信號）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法：濾波估計方程 （425）濾波增益方程 （426）式中：均方誤差濾波方程： （427） 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測器假設(shè)待測量隨機信號的數(shù)學(xué)模型為一階自遞歸過程，即 （428）信號測量過程的數(shù)學(xué)模型為 （429）線性遞歸型預(yù)測估計器可用如下的遞推方程來表述： （430）為使（430）式表述的線性預(yù)估其成為一個最優(yōu)