【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 般這類信號(hào)的頻域是連續(xù)的，而函數(shù)信號(hào)為斷續(xù)的。隨機(jī)信號(hào)是不能用確定的數(shù)學(xué)關(guān)系式來(lái)描述的，不能預(yù)測(cè)其未來(lái)任何瞬時(shí)值，任何一次觀測(cè)只代表其在變動(dòng)范圍中可能產(chǎn)生的結(jié)果之一，其值的變動(dòng)服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。它不是時(shí)間的確定函數(shù)，其在定義域內(nèi)的任意時(shí)刻沒(méi)有確定的函數(shù)值[12]。 一維時(shí)變隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型對(duì)每一確定的取樣時(shí)刻k，x（k）是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)取樣時(shí)刻的時(shí)標(biāo)k變化時(shí)，我們就得到一個(gè)離散的隨機(jī)過(guò)程，即隨機(jī)系列{x（k）}。假設(shè)待估隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)由白噪聲系列{w（k）}驅(qū)動(dòng)的一階自遞歸過(guò)程，其動(dòng)態(tài)方程為： （31）式中：參數(shù) （31）式中的稱為過(guò)程噪聲或動(dòng)態(tài)噪聲。當(dāng)時(shí)標(biāo)k變化時(shí)，它將構(gòu)成一個(gè)白噪聲序列，其統(tǒng)計(jì)特性可用以下數(shù)字特診來(lái)描述：均值： （32）方差： 常數(shù) （33）自相關(guān)序列： （34）由式（31）式所決定的信號(hào)x（k），當(dāng)時(shí)標(biāo)k變化時(shí)，將構(gòu)成一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī){x（k）}，其統(tǒng)計(jì)特性可用以下數(shù)字特性來(lái)描述：： （35）： 常數(shù) （36） 當(dāng)取樣時(shí)刻的時(shí)標(biāo)k變化時(shí)，取樣時(shí)刻時(shí)標(biāo)相差j的x（k）的兩樣值間的自相關(guān)序列為 （37） 信號(hào)測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型信號(hào)測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，可用如下的測(cè)量方差給出 （38）式中：為k時(shí)刻的信號(hào)值。為該時(shí)刻對(duì)進(jìn)行測(cè)量所得到的信號(hào)測(cè)量樣值。為此時(shí)在測(cè)量過(guò)程中所引入的量測(cè)噪聲，可將其視為獨(dú)立的附加白噪聲。當(dāng)k變化時(shí)，將組成一個(gè)隨機(jī)信號(hào)序列，將組成一個(gè)測(cè)量樣值序列，而將組成一個(gè)附加白噪聲序列。C為量測(cè)參數(shù)，它是一個(gè)由測(cè)量系統(tǒng)和測(cè)量方法所確定的不隨時(shí)間變化的常數(shù)。因?yàn)榱繙y(cè)噪聲序列是一個(gè)白噪聲序列，故其統(tǒng)計(jì)特性可用如下的數(shù)字特征描述：均值： （39）方差： 常數(shù) （310）自相關(guān)序列： （311） 又因量測(cè)噪聲序列與隨機(jī)信號(hào)序列互不相關(guān)，故 所以，我們可以看到一維時(shí)變隨機(jī)信號(hào)及其測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，見(jiàn)圖31.圖31 一維時(shí)變信號(hào)及其測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型第四章 向量卡爾曼濾波和預(yù)測(cè)的一般方法 標(biāo)量卡爾曼濾波器的基本內(nèi)容一維隨機(jī)信號(hào)的遞歸型估計(jì)器的一般表達(dá)式： （41）在信號(hào)數(shù)學(xué)模型為（31）式、測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為（32）的條件下，以均方根估計(jì)誤差最小為準(zhǔn)則對(duì)估計(jì)器的加權(quán)系數(shù)和進(jìn)行最優(yōu)化，并推導(dǎo)出標(biāo)量卡爾曼濾波器的最有估計(jì)的遞推算法。由（31）式表達(dá)的遞歸型估計(jì)器在k時(shí)刻對(duì)信號(hào)的估計(jì)誤差為 （42） 均方估計(jì)差為： （43） 若將（31）式代入（43）式，可得 （44） 若令對(duì)呵的偏導(dǎo)數(shù)為零，即 （45） （46）則由（45）式和（46）式中解出和將保證該遞歸型估計(jì)器的均方估計(jì)誤差為最小。根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論中的正交原理，我們也可將（45）式和（46）式分別寫(xiě)成正交方程的形式，即 （47） （48）由（45）式，我們可得 （49）再由（49）式出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的代換可求出 （410）此式為經(jīng)過(guò)最優(yōu)化得到的表達(dá)式。式中：是最優(yōu)遞歸型估計(jì)器的一個(gè)時(shí)變?cè)鲆?，它將隨時(shí)標(biāo)k的改變而變化。a是信號(hào)模型中反映一階自遞歸過(guò)程惰性大小的參數(shù)，只要信號(hào)模型確定后，它就是一個(gè)常數(shù)。顯然，和a是兩個(gè)意義完全不同的量。我們還可以看出，由于式中還包含另一個(gè)未知的時(shí)變?cè)鲆?，因此它?shí)際上只是一個(gè)和的關(guān)系式。要想最終確定，還必須求出。最優(yōu)遞歸型估計(jì)器對(duì)信號(hào)的均方估計(jì)誤差可寫(xiě)成 （411）由正交公式（47）式和（48）式可知，上式等號(hào)右側(cè)的后兩項(xiàng)為零，故 （412） 由測(cè)量方程（32）式，我們可得 （413）代入（412）式，因?yàn)樾盘?hào)與測(cè)量噪聲不相關(guān)，（k1）時(shí)刻的信號(hào)估計(jì)值與k時(shí)刻的量測(cè)噪聲也補(bǔ)相關(guān)，故 （414） 我們還可以把最優(yōu)遞歸型估計(jì)器對(duì)信號(hào)的均方估計(jì)誤差寫(xiě)成 （415）再利用和的關(guān)系式（410）式 （416）因?yàn)?、和互不相關(guān)，它們的交叉乘積項(xiàng)的均值都為零，故 （417）將（413）式代入（415）式，經(jīng)整理后求解得 （418）此式即經(jīng)過(guò)最優(yōu)化所得到的的表達(dá)式。 最優(yōu)遞歸型估計(jì)器的構(gòu)成 由（31）式 （419） 所表述的遞歸型估計(jì)器，當(dāng)其時(shí)變?cè)鲆婧徒?jīng)過(guò)最優(yōu)化，即分別有（411）式和（416）式給出時(shí)，就是一個(gè)最優(yōu)遞歸型估計(jì)器，其均方估計(jì)誤差最小。利用（411）式，我們可從（31）式中消去，得到 （420）由（420）式，可構(gòu)成一個(gè)最優(yōu)遞歸型估計(jì)器標(biāo)量科爾曼濾波器，其框圖如圖41.圖41 標(biāo)量卡爾曼濾波器框圖對(duì)（420）式物理意義的說(shuō)明：在尚未獲得k時(shí)刻的新測(cè)量樣值以前，我們只能從（k1）時(shí)刻對(duì)信號(hào)所作出的估計(jì)出發(fā)，根據(jù)由信號(hào)數(shù)學(xué)模型所確定的規(guī)律來(lái)對(duì)k時(shí)刻的信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于信號(hào)數(shù)學(xué)模型中的動(dòng)態(tài)噪聲的確切數(shù)值無(wú)從得知，故對(duì)的預(yù)估值只能取作?？梢?jiàn)，（420）式等號(hào)右側(cè)的第一項(xiàng)就是在未獲得任何新信息的情況下，根據(jù)以往的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)k時(shí)刻的信號(hào)所做的預(yù)估。在k 時(shí)刻的新測(cè)量樣值尚未得到之前，我們還可對(duì)k時(shí)刻的將要測(cè)得的新測(cè)量樣值進(jìn)行預(yù)估。但是，此時(shí)我們只能從對(duì)k時(shí)刻的信號(hào)的預(yù)估值出發(fā)，根據(jù)量測(cè)方程來(lái)對(duì)k時(shí)刻將要測(cè)得的作出預(yù)估。由于量測(cè)噪聲的確切數(shù)值無(wú)從得知，故對(duì)的預(yù)估值只能取作 （421）當(dāng)我們測(cè)得k時(shí)刻的新測(cè)量樣值后，若所測(cè)得的值與其預(yù)估值 之差不為零，就說(shuō)明k時(shí)刻的新測(cè)量樣值中包含有前（k1）次測(cè)量中所沒(méi)有的新信息。若與其預(yù)估值之差為零，則說(shuō)明k時(shí)刻的新測(cè)量樣值中不包含任何新信息。因此，我們把k時(shí)刻的信號(hào)實(shí)測(cè)值與其預(yù)估值之差稱為第k 次測(cè)量中的新信息。顯然，當(dāng)我們測(cè)得k時(shí)刻的新測(cè)量樣值之后，可利用第k次測(cè)量中的新信息乘上一個(gè)比例系數(shù)作為修正項(xiàng)，對(duì)未測(cè)得前對(duì)信號(hào)給出的預(yù)估值進(jìn)行修正，從而得到k時(shí)刻對(duì)信號(hào)的估計(jì)值。可見(jiàn)，（420）式等號(hào)右側(cè)的第二項(xiàng)即為對(duì)信號(hào)預(yù)估值的修正項(xiàng)。 標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法卡爾曼濾波的基本算法是預(yù)估加修正，而公式（420）式、（421）式和（413）式就構(gòu)成了標(biāo)量卡爾曼濾波器在信號(hào)及其測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型分別為和)時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的一套完整的遞推算法。（46）式可用來(lái)推算卡爾曼濾波器在不同取樣時(shí)刻k對(duì)信號(hào)的估計(jì)值，即 （422）（420）式可用來(lái)推算卡爾曼濾波器在不同取樣時(shí)刻k的時(shí)變?yōu)V波增益，即 （423）（413）式可用來(lái)推算卡爾曼濾波器在不同取樣時(shí)刻k的均方估計(jì)誤差，即 （424） 為了便于將標(biāo)量卡爾曼濾波器的遞推算法直接推廣到向量隨機(jī)信號(hào)（即多維隨機(jī)信號(hào)）的卡爾曼濾波中去，給出如下的一套完整的遞推算法：濾波估計(jì)方程 （425）濾波增益方程 （426）式中：均方誤差濾波方程： （427） 標(biāo)量卡爾曼預(yù)測(cè)器假設(shè)待測(cè)量隨機(jī)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型為一階自遞歸過(guò)程，即 （428）信號(hào)測(cè)量過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為 （429）線性遞歸型預(yù)測(cè)估計(jì)器可用如下的遞推方程來(lái)表述： （430）為使（430）式表述的線性預(yù)估其成為一個(gè)最優(yōu)