【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一階微分方程組來(lái)描述的，這組狀態(tài)變量能夠表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的全部動(dòng)態(tài)過(guò)程，因而它能更深刻地刻劃系統(tǒng)的特征。由于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不但能反映系統(tǒng)外部的行為，而且能揭示系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，所以它稱(chēng)為系統(tǒng)的內(nèi)部描述模型。由于狀態(tài)空間方法可以很方便地處理初始條件，又可以適用于非線性系統(tǒng)、多輸入多輸出系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、隨機(jī)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)，同時(shí)又可以很方便地用計(jì)算機(jī)求解，所以它很快就發(fā)展起來(lái)，得到廣泛的應(yīng)用。線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本的部分，也是比較成熟的部分。要分析一下系統(tǒng)的特性，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。經(jīng)典控制理論中用微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性來(lái)描述，而這里則是狀態(tài)方程來(lái)描述。狀態(tài)方程不但描述了系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，而且描述了系統(tǒng)內(nèi)部一些狀態(tài)變量的隨時(shí)間變化關(guān)系。如何建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，由狀態(tài)方程如何分析系統(tǒng)的響應(yīng)特性?系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何?系統(tǒng)狀態(tài)變量的能控性與能觀測(cè)性又如何?系統(tǒng)的性能指標(biāo)不滿(mǎn)足要求時(shí)，如何利用狀態(tài)反饋來(lái)改善系統(tǒng)的性能使之適合人們的需要?如果狀態(tài)變量不能直接得到，如何根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的觀測(cè)量來(lái)重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)，設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器等等問(wèn)題，都是線性系統(tǒng)理論要解決的主要問(wèn)題。由于這些分析綜合系統(tǒng)的方法都是建立在對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)方程的分析上，或者說(shuō)這些方法是研究在由這些狀態(tài)變量所張成的狀態(tài)空間中對(duì)狀態(tài)軌線如何起作用的。所以這些方法也稱(chēng)為狀態(tài)空間分析方法。應(yīng)用線性控制理論的方法實(shí)現(xiàn)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，必須將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理。狀態(tài)空間方法在倒立擺系統(tǒng)中應(yīng)用較早。 .B ryson等在1970年對(duì)一級(jí)倒立擺進(jìn)行控制獲得成功。S. Mori等在1976年對(duì)懸掛式倒立擺控制成功。K. Furuta等在1978年和1980年完成了對(duì)二級(jí)倒立擺和傾斜軌道式二級(jí)倒立擺的控制。在國(guó)內(nèi)尹征琦等采用模擬調(diào)節(jié)器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)小車(chē)一二級(jí)擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。梁任秋等討論了設(shè)計(jì)小車(chē)一二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)字控制器的一般方法。任章、徐建民利用振蕩控制原理，提出了在倒立擺的支承點(diǎn)的垂直方向上加入一零均值的高頻振蕩信號(hào)(APAZ)以改善倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性，為解決倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問(wèn)題提供了一種新的方法?？偟膩?lái)說(shuō)，在倒立擺平衡位置附近的小范圍內(nèi)，通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，狀態(tài)反饋控制原理可以解決常規(guī)倒立擺的穩(wěn)定控制問(wèn)題。但狀態(tài)反饋控制需要構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器，這項(xiàng)工作往往較為復(fù)雜。黃永宣運(yùn)用經(jīng)典控制理論解決了小車(chē)一單擺系統(tǒng)初始狀態(tài)在倒立點(diǎn)位置附近的小范圍穩(wěn)定控制問(wèn)題。應(yīng)用傳統(tǒng)控制理論的方法實(shí)現(xiàn)倒擺系統(tǒng)的控制，其特點(diǎn)是設(shè)法調(diào)整閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布以構(gòu)成閉環(huán)穩(wěn)定的倒立擺控制系統(tǒng)，但其局限性十分明顯，穩(wěn)定控制的范圍有限，難于處理更為復(fù)雜的復(fù)合擺系統(tǒng)?！?duì)倒立擺系統(tǒng)研究的意義在控制理論發(fā)展的過(guò)程中，某一理論的正確性及在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要一個(gè)按其理論設(shè)計(jì)的控制器去控制一個(gè)典型對(duì)象來(lái)驗(yàn)證這一理論，倒立擺就是這樣一個(gè)被控對(duì)象。倒立擺本身是一個(gè)自然不穩(wěn)定體，在控制過(guò)程中能夠有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，如鎮(zhèn)定問(wèn)題，非線性問(wèn)題，魯棒性問(wèn)題，隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。倒立擺的典型性在于:作為一個(gè)裝置，成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，形象直觀，便于實(shí)現(xiàn)模擬和數(shù)字兩者不同的方式的控制:作為一個(gè)被控對(duì)象，又相當(dāng)復(fù)雜，就其本身而言，是一個(gè)高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合的快速性系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過(guò)擺動(dòng)角度、位移和穩(wěn)定時(shí)間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導(dǎo)，對(duì)倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見(jiàn)到的任何重心在上、支點(diǎn)在下的控制問(wèn)題，到空間飛行器和各類(lèi)伺服平臺(tái)的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對(duì)其的穩(wěn)定控制在實(shí)際中有很多用場(chǎng)，如海上鉆井平臺(tái)的穩(wěn)定控制、衛(wèi)星發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機(jī)安全著陸、化工過(guò)程控制等都屬這類(lèi)問(wèn)題。因此對(duì)倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。在穩(wěn)定性控制問(wèn)題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)可以用多種控制理論和方法來(lái)實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等，都能在倒立擺系統(tǒng)控制上得到實(shí)現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明時(shí)，可以考慮通過(guò)倒立擺裝置來(lái)驗(yàn)證其正確性和實(shí)用性。機(jī)器人行走類(lèi)似雙倒立擺，盡管第一臺(tái)機(jī)器人在美國(guó)面世已三十多年，機(jī)器人的關(guān)鍵技術(shù)仍未很好解決。因此，倒立擺成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題，人們把它喻為:“任何一個(gè)自動(dòng)控制部門(mén)都追求的皇冠上的珍珠”。［４］ 本文的主要工作 倒立擺系統(tǒng)在控制系統(tǒng)研究中受到普遍重視?！暗沽[系統(tǒng)”已被公認(rèn)為自動(dòng)控制理論中的典型試驗(yàn)設(shè)備，也是控制理論在教學(xué)和科研中不可多得的典型物理模型，通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問(wèn)題，還能將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科:力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)(含計(jì)算機(jī))有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。在實(shí)際教學(xué)中，作為驗(yàn)證控制策略的一種手段，倒立擺系統(tǒng)被提了出來(lái)。由于計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)總存在很大的差別，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制為學(xué)生提供了理論與室踐結(jié)合的可能本文通過(guò)對(duì)環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)特點(diǎn)的分析和數(shù)學(xué)模型的建立，選擇了線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator —LQR)控制環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在垂直向上的平衡點(diǎn)上。線性二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置,受到控制界的普遍重視。線性二次型(LQ) 性能指標(biāo)易于分析、處理和計(jì)算,而且通過(guò)線性二次型最優(yōu)設(shè)計(jì)方法得到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動(dòng)態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點(diǎn)，因而在實(shí)際的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。２ 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設(shè)計(jì)、預(yù)報(bào)和控制一個(gè)系統(tǒng)的基礎(chǔ)。所以，要對(duì)一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型有兩種方法:一種是從基本物理定律，即利用各個(gè)專(zhuān)門(mén)學(xué)科領(lǐng)域提出來(lái)的物質(zhì)和能量的守恒性和連續(xù)性原理，以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出模型。這種方法得出的數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為機(jī)理模型或解析模型，這種建立模型的方法稱(chēng)為解析法。另一種是從系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型(模型結(jié)構(gòu)和參數(shù))，這種方法稱(chēng)為系統(tǒng)辯識(shí)。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，無(wú)法通過(guò)測(cè)量頻率特性方法獲取其數(shù)學(xué)模型。故適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo)。　環(huán)型倒立擺的特點(diǎn)總的來(lái)說(shuō)，倒立擺系統(tǒng)一直是自動(dòng)控制、機(jī)械電子等領(lǐng)域中非常典型的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備, 因?yàn)榈沽[控制系統(tǒng)的線性設(shè)計(jì)非常直觀地說(shuō)明現(xiàn)代線性控制理論的優(yōu)點(diǎn)和有效性, 同時(shí)它還涉及到系統(tǒng)辨識(shí)、非線性系統(tǒng)的線性化、執(zhí)行電機(jī)的控制等方面. 因而倒立擺系統(tǒng)一直是控制理論界關(guān)注的焦點(diǎn), 人們將各種先進(jìn)的控制算法運(yùn)用到倒立擺系統(tǒng)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證. 倒立擺的研究始于20 世紀(jì)60 年代, 當(dāng)時(shí)主要集中在直線軌道的倒立擺系統(tǒng)的線性控制. 近10 年來(lái), 三級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)成功更是掀起了一股研究的熱潮, 與此同時(shí), 旋轉(zhuǎn)軌道的環(huán)型倒立擺系統(tǒng)由于其自身的特點(diǎn)也開(kāi)始受到研究者的關(guān)注。環(huán)型倒立擺系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng), 它具有如下特性:　　1) 不確定性. 主要是模型的參數(shù)誤差以及機(jī)械傳動(dòng)過(guò)程中的減速齒輪間隙所導(dǎo)致, 不過(guò)與直線型倒立擺系統(tǒng)相比, 由于沒(méi)有了導(dǎo)軌上拖動(dòng)小車(chē)的皮帶, 影響程度有所改善.　　2) 耦合特性. 從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中可以看到, 環(huán)型倒立擺擺桿和水平的連桿之間, 以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都具有較強(qiáng)耦合?！　?) 開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng). 倒立擺桿有兩個(gè)平衡狀態(tài): 垂直向下和垂直向上. 垂直向下的狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 而垂直向上的狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn), 開(kāi)環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)就會(huì)使系統(tǒng)離開(kāi)平衡點(diǎn)而進(jìn)入到垂直向下的狀態(tài)中去。4) 行程無(wú)限制. 旋轉(zhuǎn)型倒立擺系統(tǒng)的連桿沒(méi)有行程限制, 而直線型的倒立擺系統(tǒng)小車(chē)的行程是有物理限制的, 因而增加了控制的約束, 使得一些算法在直線型倒立擺系統(tǒng)上無(wú)法實(shí)現(xiàn)?！agrange方程的特點(diǎn)對(duì)于多變量、非線性系統(tǒng)，通常先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)行仿真研究，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)。在建立倒立擺系統(tǒng)的模型時(shí)，可以采用牛頓一歐拉方程或Lagrange方程來(lái)求解。用牛頓一歐拉方程推導(dǎo)時(shí)，需要解大量的微分方程，確定各質(zhì)點(diǎn)間相互作用力和運(yùn)動(dòng)方面的關(guān)系， 求解聯(lián)立方程，推導(dǎo)過(guò)程顯得尤為繁瑣，采用分析力學(xué)中的Lagrange方程推導(dǎo)圓形軌道倒立擺系統(tǒng)模型。分析力學(xué)是在1788年Lagrange發(fā)表的大型著作《分析力學(xué)》的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一系列處理力學(xué)問(wèn)題的新方法。在《分析力學(xué)》一書(shū)中，Lagrange是用獨(dú)立變量來(lái)描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，這是一組二階常微分方程。通常把這一方程組叫做Lagrange方程，其基本形式為： 其中是所研究力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)；是作用在此力學(xué)體系上的用廣義坐標(biāo)和t表示的廣義力；T是用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)能。從方程中可以看出，分析力學(xué)注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴(kuò)大了坐標(biāo)的概念。Lagrange方程有如下的特點(diǎn):1）它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的。2）理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建立運(yùn)動(dòng)方程式時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，而不必分析未知的約束反力。3）Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程式，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式，只需要從兩個(gè)方面去分析，一個(gè)是表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)量——系統(tǒng)的動(dòng)能，另一個(gè)是表征主動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)量——廣義力。因此用Lagrange方程來(lái)求解系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可以大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程?！顟B(tài)空間模型如在第一章所提到的，現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。因此，確定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，即建立在狀態(tài)空間中的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)基本問(wèn)題，也是現(xiàn)代控制理論中分析和綜合控制系統(tǒng)的前提的基礎(chǔ)上，其重要性就像經(jīng)典控制理論中確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一樣。現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是將描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的高階微分方程改寫(xiě)成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)直接用一階微分方程組表示，寫(xiě)成矩陣形式，這樣就得到了狀態(tài)空間模型。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：式中，是的系統(tǒng)控制輸入（r個(gè)）向量，是的系統(tǒng)狀態(tài)變量，則是的系統(tǒng)輸出向量。A是的系統(tǒng)矩陣（狀態(tài)矩陣），有控制對(duì)象的參數(shù)決定；B為的控制矩陣（輸入矩陣）；C為的輸出矩陣（觀測(cè)矩陣）；D為的輸入輸出矩陣（直接傳輸矩陣）。離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：式中，輸入向量、狀態(tài)向量、輸出向量，表示采樣點(diǎn)。為狀態(tài)矩陣，由控制對(duì)象的參數(shù)決定；為控制矩陣；為輸出矩陣；為直接傳輸矩陣。在MATLAB中，系統(tǒng)可用[]表示，用函數(shù)（）來(lái)建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或者將傳遞函數(shù)模型與零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)空間模型。 環(huán)型二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立本文使用的固高擺控制系統(tǒng)如圖１所示，包括計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服系統(tǒng)、倒立擺本體和光電碼盤(pán)反饋測(cè)量元件等幾大部分，組成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)。圖中光電碼盤(pán)1由伺服電機(jī)自帶，對(duì)于直線型倒立擺，可以根據(jù)該碼盤(pán)的反饋通過(guò)換算獲得小車(chē)的位移，小車(chē)的速度信號(hào)可以通過(guò)差分法得到；對(duì)于環(huán)形倒立擺，則可以根據(jù)該碼盤(pán)的反饋和機(jī)構(gòu)的減速比直接求得轉(zhuǎn)動(dòng)小車(chē)的角位移。各個(gè)擺桿的角度由光電碼盤(pán)測(cè)并直接反饋到控制卡，速度信號(hào)可以通過(guò)差分方法得到。計(jì)算機(jī)從運(yùn)動(dòng)控制卡中實(shí)時(shí)讀取數(shù)據(jù)，確定控制決策（電機(jī)的輸出力矩），并發(fā)送給運(yùn)動(dòng)控制卡。運(yùn)動(dòng)控制卡經(jīng)過(guò)DSP內(nèi)部的控制算法實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)小車(chē)運(yùn)動(dòng)，保持?jǐn)[桿平衡。 圖１ 固高擺系統(tǒng)的硬件筐圖環(huán)型二級(jí)倒立擺的工作原理為: 電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)水平桿旋轉(zhuǎn), 由此帶動(dòng)與水平桿另一端相連的下桿和上桿在垂直方向做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?？刂频哪康氖窍Ｍㄟ^(guò)控制電機(jī)的力矩, 并通過(guò)水平桿的作用, 達(dá)到控制上、下桿變化的角度, 使兩者共同平衡在垂直的180 度的位置上。為此, 需要首先建立被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立基于以下假設(shè): 1)每一級(jí)擺桿都是剛體.2)在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中同步帶長(zhǎng)度保持不變.3)驅(qū)動(dòng)力與放大器輸入成正比并無(wú)延遲的直接施加于小車(chē).4)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的庫(kù)侖摩擦、動(dòng)摩擦等所有摩擦力