【正文】 的濾波和預報，由于維納濾波算法不能進行遞推，需要對全部的歷史數據進行存儲，因此在實際工程應用中不容易實現(xiàn)。由于維納濾波的上述局限和缺點，加上計算機應用技術發(fā)展的需要，1960年，美國學者Kalman提出了卡爾曼濾波方法?？柭鼮V波算法能夠解決時變、多變量、非平穩(wěn)時間序列的濾波和預報問題，并且這是一種可遞推算法，在計算機上很容易實現(xiàn)，這些特點都彌補了Wiener濾波的不足[7]。卡爾曼濾波的實現(xiàn)是基于信號和噪聲的狀態(tài)空間模型，利用現(xiàn)時刻的觀測值，并結合前一時刻的狀態(tài)預測值，來更新當前時刻的狀態(tài)變量的估計值，得出當前時刻最優(yōu)的狀態(tài)估計值[8]。Kalman濾波理論提出以后，立即在實際工程中得到了廣泛應用，早期最成功的應用實例是CSA飛機導航系統(tǒng)的設計以及阿波羅登月計劃。隨著電子計算機技術的普遍應用，在實際工程中，特別是航空航天技術中，Kalman濾波理論迅速被廣泛應用。已有的關于卡爾曼濾波在線性系統(tǒng)中應用的很多理論己經十分成熟，作為一種重要的最優(yōu)估計理論Kalman濾波已經被廣泛地應用在導航制導系統(tǒng)、目標跟蹤、全球定位系統(tǒng)、通信和工業(yè)控制等領域中?？柭鼮V波算法是一種線性狀態(tài)的最優(yōu)估計，是在系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程都是線性方程，系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲均為高斯白噪聲，且統(tǒng)計特性已知的條件下，得到最優(yōu)濾波結果。當系統(tǒng)模型具有非線性特性時，如果仍然采用線性模型描述系統(tǒng)并且使用KF進行濾波，將會引起線性模型近似誤差，甚至將會導致濾波狀態(tài)發(fā)散。而所有的實際系統(tǒng)都有一定程度的非線性。這就促使人們尋求新的非線性濾波器。在之后的近半個世紀里，許多學者以Kalman濾波器為基礎進行了推廣和改進。只有完整描述非線性系統(tǒng)的條件后驗概率，才是解決非線性系統(tǒng)濾波問題的最佳方法，但是這種完整的描述在實際系統(tǒng)中不容易實現(xiàn)，所以人們又提出了許多次優(yōu)濾波的近似方法。進行非線性系統(tǒng)濾波問題的次優(yōu)近似，主要有兩種方法:1) 把非線性環(huán)節(jié)進行線性化處理，忽略或逼近高階項；2) 用采樣的方法去近似非線性函數的分布[9]。其中第一種方法是解決非線性系統(tǒng)問題的傳統(tǒng)方法，這種方法應用最廣泛的是擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter EKF)算法。EKF最初是StanleySchmidth在1967年為了將卡爾曼濾波應用在非線性航天器導航問題提出的，EKF算法是通過對非線性函數進行Taylor展開，對二階及其高階項進行忽略，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的線性化轉換。雖然EKF算法在非線性濾波問題中應用廣泛，但它仍然具有理論局限性，具體表現(xiàn)在以下方面: 1)當系統(tǒng)非線性程度比較嚴重時，忽略Taylor展開式的高階項將會增大線性化引起的誤差，從而導致EKF的濾波誤差增大甚至濾波發(fā)散。2)濾波過程需要求取系統(tǒng)的雅可比矩陣，但求取雅可比矩陣復雜且計算量大，不容易求取，有時甚至很難得到非線性函數的雅可比矩陣。3)由于EKF算法需要對非線性函數進行求導，所以非線性函數的表達式必須明確，并且不適用于不可微的非線性函數。由于近似非線性函數不容易，而相比之下近似非線性函數的概率密度分布更容易，因此人們想到使用采樣的方法來近似非線性函數的概率密度分布來解決非線性系統(tǒng)的濾波問題。Unscented變換(Unscented Transformation ，UT)隨后就發(fā)展起來，這是一種通過非線性變換傳播均值和協(xié)方差的方法[10,11]。這種方法濾波更準確，更容易實現(xiàn)?；赨nscented變換的Kalman濾波算法(Unscented Kalman Filter UKF)就是基于UT變換，選擇一種確定性采樣的方法，然后套用標準的卡爾曼濾波算法的框架，最后得出估計的狀態(tài)。這種濾波算法是牛津大學Julier[121,13]等學者首先提出的。UKF算法不需要計算系統(tǒng)的雅可比矩陣，復雜度降低，還能處理有非加性噪聲的系統(tǒng)，應用范圍變寬，UKF算法采用確定性采樣策略，避免了粒子的退化問題，濾波精度大大提高。UKF的研究取得了大量成果，已被應用于許多領域，UKF廣泛應用于導航制導、隨機信號的處理等領域，然而，UKF在化工過程領域的應用相對較少，特別是反應過程復雜的化工過程，如發(fā)酵反應等化工過程。 38 第二章 二級倒立擺系統(tǒng)的數學模型在研究Pendubot控制策略之前必須先得到它的動力學模型，本章將基于拉 格朗日動力學理論建立Pendubot的動力學模型。欠驅動機器人Pendubot是一個在垂直平面上運動的兩桿機器人，它在肩部有一個驅動，而肘部沒有，因此Pendubot是典型的欠驅動系統(tǒng)，同時由于Pendubot兩桿之間強的耦合性及加速度約束不可積，因而具有較強的非線性特征。建立機器人動力學模型主要采用以下兩種理論:(1)動力學基本理論，如牛頓一歐拉方程。(2)拉格朗日動力學[42]，特別是二階拉格朗日方程。拉格朗日動力學和與牛頓的力學原理在經典力學的范疇內是等價的，但它們研究的途徑或方法則不相同[4345]，因此基于這兩種理論所建立的動力學模型是等價的，只是描述形式不同。直接運用牛頓方程的力學體系也稱為矢量力學，拉格朗日動力學則稱為分析力學。牛頓一歐拉方程的方法，需從動力學出發(fā)求得加速度，并消去各個內作用力，這對于復雜的系統(tǒng)十分繁雜。而基于拉格朗日動力學的方法是從系統(tǒng)能量的角度考慮問題，它只需計算速度而不要求內作用力，因此是一種比較簡潔的方法。由于拉格朗日動力學方法僅需計算Pendubot的動能與勢能，與牛頓一歐拉方程相比更為簡潔，而且還能夠充分反映Pendubot的動力學結構特征，因此本論文采用拉格朗日動力學方法建立Pendubot動力學模型，也就是基于運動能量來進行。 二級倒立擺系統(tǒng)實驗軟硬件條件。倒立擺機器人擺臂分為主動臂和欠驅動臂，其角度信號分別通過高精度光電編碼器返回，上位機通過網絡化實驗控制器使驅動器控制力矩電機，使其實現(xiàn)控制要求。圖 倒立擺機器人控制系統(tǒng)結構示意圖 二級倒立擺系統(tǒng)的動力學模型 拉格朗日方程對于任何機械系統(tǒng)，其拉格朗日函數都可以定義成該系統(tǒng)動能和勢能之差，即 () 系統(tǒng)的動能和勢能可以用任意選取的坐標系來表示。系統(tǒng)的動力學方程（第二類拉格朗日方程）為 ()由于勢能不顯含速度項，因此動力學方程也可以寫成 ()那么，對于欠驅動機器人倒立擺機器人系統(tǒng)，其拉格朗日運動方程則為： () 基于倒立擺機器人的動力學模型，其中擺臂連桿受到的力矩為，只有擺臂連桿的主動關節(jié)受力。由于假設兩桿均為剛體，所以其動能與勢能可根據每一桿的總質量與相對于重心的慣量來確定。 二級倒立擺的模型：圖 倒立擺機器人控制系統(tǒng)動力學模型示意圖其中：主動臂的長度；：主動臂相對于連接點到質心的距離；：欠驅動臂相對于連接點到質心的距離；：主動臂相對于坐標軸的角度；：欠驅動臂相對于主動臂的角度；：主動臂相對于質心轉動慣量；：欠驅動臂相對于質心轉動慣量；：主動臂質量；：欠驅動臂質量； ：重力加速度。根據上述模型，進行系統(tǒng)的動能和勢能的推導。計算平移動能的一般表達式為，而系統(tǒng)兩個連桿的角速度為 ()主動臂的平移動能可以直接表示為 ()勢能與機械臂質心的高度有關，高度用y坐標表示，于是勢能可以直接寫成 ()對于欠驅動臂，先寫出質心處笛卡兒坐標位置的表達式，然后求微分，以便得到關節(jié)角速度。 ()于是，速度的笛卡兒坐標分量為 ()速度的平方值為 ()從而欠驅動臂的平移動能為 ()連桿的高度已經給出，由式()，它的勢能為 ()同時我們注意到系統(tǒng)除了平移動能外，還存在旋轉動能，由式()可得系統(tǒng)的旋轉動能部分為 ()拉格朗日算子為，因此根據上述式子，