【正文】 研究 [7]。 1978 年 Stugen 等人采用線性控制模擬電路實(shí)現(xiàn)了對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制； 1978 年 等人采用微機(jī)處理實(shí)現(xiàn)了對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制，并且成功應(yīng)用降維觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)狀態(tài)； 1983 年 等人又實(shí)現(xiàn)了對(duì)三級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制 [14]。 國(guó)內(nèi)是在 80年代開始對(duì)倒立擺進(jìn)行了研究的， 1985 年西安交大的伊征等人采用模擬調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)了對(duì)二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制 [2]； 1994 年北京航天大學(xué) 在 世界上首先實(shí)現(xiàn)單電機(jī)驅(qū)動(dòng)的三級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制 ， 1998 年又成功的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)控制單電機(jī)三級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制，成功實(shí)現(xiàn)了在線調(diào)節(jié)倒立擺的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)模態(tài) 以 及在線控制倒立擺沿內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 3 水平或傾斜導(dǎo)軌自由行走。 2021 年由北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室，成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)四級(jí)倒立擺實(shí)物的控制，使我國(guó)對(duì)倒立擺的研究 處于世界的先列 [8]。 直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 圖 11 直線二級(jí)倒立擺結(jié)構(gòu)示意圖 直線 二級(jí)倒立擺 結(jié)構(gòu)示意圖如圖 11，它由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車以及 通過(guò)轉(zhuǎn) 軸固定在小車上的擺桿組成。 擺 桿與小車之間、擺桿與擺桿 之間由轉(zhuǎn)軸連接，并 且 在連接處有 2 個(gè) 電位器 分別用來(lái)測(cè)量一級(jí)擺 桿 和二級(jí)擺 桿的角度。一二級(jí)擺桿 可以繞 著 各自的轉(zhuǎn)軸 ， 在水平導(dǎo)軌所 在的鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，而小車則在伺服電機(jī)、皮帶輪和傳送帶的帶動(dòng)下在 導(dǎo)軌上左右運(yùn)動(dòng) ，同時(shí)在皮帶輪上安裝有電位器，用來(lái)測(cè)量偏離小車 軌道中心點(diǎn)的 位置 [34]。 直線二級(jí) 倒立擺參 數(shù)定義如下 : M 為小車質(zhì)量， kg； m1 為 一級(jí) 擺桿質(zhì)量， kg； m2 為 二級(jí) 擺桿質(zhì)量， kg； l1 為 一級(jí)擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)中心 到 桿質(zhì)心 的距離， ； l2 為 二級(jí) 擺桿 轉(zhuǎn)動(dòng)中心 到 桿質(zhì)心 的距離， ； θ 1 為 一級(jí)擺桿 與豎直方向的夾角； θ 2 為 二級(jí)擺桿 與豎直方向的夾角； F 為作用在 小車 上的外力 。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 4 直線二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析圖如圖 12所示。由于小車及擺桿受力復(fù)雜，可以利用牛頓力學(xué)中的隔離方法，分別對(duì)直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的小車、一級(jí)擺桿、二級(jí)擺桿進(jìn)行受力分析，從而得到力學(xué)方程。 小車的 受力分析如圖 13 所示，小車受到一級(jí)擺桿的力可以分解為豎直方向的力F11和水平方向的力 F12。 由牛頓力學(xué)方程可得小車水平方向的動(dòng)力學(xué)方程： 12F F Mx?? （ 11） 圖 12 直線二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析圖 圖 13 小車受力分析圖 圖 14 一級(jí)擺桿受力分析圖 圖 15 二級(jí)擺桿受力分析圖 一級(jí)擺 桿的受力分析如圖 14， F21為二級(jí)擺桿對(duì)一級(jí)擺桿豎直方向的力， F22 為二級(jí)擺桿對(duì)一級(jí)擺桿水平方向的力，由牛頓第二定律和動(dòng)量矩陣定理得一級(jí)擺桿動(dòng)力學(xué)方程： 212 22 1 1 1 1 1 1 1 1 1c os si nF F m x m l m l? ? ? ?? ? ? ? （ 12） F F12 F11 N F12 F11 m1g F21 F22 X Y θ 1 F22 F21 m2g X Y θ 2 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 5 21 11 21 1 1 1 1 1 1 1 1si n c osm g F F m l m l? ? ? ?? ? ? ? （ 13） 11 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1() s in s in c o s c o sdJ F l F l F l Fdt ? ? ? ? ?? ? ? ? （ 14） 二 級(jí)擺桿的受力分析如圖 ， F21為一級(jí)擺桿對(duì)二級(jí)擺桿豎直方向的力， F22 為一級(jí)擺桿對(duì)二級(jí)擺桿水平方向的力，由牛頓第二定律和動(dòng)量矩陣定理得二級(jí)擺桿動(dòng)力學(xué)方程： 2222 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 c os c os 2 sin sinF m x m l m l m l m l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 15） 22 21 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 22 sin sin 2 c os c osm g F m l m l m l m l? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 16） 22 2 1 2 2 2 2 2 2() s in c o sdJ F l F ldt ? ???? （ 17） 為了與控制理論的表達(dá)習(xí)慣相統(tǒng)一，用 u 表示 對(duì)小車的 的輸入力 F,動(dòng)力學(xué)方程可寫成矩陣形式為： ? ?1 2 1 1 , 2 , 1 , 2 1 1 22212( , ) ( ) ( , , ) 1 , 2 , 3, TxxM F G u jqx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 18） 其中： 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2221 , 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 222 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2( 2 ) c o s c o s( ) ( ) c o s 2 2 c o s( )c o s 2 c o s( )M m m m l m l m lM m l m l m l m l J m l lm l m l l m l J??? ? ? ? ?? ? ?? ? ?????? ? ? ? ????? （ 19） 1 1 2 1 1 1 2 2 2 21 , 2 1 , 2 2 1 2 2 1 22 1 2 1 1 20 ( 2 ) sin sin( , ) 0 0 2 sin ( )0 2 sin ( ) 0m l m l m lF m l lm l l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ????????? （ 110） ? ?1 2 1 1 2 1 1 2 2 2( , , ) ( 2 ) sin sin TG u u m l m l g m l g? ? ? ??? （ 111）由于在實(shí)際的控制過(guò)程中， θ θ 2 的取值很小，所以通常我們可以認(rèn)為 : 1 2 1 20 , 0? ? ? ?? ? ? ? 12cos( ) 1???? 1 2 1 2si n( )? ? ? ?? ? ? （ 112） 12cos cos 1???? 1 1 2 2si n , si n? ? ? ??? 由式（ 18），（ 19），（ 110），（ 111），并帶入式（ 112）中的量，整理可得線性化內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 6 后的方程： 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2( ) ( 2 )M m m x m l m l m l u??? ? ? ? ? ? （ 113） 221 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )m l m l x m l m l J m l l m l m l g? ? ?? ? ? ? ? ? ? （ 114） 22 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 22 ( )m l x m l l m l J m gl? ? ?? ? ? ? （ 115） 取狀態(tài)變量為 1 2 3 4 5 6 1 2 1 2( , , , , , ) ( , , , , , )TTX x x x x x x x x? ? ? ??? （ 116） 以各狀態(tài)變量為系統(tǒng)輸出，把直線二級(jí)倒立擺系統(tǒng)表示為狀態(tài)空間方程形式： X AX BUY CX DU? ??? ??? （ 117） 因?yàn)橐?、二?jí)擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小 ，所以在計(jì)算時(shí)可以忽略不計(jì)，將參數(shù)帶入得到狀態(tài)空間方程的相關(guān)矩陣為： 0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 510 209 0 0 00 109 .82 86 21. 303 1 0 0 00 36. 881 7 35. 867 1 0 0 0A???????????? 000B???????????????????? 1 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1C????????????? 000000D??????????????????? 直線二級(jí)倒立擺的定性分析 為了更好的控制系統(tǒng)，需要進(jìn)一步的了解系統(tǒng)的性質(zhì)，其中包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可觀測(cè)性和可控性等特性的分析。 [5] 穩(wěn)定性分析 判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定 性一般采用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)的每一平衡狀態(tài)是在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的充分必要條件是，系統(tǒng)的所有特征值均具有非正實(shí)部，且具有零實(shí)部的特征值為系統(tǒng)的最小多項(xiàng)式的單根。 [6] 利用 Matlab 的 eig 函數(shù) （程序見(jiàn)附錄一 ） 對(duì) 直線 二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，得到系統(tǒng)的特征 根 為： (0 0 ) 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 7 由系統(tǒng)的特征根可知，系統(tǒng)具有正實(shí)部，所以是不穩(wěn)定的。 可控性分析 n階線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可控的充分必要條件是 21, nra n k B A B A B A B n??? ??? （ 118） 其中 n為矩陣 A的維數(shù)， 21, nS B A B A B A B?? 稱為系統(tǒng)的可控性判據(jù) 。 對(duì)于 直線 二級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)，根據(jù)可控性判據(jù)，在 Matlab 中采用 ctrb 函數(shù) （程序見(jiàn)附錄二） 計(jì)算 可 得 25, , 6ran k B A B A B A B?? ??? 所以 直線二級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近是完全可 控 的 。 可觀測(cè)性分析 n階線性定常連續(xù)系統(tǒng) 完全可觀測(cè)的充分必要條件是 21nCCArank nCACA ?????????????????? （ 119） 其中 n為矩陣 A的維數(shù)， 25, TV C CA CA CA??? ??稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù) 。 對(duì)于 直線 二級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)，根據(jù)可 觀測(cè) 性判據(jù)，在 Matlab 中采用 obsv 函數(shù)（程序見(jiàn)附錄二） 計(jì)算 可 得 25, , 6Tra n k C CA CA CA?? ??? 所以 直線二級(jí)倒立擺線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近是完全可觀測(cè)的 。內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說(shuō)明書 8 第 二 章 模糊控制理論 模糊 控制概述 由于構(gòu)成客觀世界的萬(wàn)物是千變?nèi)f化、錯(cuò)綜復(fù)雜的，在事物屬性、萬(wàn)物間的聯(lián)系和施加于事物上的各種“作用因素”等方面均具有模糊性，所以模糊控制在控制系統(tǒng)中占有重要的地位。模糊控制技術(shù)作為智能控制的重要分支之一，它的最大特點(diǎn)是針對(duì)各類具有非線性、強(qiáng)耦合、不確定性、時(shí)變的多變量復(fù)雜系統(tǒng)，在各個(gè)控制領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，并且取得了良好的控制效果。 模糊控制作為結(jié)合傳統(tǒng) 的 基于規(guī)則的專家系統(tǒng)、模糊集理論和控制理論的成果而誕生，使其與基于被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型的傳統(tǒng)控制理論有很大的區(qū)別。 其實(shí)質(zhì)是將相關(guān)領(lǐng)域的專家知識(shí)和熟練操作 人員的經(jīng)驗(yàn)，轉(zhuǎn)換成模糊化后的語(yǔ)言規(guī)則，通過(guò)模糊推理和模糊決策，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的控制。 在模糊控制中，并不是像傳統(tǒng)控制那樣需要對(duì)被控過(guò)程進(jìn)行定量的數(shù)學(xué)建模，而是 可以 通過(guò)從能成功控制被控過(guò)程的領(lǐng)域?qū)＜夷抢铽@取知識(shí)，即專家行為和經(jīng)驗(yàn)。 一些由傳統(tǒng)的控制方法難以實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜控制，可以由一個(gè)熟練的操作人員憑著豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)得到滿意的控制結(jié)果。究其原因，是由于操作人員在實(shí)踐控制過(guò)程中，并非是按著一個(gè)精確的數(shù)學(xué)模型去操作，而是按其對(duì)被控對(duì)象正常工作狀態(tài)和當(dāng)前測(cè)量數(shù)據(jù)所反映出的系統(tǒng)狀態(tài)的理解及長(zhǎng)期的操作經(jīng)驗(yàn)完成對(duì)系統(tǒng)的控制。由于 人類的思維除了對(duì)于一些單純、易斷的問(wèn)題能迅速作出確定