【正文】 ............................................... 14 串聯(lián)校正裝置的設(shè)計(jì)要求 ..................................... 15 控制器設(shè)計(jì) ................................................. 16 在 Simulink 下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真 ................................ 18 6 PID 控制器的設(shè)計(jì) .................................... 19 PID 控制器簡介 .............................................. 19 控制器設(shè)計(jì)要求 ............................................. 19 PID 控制器仿真 .............................................. 20 7 總結(jié)及心得體會(huì) ...................................... 22 參考文獻(xiàn) ................................................ 23 1 1 引言 倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行研究。最初研究開始于二十世紀(jì)50年代，麻省理工學(xué)院（ MIT）的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備。近年來，新的控制方法不斷出現(xiàn)，人們?cè)噲D通過倒立擺這樣一個(gè)典型的控制對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找出最優(yōu)秀的控制方法 。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段，為自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以用來檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。 倒立擺系統(tǒng)具有如下特性 (1) 欠冗余性。倒立擺采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)，因而它有冗余機(jī)構(gòu)。 (2) 典型的仿射非線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用微分幾何方法進(jìn)行分析。 (3) 不確定性。主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)的參數(shù)誤差、盤測(cè)噪聲以機(jī)械傳動(dòng)過程中的非線性因素所導(dǎo)致的難以量化的部分。 (4)耦合特性。擺桿和小車之間，以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下 擺桿之間都強(qiáng)耦合的。這是可以采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也使控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復(fù)雜。 (5)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。倒立擺系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)：垂直向下和垂直向上垂直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn) (考慮摩擦力的影響 )，而垂直向上的狀卷是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，開環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)離開垂直向上的狀態(tài)而進(jìn)入到垂直向下的狀態(tài)中。 倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、 非線性系統(tǒng) ， 對(duì)倒立擺系統(tǒng)的 研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、 魯棒性 問題、鎮(zhèn)定問題、隨動(dòng)問題以及跟蹤問題等。通過對(duì)倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時(shí)， 由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊的利用開發(fā)前景。平面倒立擺可以比 較真實(shí)的模擬火箭的飛行控制和步行機(jī)器人的穩(wěn)定控制等方面的 研 究。 2 2 數(shù)學(xué)模型的建立 建模方法 系統(tǒng)建模 有兩種方法 ：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，激勵(lì)研究對(duì)象并通過傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。機(jī)理建模就是在了解研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律基礎(chǔ)上，通過物理、化學(xué)的知識(shí)和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入－狀態(tài)關(guān)系。 小車倒立擺實(shí)際數(shù)學(xué)模型的建立 一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)方程的建立 (微分法 ) 由于狀態(tài)反饋要求被控系統(tǒng)是一個(gè)線性系統(tǒng)，而倒立擺系統(tǒng)本身是一個(gè)非線性的系統(tǒng)，因此用狀態(tài)反饋來控制倒立擺系統(tǒng)首先要將這個(gè)非線性系統(tǒng)近似成為一個(gè)線性系統(tǒng)。在忽略了空氣流動(dòng)和各種摩擦之后，可將倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 21所示。 圖 21 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)示意圖 M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長度 I 擺桿慣量 3 F 加在小車上的力 x 小車位置 Φ 擺桿與 垂直向上方向的夾角（逆時(shí)針為正） θ 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下，順時(shí)針為正） 圖 22是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中， N 和 P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉? 圖 22 小車及擺桿受力分析 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程 M x F b x N?? ?? ? ? （ 21） 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 222( si n )c os si ndN m x ldtN m x m l m l?? ? ? ????? ?? ?? ? ? (22) 4 合并可得： 2( ) [ c o s sin ]M m x b x m l F? ? ? ??? ? ?? ?? ? ? ? ? (23) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力 進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 222( c os )[ sin c os ]dP m g m ldtP m g m l?? ? ? ????? ?? ? ? ? （ 24） 合并得到力矩平衡方程如下： s i n cosP l N l I? ? ? ??? ? ? (25) 設(shè) ? ? ??? （ ?是擺桿與垂直向上方向之間的夾角 ）假設(shè) ?與 1（單位是弧度）相比很小，即 1??? ，則可以進(jìn)行線性化近似處理： 2c o s 1 , s in , ( ) 0ddt?? ? ?? ? ? ? ? 用 u 來代表被控對(duì)象的輸入力 F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程 （即將上述等式帶入（ 23） 和 （ 24） ） 如下： 222 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )M m X s s b X s s m l s s U sI m l s s m g l s m lX s s? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 26) 進(jìn)行拉氏變換，得： 2 2 222( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )I m l s s m g l s m lX s sM m X s s b X s s m l s s U s? ? ? ? ?? ? ? ? ? (27) 由于輸出為角度 ?，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到： 22()( ) ( )I m l gX s sm