【正文】 同非遞推法相同的精度，但遞推法不需要將過去的測(cè)量值都保存起來，只是將前一次的估值存起來，在獲得新數(shù)據(jù)后，在估計(jì)中加以考慮計(jì)算就行了。 (1)算法是遞推的 ， 且狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法 ， 因而適用于多維隨機(jī)過程的估計(jì) ， 適用于計(jì)算機(jī)處理 。 卡爾曼濾波是用狀態(tài)空間法描述系統(tǒng)，由狀態(tài)方程和量測(cè)方程組成。用前一個(gè)狀態(tài)的估計(jì)值和最近一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)狀態(tài)變量的當(dāng)前值，并以狀態(tài)變量的估計(jì)值的形式給出結(jié)果。 (2)用遞推法計(jì)算不需要知道全部過去的值 ， 用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律 ， 因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的 ， 也可以是非平穩(wěn)的 。 (3)卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為最小均方誤差準(zhǔn)則 卡爾曼濾波具有以下特點(diǎn)： 假設(shè)系統(tǒng) k時(shí)刻的狀態(tài)變量為 xk， 狀態(tài)方程和量測(cè)方程 （ 也稱為輸出方程 ） 表示為 kkkk xAx ???? 1kkkk vxCy ??其中 ， k表示時(shí)間 ， 這里指第 k步迭代 ， 相應(yīng)信號(hào)的取值；輸入信號(hào) ωk是白噪聲 ， 輸出信號(hào)的觀測(cè)噪聲 vk也是白噪聲 , 輸入信號(hào)到狀態(tài)變量的支路增益等于 1， 即B=1； Ak表示狀態(tài)變量之間的增益矩陣 ， 可以隨時(shí)間發(fā)生變化 ， 用 Ak表示第 k步迭代時(shí) ， 增益矩陣的取值 卡爾曼濾波的狀態(tài)方程和量測(cè)方程 Ck表示狀態(tài)變量與輸出信號(hào)之間的增益矩陣 ， 可以隨時(shí)間變化 ， 第 k步迭代時(shí) ， 取值用 Ck表示 ， 其信號(hào)模型如下圖所示 。 z－ 1Ak － 1Ck?k － 1xk － 1xkvkyk卡爾曼濾波器的信號(hào)模型 為了后面的推導(dǎo)簡(jiǎn)單 ， 假設(shè)狀態(tài)變量的增益矩陣 Ak不隨時(shí)間發(fā)生變化 ， ωk,vk都是均值為零的正態(tài)白噪聲 ，方差分別是 Qk和 Rk， 并且狀態(tài)變量的初始狀態(tài)與 ωk,vk都不相關(guān) ， r表示相關(guān)系數(shù) 。 即 kjkvvkvkkkjkkkkRrRvEvQrQEjkjk?????? ?????????,2,2,0][:,0][:????????jkjkkj01? 卡爾曼濾波是采用遞推的算法實(shí)現(xiàn)的 ， 其基本思想是先不考慮輸入信號(hào) ωk和觀測(cè)噪聲 vk的影響 ， 得到狀態(tài)變量和輸出信號(hào) (觀測(cè)數(shù)據(jù) )的估計(jì)值 ， 再用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差加權(quán)后校正狀態(tài)變量的估計(jì)值 ， 使?fàn)顟B(tài)變量估計(jì)誤差的均方值最小 。 因此 ,卡爾曼濾波的關(guān)鍵是計(jì)算出 加權(quán)矩陣 的最佳值 。 139。1?39。???39。??????kkkkkkkkkxACxCyxAx 卡爾曼濾波的遞推算法 當(dāng)不考慮觀測(cè)噪聲和輸入信號(hào)時(shí)，狀態(tài)方程和量測(cè)方程為 顯然 ， 由于不考慮觀測(cè)噪聲的影響 ， 輸出信號(hào)的估計(jì)值與實(shí)際值是有誤差的 ， 誤差用 表示 ky~39。?~ kkk yyy ?? 為了提高狀態(tài)估計(jì)的質(zhì)量 ， 用輸出信號(hào)的估計(jì)誤差 來校正狀態(tài)變量 ky~)?(?? 39。1 kkkkkk yyHxAx ??? ?Hk為增益矩陣 ， 實(shí)質(zhì)是一加權(quán)矩陣 。 經(jīng)過校正后的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差及其均方值分別用 和 Pk表示 ， 把未經(jīng)校正的狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值用 表示 kx~39。kP)?(? 11 ?? ??? kkkkkkk xACyHxAkkk xxx ?~ ??卡爾曼濾波要求狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值 Pk為最小 ， 因此卡爾曼濾波的關(guān)鍵就是要得到 Pk與 Hk的關(guān)系式 ， 即通過選擇合適的 Hk,使 Pk取得最小值 。 ])?)(?[( Tkkkkk xxxxEP ???])?)(?[( 39。39。39。 Tkkkkk xxxxEP ???卡爾曼遞推公式 ?????????????????????39。1T139。1T39。T39。11)()()?(??kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPQAPAPRCPCCPHxACyHxAx初始條件 Ak， Ck， Qk， Rk， yk， ， Pk1已知 1? ?kx卡爾曼濾波遞推流程 11???kkPxkP??kkPx??kH?kyAk狀態(tài)變量之間的增益矩陣 Ck狀態(tài)變量 ?輸出信號(hào)的增益矩陣 Qk 輸入噪聲的方差 Rk 觀測(cè)噪聲的方差 Pk校正后狀態(tài)變量的估計(jì)誤差的均方值 kkkkkkkk yHxACHAx ??? ? 1?)(???11???kkPx? ???????????????????????39。1T139。1T39。T39。11)()()?(??kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPQAPAPRCPCCPHxACyHxAx量測(cè)方程 （ 輸出方程 ） 111 ??? ?? kkkk xAx ?kkkk vxCy ??卡爾曼遞推法：根據(jù)前一時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，加權(quán)遞推估計(jì)當(dāng)前的狀態(tài)值 ???狀態(tài)方程 kP??kkPx??kH?ky11???kkPx)()()(?)()(? nxnbnsnans ????? 1卡爾曼濾波遞推流程 kkkkkkkk yHxACHAx ??? ? 1?)(?例：已知 0,1)(,))(( )( 1 ????? ? vvvxx mzSzzzS信號(hào)與噪聲不相關(guān) ， yk=xk+vk,求卡爾曼信號(hào)模型中的Ak和 Ck。 ???2Sxx(z) =σ2ωB(z)B(z1)， 得 解： 由 yk=xk+vk 得： Ck=1 對(duì) Sxx(z)進(jìn)行譜分解 ， 確定 x(n)信號(hào)模型 B(z)， 確定 Ak )()1()( nnxnx ????11 ?? ??? kkkk xAxkkkk vxCy ???)(zB)()(zzX??360.18011?? z.量測(cè)方程 狀態(tài)方程 上式與卡爾曼狀態(tài)方程相比 ， 不同之處在于輸入信號(hào) ω(n)的時(shí)間不同 ， 因此將 Sxx(z)改寫 : ).)(.(.)(zzzS xx 8018013601 ??? ?)1()1()( ???? nnxnx ?11)( ????zzzBkkk xx ???? Ak = zzzz801801360 11... ????? ??)()(zzX??? 卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小的準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)信號(hào)濾波的 。 ? 卡爾曼濾波是從初始狀態(tài)開始采用遞推的方法進(jìn)行濾波 。 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) ， 當(dāng)過渡過程結(jié)束以后 ，卡爾曼濾波與維納濾波的結(jié)果間存在什么關(guān)系 ? 卡爾曼濾波器是基于狀態(tài)空間模型的線性最優(yōu)濾波器 卡爾曼 (Kalman)濾波理論是維納 (Wiener)濾波理論的發(fā)展。其主要特點(diǎn)是： 其數(shù)學(xué)公式是用狀態(tài)空間模型概念描述的； 它的解是遞推計(jì)算的。 11 ?? ??? kkkk xAxkkkk vxCy ??量測(cè)方程 （ 觀測(cè)方程 ） 狀態(tài)方程 （ 過程方程 ） Kalman濾波就是利用觀測(cè)數(shù)據(jù) yk求狀態(tài)向量 xk的最佳估計(jì) 狀態(tài)向量 xk 是不可觀測(cè)的 ， yk 是觀測(cè)向量 )()()(?)()(? nynbnxnanx ????? 1例 :已知 1]v a r [,0?,0)(,1)(,))(()(0011??????????xPxzSzSzzzS vxvvxx在 k=0時(shí)開始觀察 yk, yk=xk+vk， 用卡爾曼過濾的計(jì)算公式求 xk， 并與維納過濾的方法進(jìn)行比較 。 kkkk xAx ???? 1 kkkk vxCy ??解 zzzzzSxx )( 11????? ??11)( ???? zzzBkkk xx ???? ???kkk vxy ?????????kA1?kC22vkkRQ?? ???360.?1?將參數(shù)矩陣 Ak,Ck,Qk,Rk代入卡爾曼遞推公式，得 ????????????????????39。139。139。39。11)1()1()(kkkkkkkkkkkkkPHPPPPPHxyHxx?????????????????????39。1T139。1T39。T39。11)()()?(??kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkPCHIPQAPAPRCPCCPHxACyHxAx?kA1?kC?kQ1?kR0? 1 ??x10 ?P????????????????????39。139。139。39。11)1()1()(kkkkkkkkkkkkkPHPPPPPHxyHxx00? yx ? ?? ???1P?1?x?1H?1P??2P?2H?2P?2?x11???kkPxkP??kkPx??kH?ky110 yy ?012 1 9 0 3 8 0 4 yyy ???Kalman濾波迭代結(jié)果 求出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解 39。)1( kkk PHP ??????????????????????39。139。139。39。11)1()1()(kkkkkkkkkkkkkPHPPPPPHxyHxx39。139。39。 ])1(1[ kkk PPP ????139。39。 )1( ??? kk PPkH?39。)1( kkk PHP ?? ))(1(1 ??? ?kk PP 2 ??? ?? PP83??P 83??H?)..)(( 3606401 ??? ??? PPP達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的卡爾曼濾波的遞推方程 : )( 11 ?? ??? kkkk xyxx????????????????????39。139。139。39。11)1()1()(kkkkkkkkkkkkkPHPPPPPHxyHxx83??Hkkk yxx 83501 ?? ?用維納濾波的方法分析 kx?kkk vxy ??yk為觀測(cè)數(shù)據(jù)， xk為期望信號(hào) 非因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： )()()(zSzSzHyyyxo p t ?因果維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： ?? ???????)()()(11)(12 zBzSzBzH yxopt???)( zS yy 1))((1 ???? ? zz))(())((11zzzz???????? ?)( zSyx).)(.(.)(zzzS xx 8018013601 ??? ?0?)( zS vx)()( zSzS vvxx ?1?)( zS vv)(zSxx?? ???????)()()(11)(12 zBzSzBzH yxopt??))(())(()(11zzzzzSyy ????????))(()()(1 zzzSzS xxyx ???? ????2 ?)(zB?? )( )( 1zB zS yx zzz 1 ???? ?111)()(?????????zzzzHopt 183???? z))((1 zz ?? ?61.11801501????zz..可看出卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)解與維納解是相等的 1501183???? zzH o p t .)()(zH optkkk vxy ??kx?kkk yxx 81 ?? ?)()(?