【正文】 以類似可得由于當(dāng)時, , 故與不相互獨立.例5:某旅客到達(dá)火車站的時間均勻分布在早上7:558:00,，而火車這段時間開出的時間的概率密度為求此人能及時趕上火車的概率．解　由題意知的概率密度為　　因和相互獨立，所以和的聯(lián)合概率密度為此人能及時趕上火車的概率為 關(guān)于二維隨機(jī)變量的一些概念，定義2 :設(shè)是定義在樣本空間Ω上的個隨機(jī)變量，則稱為維隨機(jī)變量．定義3:對于任意個實數(shù)，函數(shù)稱為維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)．定義4:對于維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)使對于任意實數(shù)有則稱為維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度．定義5:設(shè)維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則的維邊緣分布函數(shù)就隨之確定．例如關(guān)于，關(guān)于的邊緣分布函數(shù)分別記為 又若是的概率密度，則關(guān)于，關(guān)于的邊緣概率密度分別為定義6:設(shè)，分別是維隨機(jī)變量的分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對任意實數(shù)，有則稱相互獨立．由定義6可知，維連續(xù)型隨機(jī)變量中，相互獨立的充分必要條件是對任意實數(shù) 有成立，其中）依次是的概率密度和的邊緣概率密度．定義7:若對任意的實數(shù)；有其中依次為隨機(jī)變量，和的分布函數(shù)，那么稱隨機(jī)變量和相互獨立．我們還可以得到下面的定理．定理1:設(shè)和相互獨立，則和相互獨立．又若是兩個連續(xù)函數(shù)，則和相互獨立．練習(xí):1. 解: 則有 和直線 2設(shè)的概率密度為(1)。(2) 問和是否獨立?解 (1) 即因?qū)σ磺芯? 故獨立.(2) 即由于存在面積不為0的區(qū)域, 使故和不獨立.第四節(jié) 條件分布 第一章中，我們介紹了條件概率的概念 , 在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率將其推廣到隨機(jī)變量：設(shè)有兩個隨機(jī)變量與，在給定取某個或某些值的條件下，求的概率分布。這個分布就是條件分布一 、離散型隨機(jī)變量的條件概率分布1條件分布律定義其概率分布為邊緣概率分布為 設(shè)概率分布，＝＝，概率分布 .條件概率分布具有概率分布的以下特性：1) ；條件分布函數(shù)定義對固定的性質(zhì)和相互獨立條件分布律＝邊緣分布律例1 設(shè)與的聯(lián)合概率分布為 Y X0200120 (1)求關(guān)于的邊緣概率分布。(2) 求時, 的條件概率分布以及時, 的條件概率分布。(3)判斷與是否相互獨立?解(1) 由與的聯(lián)合概率分布得關(guān)于的邊緣概率分布12(2)在時, 的條件概率分布為又故在時，的條件概率分布可類似求得(2) 因而 即所以, 與不獨立.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，由對任意 有所以不能直接用條件概率公式得到條件分布若則 若則＝2條件密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)X和Y相互獨立. 條件概率密度＝邊緣概率密度例2:設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度是求條件概率密度,及解: 故當(dāng)時,在的條件下, 的條件概率密度為故當(dāng)時,在的條件下, 的條件概率密度為當(dāng)時例3: 設(shè)數(shù)在區(qū)間隨機(jī)取值，當(dāng)觀察到時，.解： 練習(xí)1設(shè)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為 求X的邊緣分布及解：當(dāng)時, 當(dāng)時, 熟練時，被積函數(shù)為零的部分可以不寫。 所以上的均勻分布2設(shè)的概率密度是求 解：為此, 需求出 由于 于是，對故對 3解：4：一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為, 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止. 以表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊次數(shù), 以表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù). 試求和的聯(lián)合分布及條件分布.解： 在條件下隨機(jī)變量的條件分布律為當(dāng)時在條件下隨機(jī)變量Y 的條件分布律為當(dāng)時第三節(jié) 兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實際問題中，有些隨機(jī)變量往往是兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù). 例如，醫(yī)學(xué)上考察某地區(qū)40歲以上的人群，用和分別表示一個人的年齡和體重，表示這個人的血壓，并且已知與，的函數(shù)關(guān)系式 我們希望通過的分布來確定的分布. 在本節(jié)中，我們重點討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系: （1） (2) 和，其中與相互獨立. 一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其概率分布為，又是一個二元函數(shù), 則也是一個一維離散型隨機(jī)變量, 設(shè)的所有可能取值為, 則的概率分布為 其中是指若有一些都使，則將這些對應(yīng)的概率相加。例1 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下表 －1 0 1 2－120求（1）的概率分布；（2）的概率分布解 由的概率分布可得－2－101123410－1－2－2024 0把值相同項對應(yīng)的概率值合并得（1）的概率分布為－2－1012340（2）的概率分布－2－10124例2 :若和相互獨立,且分別服從參數(shù)為的泊松分布,求的分布律.解:因所有可能取值為，故所有可能取值為，事件可以寫成互不相容的事件之和，由相互獨立，所以有這表明服從參數(shù)為的泊松分布。 二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量, 其概率密度函數(shù)為, 令為一個二元連續(xù)函數(shù), 則是一維連續(xù)隨機(jī)變量，可用類似于求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的分布函數(shù)法來求的分布.（1) 求分布函數(shù)其中, 積分區(qū)域是由平面內(nèi)由不等式所確定，即（2) 求概率密度, 對幾乎所有的z, 有討論和的函數(shù)及，的概率分布。設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量，其概率密度函數(shù)為,則的分布函數(shù)為 這里積分區(qū)域是直線左下方的半平面（見圖36）即 利用廣義二重積分有 （）或 （） 圖36固定和，對式（）中方括號內(nèi)的積分作變量替換，令得 由概率密度于分布函數(shù)的關(guān)系，可得的概率密度為 （）同理對式（）作變量替換，又可寫成 （）（）式和（）式可作為兩個隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式。特別地，當(dāng)和相互獨立時，因為對于所有和有，其中分別是關(guān)于和的邊緣概率密度，所以 （） （）以上兩個公式稱為卷積公式，記作，即例3:設(shè)和是兩個相互獨立的隨機(jī)變量. 且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,求的概率密度。解 :因 及和相互獨立，故由卷積公式得的概率密度為令得 即一般，若相互獨立，且 由卷積公式可知仍然服從正態(tài)分布且這一結(jié)論還能推廣到個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況，即且它們相互獨立，則它們的和仍然服從正態(tài)分布，且有例4 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨立，其概率密度分別為，求隨機(jī)變量的密度。解 用兩種方法求解方法1 利用卷積公式由定義知，僅當(dāng) 即 時上述積分的被積函數(shù)才不等于零，如圖38知 圖38當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，故 方法2 先求的分布函數(shù)。由已知的概率密度為則的分布函數(shù)為當(dāng)時，（圖39（1）） 圖39（1） 圖38（2）當(dāng)時，（圖39（2）） 當(dāng)時，（圖39（3））綜上得的分布函數(shù) 圖38（3）故的概率密度為2．，的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨立,其分布函數(shù)分別為和,和的分布函數(shù)分別記為，由于事件，而相互獨立,所以事件與事件相互獨立，由此可得由于事件，而相互獨立,所以事件與事件相互獨立，由此可得上述結(jié)果容易推廣到個相互獨立的隨機(jī)變量的情況，設(shè)是個相互獨立的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為， ，則的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為特別地，當(dāng)相互獨立且具有相同分布函數(shù)時有，例5 設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接的方式分別為（1）串聯(lián)，（2）并聯(lián)，（3）備用（當(dāng)系統(tǒng)損壞時，系統(tǒng)開始工作），如圖3—9所示. 設(shè)的壽命分別為, 已知它們的概率密度分別為 其中且 試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出的壽命的概率密度.解 （1）串聯(lián)的情況由于當(dāng)中有一個損壞時，系統(tǒng)就停止工作，所以這是的壽命為由題設(shè)知，的分布函數(shù)分布為 于是，的分布函數(shù)為所以的概率密度為（2）并聯(lián)的情況由于當(dāng)且僅當(dāng) 都損壞時，系統(tǒng)才停止工作，所以這時的壽命為．于是，的分布函數(shù)為 從而的概率密度為3). 備用時， 由于當(dāng)系統(tǒng) 損壞時系統(tǒng)才開始工作，這時整個系統(tǒng)的壽命是和兩者壽命之和，即由和相互獨立，的概率密度當(dāng) 時，；當(dāng) 時，有例6:設(shè)隨機(jī)變量相互獨立且都服從具有同一參數(shù)的分布，試求的概率分布．解　由于每個可能取的值為0,1，則所有可能取值為由相互獨立知，以某一特定方式?。ㄈ缜皞€取1，后個取0），由概率的有限可加性有.即服從.反過來，可以證明，一個服從以為參數(shù)的二項分布的隨機(jī)變量可以看作個相互獨立且都服從參數(shù)為的分布的隨機(jī)變量之和，即把一個隨機(jī)變量分解成有限個隨機(jī)變量之和，這是在處理概率論的有關(guān)問題時常用的方法．{了解商的分布：連續(xù)型隨機(jī)變量商的分布 于是練習(xí)1:設(shè)與相互獨立, 且均在區(qū)間上服從均勻分布, 求的密度函數(shù).解： 解法二: 由卷積公式，得為確定積分限, 先找出被積函數(shù)不為零的區(qū)域 2設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機(jī)變量, 其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨立, 求兩周需要量的概率密度函數(shù).解 分別用和表示第一、二周的需求量 則 從而兩周需求量 利用卷積公式計算.當(dāng)時, 若 則 若 則 從而當(dāng)時, 若 則 若 即 則故 從而第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù), , 人們并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況, , 在評價某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時, 通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量。又如, 在評價一批棉花的質(zhì)量時, 既要注意纖維的平均長度, 又要注意纖維長度與平均長度之間的偏離程度, 平均長度較大, 偏離程度小, 則質(zhì)量就較好. , 描述隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要的意義, 它們能更直接、更簡潔更清晰和更實用地反映出隨機(jī)變量的本質(zhì).本章將要討論的隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征包括: 數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩.第一節(jié) 數(shù)學(xué)期望引例：某班有N個人參加數(shù)學(xué)考試，其中有個人得分，，求該班學(xué)生的平均成績。解：平均成績?yōu)? 若用X表示成績，則 , 一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征, 它對評判事物、作出決策等具有重要作用.1定義 設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為如果絕對收斂, 則定義為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(又稱均值)也就是說：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)和。注：2定義 設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量, 其密度函數(shù)為,如果反常積分絕對收斂, 定義的數(shù)學(xué)期望為 例1 甲, 乙兩人進(jìn)行射擊, 所得分?jǐn)?shù)分別記為, 它們的分布律分別為 試評定他們的射擊技術(shù)水平的高低.解：例2：某人每次射擊命中目標(biāo)的概率為，現(xiàn)連續(xù)向目標(biāo)射擊，直到第一次命中目標(biāo)為止，求射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解　設(shè)為直到第一次命中目標(biāo)為止所進(jìn)行的試驗次數(shù)，則X取值為1,2, …，事件表示前次射擊未命中目標(biāo)，例3:設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的數(shù)學(xué)期望．解: 由題意,的概率密度為則例4：設(shè)隨機(jī)變