【正文】 只球放入個盒子里的方法共有種，即為基本事件總數(shù)．（１）設(shè)＝“每個盒子中至多有一只球”．因為每個盒子中至多放一只球，共有種不同的放法．即中包含的基本事件數(shù)為．所以（2）設(shè)＝“某指定的個盒子中各有一只球”．由于只球在指定的個盒中各放一只，共有種放法，（3）設(shè)＝“恰有個盒中各有一只球”．由于在個盒中選取個盒子的選法有種，而對于每一種選法選出的個盒，其中各放一只球的放法有種．所以包含的基本事件數(shù)為所以例如，假設(shè)每個人的生日在一年３６５天中的任一天是等可能的，即都等于，那么隨機(jī)選取個人，他們的生日各不相同的概率因而，個人中至少有兩人生日相同的概率為如果，可算出，即在一個50人的班級里，“至少有兩個人的生日相同”這一事件發(fā)生的概率與1差別很小．例5:　從的100個整數(shù)中任取一個，試求取到的整數(shù)既不能被6整除，又不能8整除的概率．解:設(shè)＝“取到的數(shù)能被6整除”，＝“取到的數(shù)能被8整除”，＝“取到的數(shù)既不能被6整除，也不能被8整除”．則， 對，設(shè)100個整數(shù)中有個能被6整除，則，所以．即中有16個基本事件，同理中含有12個基本事件，則設(shè)既能被6整除又能被8整除即能被24整除的數(shù)為個，則所以．即中含有4個基本事件，則故三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗的概率模型. 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。幾何概型特點: 有一個可度量的幾何圖形，試驗看成在中隨機(jī)地投擲一點,事件就是所投擲的點落在中的可度量圖形中 這里我們研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗的概率模型—幾何概型.例:某路公共汽車每發(fā)出一輛車，求乘客到達(dá)站點后，等待時間不超過的概率．如果記此事件為，乘客到達(dá)站點的時刻可視為向時間段投擲一隨機(jī)點．從而向時間段內(nèi)投點對應(yīng)于向線段上投點．事件表示“等待時間不超過，而樣本空間Ω＝，這里所投擲的點落在線段上任一點的可能性都一樣或說具有等可能性．我們理解這種等可能性的含義，就是點落在時間段內(nèi)的可能性與該線段的長度成正比，與該線段的位置無關(guān)．因此事件Ａ的概率決定于線段［2，5］與［0，5］的長度比，即幾何概率的定義:如果一個隨機(jī)試驗相當(dāng)于從直線、平面或空間的某一區(qū)域Ω任取一點，而所取的點落在Ω中任意兩個度量（長度、面積、體積）相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是一樣的，則稱此試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?，對于任意有度量的子區(qū)域，定義事件“任取一點落在區(qū)域內(nèi)”發(fā)生的概率為例6：甲乙二人相約定7：008：00在預(yù)定地點會面，先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開。解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點的時刻分別為及（分鐘）, 則兩人到達(dá)時間的一切可能結(jié)果對應(yīng)于邊長為60的正方形里所有點 ＝｛二人會面｝ 練習(xí):1 某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電 臺報時， 求他等待的時間不超過 10 分鐘的概率。 (1/6)2在線段上任意取兩個點 B、C，在 B、C 處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。解：設(shè)A＝｛三折線能構(gòu)成三角形｝設(shè)AD＝1，AB＝x，BC＝y(tǒng)，CD＝1xy，則樣本空間A＝｛兩邊之和大于第三邊｝＝ 167。 條件概率例1:兩臺機(jī)器加工同一種產(chǎn)品，共100件，第一臺機(jī)器加工合格品數(shù)為35件，次品數(shù)為5件，第二臺機(jī)器加工合格品數(shù)為50件，次品數(shù)為10件．若從100件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知取到的是第一臺機(jī)器加工的產(chǎn)品，問它是合格品的概率是多少．解　令Ａ＝“取到產(chǎn)品是第一臺機(jī)器加工的”，Ｂ＝“取到產(chǎn)品為合格品”，于是所求概率是事件Ａ發(fā)生的條件下事件Ｂ發(fā)生的概率，所以稱它為Ａ發(fā)生的條件下Ｂ發(fā)生的條件概率，并記作可以用古典概型計算．因為取到的是第一臺機(jī)器加工的，又已知第一臺機(jī)器加工40件產(chǎn)品，其中35件是合格品，所以．　　另外，由于ＡＢ表示事件“取到的第一臺機(jī)器加工的，并且是合格品”，而在100件產(chǎn)品中是第一臺機(jī)器加工的又是合格品的產(chǎn)品為35件，所以，而，從而有定義: 設(shè)是兩個事件，且，稱為在事件Ａ發(fā)生的條件下，事件Ｂ發(fā)生的條件概率，記為，即同樣,可以在的條件下，定義在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率為條件概率Ｐ（ Ａ）滿足概率公理化定義中的三個基本性質(zhì)： 對任一事件，2. 規(guī)范性:3. 可列可加性：設(shè)兩兩互斥注:, 計算條件概率有兩種方法：（1）在樣本空間Ω中，先求，再按定義計算（2）在縮減的樣本空間中求事件Ｂ的概率，可得到例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次從袋中不放回取兩球．（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率．解　記＝“第次取到黑球”（）（1）可以在縮減的樣本空間上計算．因為已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時，所有可取的球只有9只．中所含的基本事件數(shù)為9，其中黑球只剩下2只，所以．（2）由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故縮減的樣本空間的結(jié)構(gòu)并不直觀，因此，直接在Ω中用定義計算因為又由且與互不相容故　例3:，這種動物已經(jīng)活到20歲時再活到25歲的概率是多少？解　記＝“該動物活到20歲”，＝“該動物活到25歲”，顯然，則．又＝，?。?，　＝．所以二、乘法公式1定理１（乘法公式）　設(shè)則有設(shè)則有它表明，兩個事件同時發(fā)生的概率等于其中一個事件發(fā)生的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積．推廣：三個事件的乘法公式:設(shè)為三個事件,且3. 多個事件乘法公式的推廣: 設(shè)為個事件,當(dāng) 時，有 證明：因，故 又＝ 例4：袋中有個白球和個黑球，隨機(jī)取出一個，然后放回，并同時再放進(jìn)與取出的球同色的一只球,，再取第二只,，這樣連續(xù)去3次。問取出的3個球中頭兩個是黑球，第三個是白球的概率是多少?例 5: 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。求透鏡落下三次而未打破的概率。 解：以表示事件“透鏡第次落下打破”，以表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機(jī)器，，，．（1）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；（2）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，若已知取到的是次品，問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機(jī)器生產(chǎn)的概率是多少？解:1）設(shè)＝“取出的產(chǎn)品為次品” 又設(shè)＝“所取產(chǎn)品來自甲臺”，＝“所取產(chǎn)品來自乙臺”，＝“所取產(chǎn)品來自丙臺”．由于 ,兩兩互不相容，所以且也兩兩互不相容，于是又已知,故所求概率, 　　定理3(全概率公式)：設(shè)隨機(jī)試驗Ｅ的樣本空間為Ω，為的任意事件，是Ω的一個完備事件組，（即且兩兩互不相容），且，則　全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計算不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一完備事件組，使事件發(fā)生的概率是各事件）發(fā)生的條件下引起事件發(fā)生的概率的總和．若已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式．定理4（貝葉斯公式）　設(shè)為一完備事件組，且．則對任一事件，有例7:，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果，被診斷患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為，在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實患有該疾病的概率是多少？解　設(shè)事件＝“試驗反應(yīng)為陽性”，“被診斷者患有此疾病”，則＝“被診斷者不患有此疾病”．由已知，,　由全概率公式　　再由貝葉斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng),．一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，顧客隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回．試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率．解　設(shè)＝“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘次品”顯然， 為Ω的完備事件組，由題意，　?。ǎ保┯扇怕使降?2)由貝葉斯公式練習(xí)1:設(shè)有五個壇子，大號壇子兩個，各裝兩個白球一個黑球，中號壇子兩個，各裝三個白球一個黑球，小號壇子一個，裝有十個黑球。如任選一個壇子，從中取出一球，問這球是黑球的概率是多少?2:對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時，其合格率為 30% 。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？解：＝“產(chǎn)品合格”,＝“機(jī)器調(diào)整得良好 ”“機(jī)器發(fā)生某一故障” 167?！∈录莫?dú)立性與伯努利概型一兩個事件的獨(dú)立性 定義1:若兩事件,滿足成立則稱事件,相互獨(dú)立, 或稱,獨(dú)立.注: (1)兩事件互不相容與相互獨(dú)立是完全不同的兩個概念，它們分別從兩個不同的角度表達(dá)了兩事件間的某種聯(lián)系，互不相容是表述在一次隨機(jī)試驗中兩事件不能同時發(fā)生，而相互獨(dú)立是表述在一次隨機(jī)試驗中一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互無影響．(2) 當(dāng),時, ,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨(dú)立又互不相容.證明：，由于AB =Φ，所以但是，由題設(shè)這表明，事件 A 與 B 不相互獨(dú)立所以當(dāng),時, ,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時成立.定理1:設(shè),是兩事件，若,相互獨(dú)立，且則．反之，或則相互獨(dú)立．證明　若相互獨(dú)立，則當(dāng)時，有 反之若則故,相互獨(dú)立定理2證:由故 注意：在實際應(yīng)用中，對于事件的獨(dú)立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。具體的說，題目一般把獨(dú)立性作為條件告訴我們，要求直接應(yīng)用定義中的公式進(jìn)行計算。例1:從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記“抽到”，“抽到的牌是黑色的”，判斷事件是否獨(dú)立？解:利用定義判斷，由得到故事相互獨(dú)立．例2：甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，.解 ： 設(shè)表示“甲擊中目標(biāo)”，表示“乙擊中目標(biāo)”, 則，二、有限個事件的獨(dú)立性定義2　設(shè)是三個事件，如果滿足等式 ．則稱事件相互獨(dú)立．定義3　設(shè)是個事件，如果其中任意2個，任意3個，…，任意個事件之積的概率，都等于各事件的概率之積，則稱事件相互獨(dú)立．另外，稱無窮多個事件相互獨(dú)立，是指其中任意有限多個事件都相互獨(dú)立．或定義4設(shè)是個事件，若其中任意兩個事件均相互獨(dú)立，則稱兩兩相互獨(dú)立．可見個事件相互獨(dú)立，可推得個事件兩兩相互獨(dú)立，反之未必.多個相互獨(dú)立事件具有如下性質(zhì)：性質(zhì)１　若事件相互獨(dú)立，則其中任意個事件也相互獨(dú)立．性質(zhì)2　若事件相互獨(dú)立，則將中任意個事件換成它們的對立事件，所得的個事件仍相互獨(dú)立．特別是，若相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立．利用多個事件的獨(dú)立性，可以簡化概率的計算．（1）計算個相互獨(dú)立的事件 的積的概率，可簡化為(2)計算個相互獨(dú)立的事件 的和的概率，可簡化為 證明: 例3　一個人看管三臺機(jī)床，設(shè)各臺機(jī)床在任一時刻正常工作的概率分別,，求在任一時刻，（1）三臺機(jī)床都正常工作的概率；（2）三臺機(jī)床中至少有一臺正常工作的概率．解:三臺機(jī)床工作正常與否是相互獨(dú)立的，記 “第臺機(jī)床正常工作”（），則（1）所求概率為　?。?）所求概率為 例4　在圖1－4所示的開關(guān)電路中，開關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的開（或關(guān)）的概率均獨(dú)立地等于 求事件“燈亮”的概率．解:設(shè) 分別表示開關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ關(guān)閉，記＝“燈亮”，則，故所求概率為三、伯努利概型在概率論中，只考慮兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗稱為伯努利試驗．為方便起見，將兩個可能結(jié)果說成事件發(fā)生或事件不發(fā)生，記 將伯努利試驗在相同條件下獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次，稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗為重伯努利試驗，或簡稱為伯努利概型．重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實際問題中應(yīng)用廣泛，特點是事件在每次試驗中發(fā)生的概率均為，且不受其他各次試驗中是否發(fā)生的影響．對于伯努利概型，主要研究次試驗中事件發(fā)生次的概率．定理3（伯努利定理）　設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為則在重伯努利試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為證明　在重伯努利試驗中，由于各次試驗是相互獨(dú)立進(jìn)行的，因此事件在指定的次試驗中發(fā)生，其余次試驗中均不發(fā)生（比如在前次試驗中發(fā)生，在后次試驗中均不發(fā)生）的概率為由于這樣的指定方式共有種，根據(jù)概率的加法公式可得．在次試驗中發(fā)生次的概率為　　定理4:設(shè)在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為，則在伯努利試驗序列中，事件在第k次試驗中才首次發(fā)生的概率為證明　“事件在第次試驗中首次發(fā)生”等價于“事件在前次試驗中均不發(fā)生而第次試驗中發(fā)生”，故所求的概率例5　一袋中裝有10只球，其中3只黑球，7只白球，每次從中隨意取出一球，取后放回．（1）如果共取10次，求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率；（2）如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球為止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率．