【正文】 第一章 隨機事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應用數(shù)學學科，本章介紹的隨機事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.167。 隨機事件一、隨機試驗1確定性現(xiàn)象:必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。 在正常的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時必然沸騰,向上拋一石子必然下落，異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥等 2隨機現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無法準確預知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象.擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點,拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.3隨機現(xiàn)象的特點：人們通過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復試驗或觀察下，.4. 隨機試驗 為了對隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進行研究,就需要對隨機現(xiàn)象進行重復觀察, 我們把對隨機現(xiàn)象的觀察稱為隨機試驗, 并簡稱為試驗，記為. :1. 可重復性: 試驗可以在相同的條件下重復進行。2. 可觀察性: 試驗結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的。3. 隨機性(不確定性): 每次試驗出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準確預知. ，但可以肯定會出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個.二、隨機事件：隨機試驗中的每一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果稱為這個試驗的一個 樣本點,記作. 2樣本空間：全體樣本點組成的集合稱為這個隨機試驗的樣本空間，記為.(或)．即例1:：投擲一枚硬幣，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面Ｈ出現(xiàn)的次數(shù)，則樣本空間為．：記錄某電話臺在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為．：已知某物體長度在10與20之間，測量其長度，則樣本空間為．：在一大批燈泡中任取一只，測試其使用壽命，則樣本空間為．注：：1)在 中，雖然一分鐘內(nèi)接到電話的呼叫次數(shù)是有限的，不會非常大，但一般說來，人們從理論上很難定出一個次數(shù)的上限，為了方便，視上限為∞，這種處理方法在理論研究中經(jīng)常被采用．2)樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的，如和中同是將一枚硬幣連拋兩次，由于試驗的目的不一樣，其樣本空間也不一樣．3隨機事件：我們稱試驗的樣本空間的子集為的隨機事件，簡稱事件，在隨機試驗中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，…等大寫字母表示事件．設為一個事件，當且僅當試驗中出現(xiàn)的樣本點時，稱事件在該次試驗中發(fā)生．如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一 個隨機事件，可用｛正面向上｝表示．擲骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點”是一個隨機事件，試驗結(jié)果為2，4或6點， 可用B＝｛2，4，6｝表示．注: 要判斷一個事件是否在一次試驗中發(fā)生，只有當該次試驗有了結(jié)果以后才能知道．1)基本事件 ：僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件.如:拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，那么“出現(xiàn)1點”、“出現(xiàn)2點”,...,“出現(xiàn)6 點”為該試驗的基本事件． 2)必然事件：．樣本空間本身也是的子集，它包含的所有樣本點，在每次試驗中必然發(fā)生，稱為必然事件．即必然發(fā)生的事件.如：“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)不超過6”為必然事件. 3)不可能事件：．空集也是的子集，它不包含任何樣本點，在每次試驗中都不可能發(fā)生，稱為不可能事件．不可能發(fā)生的事件是不包含任何樣本點的. 如：“擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)大于6”是不可能事件.三、事件間的關系與運算研究原因：希望通過對簡單事件的了解掌握較復雜的事件 研究規(guī)則：事件間的關系和運算應該按照集合之間的關系和運算來規(guī)定 事件間的關系及運算與集合的關系及運算是一致的.1 子事件、包含關系 ,2相等事件:若事件Ａ發(fā)生必然導致事件發(fā)生，且若事件發(fā)生必然導致事件發(fā)生， 即 A=B注：事件與事件含有相同的樣本點 例如：在投擲一顆骰子的試驗中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”與事件“出現(xiàn)2，4或6點”是相等事件。3和事件或并事件， 積事件或交事件， .事件的差，.注：例如，在例1的中，若記，則， ｝互斥或互不相容.事件A和隨機B不能同時發(fā)生.注：.推廣：設事件滿足稱事件是兩兩互不相容的.7對立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個發(fā)生，即則事件和事件為互逆事件或?qū)α⑹录Ｓ浀膶α⑹录? 注:互逆事件必為互斥事件，反之，互斥事件未必為互逆事件事件的關系與運算可用圖來直觀的表示．注: 事件的運算滿足如下基本關系．①，② 若ＡＢ，則Ａ∪Ｂ＝Ｂ，Ａ∩Ｂ＝Ａ．③ Ａ－Ｂ＝Ａ∩＝Ａ－Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ∪（Ｂ－Ａ）．完備事件組:設是有限或可列個事件,若其滿足①②，則稱是樣本空間的一個完備事件組或一個劃分.注:與構成一個完備事件組.四、隨機事件的運算規(guī)律冪等律: 交換律: 結(jié)合律： 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2： 一名射手連續(xù)向某個目標射擊三次，事件表示該射手第次射擊時擊中目標（），試用表示下列各事件．（1）前兩次射擊中至少有一次擊中目標；（2）第一次擊中目標而第二次未擊中目標；（3）三次射擊中，只有第三次未擊中目標；（4）三次射擊中，恰好有一次擊中目標；（5）三次射擊中，至少有一次未擊中目標；（6）三次射擊都未擊中目標；（7）三次射擊中，至少兩次擊中目標；（8）三次射擊中，至多一次擊中目標解:分別用表示（1），（2），…，（8）中所給出的事件．（1）．（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8) 備講例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個事件的運算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其他事件的運算來表示一個事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應學會用不同方法表達同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當?shù)谋硎痉椒?例3　如圖所示電路中，＝“燈亮”，分別表示“開關Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ閉合” ，　， 　　這是因為，如果 發(fā)生，即開關Ⅰ，Ⅱ同時閉合，則整個電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以,同理如果發(fā)生，即 或 中至少一個發(fā)生，則整個電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以反之，如果Ａ發(fā)生，即燈亮，則 或中至少有一個發(fā)生，所以由事件相等的定義，課堂練習1. 設當事件與同時發(fā)生時也發(fā)生, 則 ( C )(A) 是的子事件。 (B)或(C) 是的子事件。 (D) 是的子事件.2. 設事件{甲種產(chǎn)品暢銷, 乙種產(chǎn)品滯銷}, 則的對立事件為 (D).(A) 甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷。(B) 甲種產(chǎn)品滯銷。(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷。(D) 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.167?！☆l率與概率隨機事件在一次隨機試驗中是否會發(fā)生，事先不能確定，但希望知道它發(fā)生可能性的大小．這里先引入頻率的概念，進而引出表征事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)字度量———概率．一、頻率及其性質(zhì)1定義1在相同條件下重復進行了次試驗，如果事件在這次試驗中發(fā)生了次，則稱比值為事件發(fā)生的頻率，記作它具有下述性質(zhì): 非負性規(guī)范性有限可加性頻率的大小表示了在次試驗中事件發(fā)生的頻繁程度．頻率大，事件發(fā)生就頻繁，在一次試驗中發(fā)生的可能性就大，反之亦然．因而直觀的想法是用頻率來描述在一次試驗中發(fā)生的可能性的大?。? 頻率的穩(wěn)定性隨機事件在相同條件下重復多次時，事件發(fā)生的頻率在一個固定的數(shù)值附近擺動，隨機試驗次數(shù)的增加更加明顯,事件的頻率穩(wěn)定在數(shù)值，說明了數(shù)值可以用來刻劃事件發(fā)生可能性的大小，可以規(guī)定為事件的概率二、概率的統(tǒng)計定義定義2　對任意事件，在相同的條件下重復進行次試驗，事件發(fā)生次，從而事件發(fā)生的頻率，隨著試驗次數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個常數(shù)附近擺動,那么稱為事件的概率上述定義稱為隨機事件概率的統(tǒng)計定義．在實際應用時，往往可用試驗次數(shù)足夠大時的頻率來估計概率的大小，且隨著試驗次數(shù)的增加，估計的精度會越來越高．在實際中，我們不可能對每一個事件都做大量的試驗，然后求得事件發(fā)生的頻率，用以表征事件發(fā)生的概率．為此給出概率的嚴格的公理化定義．三、概率的公理化定義定義3 設是隨機試驗，是它的樣本空間，對的每一個事件賦予一個實數(shù)，記為，若滿足下列三個條件：（1）非負性　對每一個事件，有；（2）規(guī)范性　對于必然事件，有（3）可列可加性　設是兩兩互不相容的事件，有則稱為事件發(fā)生的概率．四、概率的性質(zhì)性質(zhì)1：設是兩兩互不相容的事件,則有 即若則，有 ,若 則，證明　因為，從而有），且．由性質(zhì)2得所以由于，因此性質(zhì)5：對任意事件.性質(zhì)6(減法公式)：對事件,則　證明　由于，而根據(jù)性質(zhì)4可得性質(zhì)7:對任意兩個事件，有推廣:證明:因為且，由性質(zhì)2及性質(zhì)4得 一般地,設為n個隨機事件，則有 此公式稱為概率的一般加法公式。例1：設 求(1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) .解: (1)(2)。(3) (4) 例2：設， 求事件全不發(fā)生的概率。解： ＝因為,所以,而所以練習:設事件A、B的概率分別為1/1/2，求在下列三種情況下的值（1）A與B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）P（A）=1/6（3）=P（BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=3/8167。 古典概型與幾何概型一、古典概型我們稱具有下列兩個特征的隨機試驗模型為古典概型．（1）隨機試驗只有有限個可能的結(jié)果；（2）每一個結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．古典概型又稱為等可能概型． 設試驗是古典概型，樣本空間為，則基本事件，…，兩兩互不相容，且由于及，因此若事件包含個基本事件，即其中是中某個不同的數(shù)，則有 即二、 計算古典概率的方法1基本計數(shù)原理：(1). 加法原理：設完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.(2). 乘法原理：設完成一件事有個步驟,其中第一個步驟有種方法，第二個步驟有種方法，……，第個步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為 .2. 排列組合方法(1) 排列公式：從n個不同元素中任取k個的不同排列總數(shù)為 (2) 組合公式；從n個不同元素中任取k個的不同組合總數(shù)為例1 :將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況。 (1) 設事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 (2)設事件為“第一次出現(xiàn)正面”， 求, (3)設事件 為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 解： 中包含有限個元素，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。樣本空間 , (1) , （2) ,(3) 或 例2: 　袋中裝有5只白球3只黑球，分別按下列方式抽取2只：（1）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球．這種取球方式叫做不放回抽樣．（2）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球．這種取球方式叫做放回抽樣．（3）一次任取2只．設＝“所取2只球均為白球”，＝“所取2只球中一白一黑”，求．解（1）不放回抽樣. 第一次從8只球中抽取一只，不再放回，故第二次從7只球中抽取1只，第二次有4只白球供抽取，所以事件中包含的基本事件數(shù)為，所以 　　從5只白球中任取一只共有5種方法，從3只黑球中任取一只共有3種方法，第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球構成事件，共有種方法， 故　　（2）放回抽樣. 因為每次都是從8只球中抽取，故由乘法原理，基本事件總數(shù)的,又由于兩次都是從5只白球中抽取，故構成的基本事件數(shù)為， 因此　　事件包含的基本事件數(shù)：第一次取得白球第二次取得黑球有個基本事件，第一次取得黑球第二次取得白球有個基本事件，故　?。?）一次任取2只因為不考慮次序，將從8只球中抽取2只的可能組合作為基本事件，總數(shù)為事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取2只的組合，有個．故　　事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取1只，從3只黑球中任取一只構成的組合，共有個，故　　例3 一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，今從中隨機取4件，問其中恰有2件為次品的概率是多少? 解：設=｛從中隨機地取4件,恰有2件為次品｝10件產(chǎn)品中隨機地取4件共有種取法，每種取法為一基本事件且每個基本事件發(fā)生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有種，在7件正品中取2件正品的取法有種，由乘法原理，在4件產(chǎn)品中有2件次品，2件正品的取法共有種，所以例4:有只球，隨機放在個盒子中（）．試求下列各事件的概率．（1）每個盒子中至多有一只球；（2）某指定的個盒子中各有一只球；（3）恰有個盒中各有一球．解: