【正文】 B={ 取出的10件產(chǎn)品中恰有4件次品 } C={ 取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品 } D={ 取出的10件產(chǎn)品中沒有次品 }解： 取10件產(chǎn)品可看作是一10重貝努里試驗 第二章 隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗中，人們除對某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個與隨機(jī)試驗的結(jié)果相聯(lián)系的變量. 由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量. 與普通的變量不同，對于隨機(jī)變量，人們無法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計規(guī)律性. 本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律性的分布.167。已知某天早上第一件產(chǎn)品是合格品，試求機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少？解：＝“產(chǎn)品合格”,＝“機(jī)器調(diào)整得良好 ”“機(jī)器發(fā)生某一故障” 167。它使一個復(fù)雜事件的概率計算問題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題。 Ａ）滿足概率公理化定義中的三個基本性質(zhì)： 對任一事件，2. 規(guī)范性:3. 可列可加性：設(shè)兩兩互斥注:, 計算條件概率有兩種方法：（1）在樣本空間Ω中，先求，再按定義計算（2）在縮減的樣本空間中求事件Ｂ的概率，可得到例2:一袋中有10只球，其中3只黑球，7只白球，依次從袋中不放回取兩球．（1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率．解　記＝“第次取到黑球”（）（1）可以在縮減的樣本空間上計算．因為已發(fā)生，即第一次取得的是黑球，第二次取球時，所有可取的球只有9只．中所含的基本事件數(shù)為9，其中黑球只剩下2只，所以．（2）由于第二次取球發(fā)生在第一次取球之后，故縮減的樣本空間的結(jié)構(gòu)并不直觀，因此，直接在Ω中用定義計算因為又由且與互不相容故　例3:，這種動物已經(jīng)活到20歲時再活到25歲的概率是多少？解　記＝“該動物活到20歲”，＝“該動物活到25歲”，顯然，則．又＝，　＝，?。剑远?、乘法公式1定理１（乘法公式）　設(shè)則有設(shè)則有它表明，兩個事件同時發(fā)生的概率等于其中一個事件發(fā)生的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積．推廣：三個事件的乘法公式:設(shè)為三個事件,且3. 多個事件乘法公式的推廣: 設(shè)為個事件,當(dāng) 時，有 證明：因，故 又＝ 例4：袋中有個白球和個黑球，隨機(jī)取出一個，然后放回，并同時再放進(jìn)與取出的球同色的一只球,，再取第二只,，這樣連續(xù)去3次。解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點的時刻分別為及（分鐘）, 則兩人到達(dá)時間的一切可能結(jié)果對應(yīng)于邊長為60的正方形里所有點 ＝｛二人會面｝ 練習(xí):1 某人午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機(jī)，想聽電 臺報時， 求他等待的時間不超過 10 分鐘的概率。樣本空間 , (1) , （2) ,(3) 或 例2: 　袋中裝有5只白球3只黑球，分別按下列方式抽取2只：（1）第一次取一球不放回袋中，第二次從剩余的球中再取一球．這種取球方式叫做不放回抽樣．（2）第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球．這種取球方式叫做放回抽樣．（3）一次任取2只．設(shè)＝“所取2只球均為白球”，＝“所取2只球中一白一黑”，求．解（1）不放回抽樣. 第一次從8只球中抽取一只，不再放回，故第二次從7只球中抽取1只，第二次有4只白球供抽取，所以事件中包含的基本事件數(shù)為，所以 　　從5只白球中任取一只共有5種方法，從3只黑球中任取一只共有3種方法，第一次取得白球第二次取得黑球及第一次取得黑球第二次取得白球構(gòu)成事件，共有種方法， 故　?。?）放回抽樣. 因為每次都是從8只球中抽取，故由乘法原理，基本事件總數(shù)的,又由于兩次都是從5只白球中抽取，故構(gòu)成的基本事件數(shù)為， 因此　　事件包含的基本事件數(shù)：第一次取得白球第二次取得黑球有個基本事件，第一次取得黑球第二次取得白球有個基本事件，故　?。?）一次任取2只因為不考慮次序，將從8只球中抽取2只的可能組合作為基本事件，總數(shù)為(3) (4) 例2：設(shè)， 求事件全不發(fā)生的概率。例1：設(shè) 求(1) 。(B) 甲種產(chǎn)品滯銷。3和事件或并事件， 積事件或交事件， .事件的差，.注：例如，在例1的中，若記，則， ｝互斥或互不相容.事件A和隨機(jī)B不能同時發(fā)生.注：.推廣：設(shè)事件滿足稱事件是兩兩互不相容的.7對立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個發(fā)生，即則事件和事件為互逆事件或?qū)α⑹录? 隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗1確定性現(xiàn)象:必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。 在正常的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時必然沸騰,向上拋一石子必然下落，異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥等 2隨機(jī)現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象.擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點,拋擲一枚均勻的硬幣，會出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.3隨機(jī)現(xiàn)象的特點：人們通過長期實踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗或觀察下，.4. 隨機(jī)試驗 為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察, 我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗, 并簡稱為試驗，記為. :1. 可重復(fù)性: 試驗可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。記的對立事件為 注:互逆事件必為互斥事件，反之，互斥事件未必為互逆事件事件的關(guān)系與運(yùn)算可用圖來直觀的表示．注: 事件的運(yùn)算滿足如下基本關(guān)系．①，② 若ＡＢ，則Ａ∪Ｂ＝Ｂ，Ａ∩Ｂ＝Ａ．③ Ａ－Ｂ＝Ａ∩＝Ａ－Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ∪（Ｂ－Ａ）．完備事件組:設(shè)是有限或可列個事件,若其滿足①②，則稱是樣本空間的一個完備事件組或一個劃分.注:與構(gòu)成一個完備事件組.四、隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律: 交換律: 結(jié)合律： 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2： 一名射手連續(xù)向某個目標(biāo)射擊三次，事件表示該射手第次射擊時擊中目標(biāo)（），試用表示下列各事件．（1）前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；（2）第一次擊中目標(biāo)而第二次未擊中目標(biāo)；（3）三次射擊中，只有第三次未擊中目標(biāo)；（4）三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)；（5）三次射擊中，至少有一次未擊中目標(biāo)；（6）三次射擊都未擊中目標(biāo)；（7）三次射擊中，至少兩次擊中目標(biāo)；（8）三次射擊中，至多一次擊中目標(biāo)解:分別用表示（1），（2），…，（8）中所給出的事件．（1）．（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8) 備講例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其他事件的運(yùn)算來表示一個事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會用不同方法表達(dá)同一事件, 特別在解決具體問題時,往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例3　如圖所示電路中，＝“燈亮”，分別表示“開關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ閉合” ，　， 　　這是因為，如果 發(fā)生，即開關(guān)Ⅰ，Ⅱ同時閉合，則整個電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以,同理如果發(fā)生，即 或 中至少一個發(fā)生，則整個電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以反之，如果Ａ發(fā)生，即燈亮，則 或中至少有一個發(fā)生，所以由事件相等的定義，課堂練習(xí)1. 設(shè)當(dāng)事件與同時發(fā)生時也發(fā)生, 則 ( C )(A) 是的子事件。(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷。 (2) 。解： ＝因為,所以,而所以練習(xí):設(shè)事件A、B的概率分別為1/1/2，求在下列三種情況下的值（1）A與B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）P（A）=1/6（3）=P（BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=3/8167。事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取2只的組合，有個．故　　事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取1只，從3只黑球中任取一只構(gòu)成的組合，共有個，故　　例3 一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，今從中隨機(jī)取4件，問其中恰有2件為次品的概率是多少? 解：設(shè)=｛從中隨機(jī)地取4件,恰有2件為次品｝10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取4件共有種取法，每種取法為一基本事件且每個基本事件發(fā)生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有種，在7件正品中取2件正品的取法有種，由乘法原理，在4件產(chǎn)品中有2件次品，2件正品的取法共有 (1/6)2在線段上任意取兩個點 B、C，在 B、C 處折斷此線段而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。問取出的3個球中頭兩個是黑球，第三個是白球的概率是多少?例 5: 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機(jī)器，．（1）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；（2）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，若已知取到的是次品，問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機(jī)器生產(chǎn)的概率是多少？解:1）設(shè)＝“取出的產(chǎn)品為次品” 又設(shè)＝“所取產(chǎn)品來自甲臺”，＝“所取產(chǎn)品來自乙臺”，＝“所取產(chǎn)品來自丙臺”．由于 ,兩兩互不相容，所以且也兩兩互不相容，于是又已知,故所求概率, 　　定理3(全概率公式)：設(shè)隨機(jī)試驗Ｅ的樣本空間為Ω，為的任意事件，是Ω的一個完備事件組，（即且兩兩互不相容），且，則　全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計算不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一完備事件組，使事件發(fā)生的概率是各事件）發(fā)生的條件下引起事件發(fā)生的概率的總和．若已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式．定理4（貝葉斯公式）　設(shè)為一完備事件組，且．則對任一事件，有例7:，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果，被診斷患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為，在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實患有該疾病的概率是多少？解　設(shè)事件＝“試驗反應(yīng)為陽性”，“被診斷者患有此疾病”，則＝“被診斷者不患有此疾病”．由已知，,　由全概率公式　　再由貝葉斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng),．一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，顧客隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回．試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率．解　設(shè)＝“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘次品”顯然， 為Ω的完備事件組，由題意，　?。ǎ保┯扇怕使降?2)由貝葉斯公式練習(xí)1:設(shè)有五個壇子，大號壇子兩個，各裝兩個白球一個黑球，中號壇子兩個，各裝三個白球一個黑球，小號壇子一個，裝有十個黑球。　事件的獨立性與伯努利概型一兩個事件的獨立性 定義1:若兩事件,滿足成立則稱事件,相互獨立, 或稱,獨立.注: (1)兩事件互不相容與相互獨立是完全不同的兩個概念，它們分別從兩個不同的角度表達(dá)了兩事件間的某種聯(lián)系，互不相容是表述在一次隨機(jī)試驗中兩事件不能同時發(fā)生，而相互獨立是表述在一次隨機(jī)試驗中一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互無影響．(2) 當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨立又互不相容.證明：，由于AB =Φ，所以但是，由題設(shè)這表明，事件 A 與 B 不相互獨立所以當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立.定理1:設(shè),是兩事件，若,相互獨立，且則．反之，或則相互獨立．證明　若相互獨立，則當(dāng)時，有 反之若則故,相互獨立定理2證:由故 注意：在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。 隨機(jī)變量 一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗的結(jié)果, 揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性, 需將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1. 在有些隨機(jī)試驗中, 試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示2. 在另一些隨機(jī)試驗中, 試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示. 例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的，可規(guī)定: 用1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上”