【正文】 床是否需要照看是相互獨(dú)立的，這樣，可根據(jù)事件的獨(dú)立性性質(zhì)及加 法公式進(jìn)行計(jì)算 。易知 是樣本空間 Ω的一個(gè)劃分，且有 （ 1）由全概率公式： （ 2）由貝葉斯公式： 。 分析 ：事件 “取出的一只晶體管是次品 ”可分解為下列三個(gè)事件的和： “這只次品是一廠提供的 ”、“這只次品是二廠提供的 ”、 “這只次品是三廠提供的 ”，這三個(gè)事件互不相容，可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算 。 根據(jù)公式 ，必須求出 . 解 ：設(shè) A ={至少有一個(gè)女孩 }， B ={至少有一個(gè)男孩 }，則 ={三個(gè)全是男孩 }， ={三個(gè)全是女孩 }，于是 ，事件為 “至少有一個(gè)女孩且至少有一個(gè)男孩 ”，因?yàn)? ，且 ，所以 ， 從而，在已知至少有一個(gè)為女孩的條件下，求至少有一個(gè)是男孩的概率為： 【例 7】某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的 .根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù) (表 11)。 【例 4】隨機(jī)地向由 0﹤ y ﹤ |x |﹤ 1/2所圍成的正方形內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在該正方形內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與 x 軸正向的夾角小于 3/4 的概率 。 分析 ：這是古典概率的一個(gè)典型問題，許多古典概率的計(jì)算問題都可歸結(jié)為這一類型 。 (4)三個(gè)盒子分別記為甲、乙、丙，將 a,b 兩只球隨機(jī)地放到 3 個(gè)盒子中去共有九種結(jié)果 。 解 ： (1) 擲一棵骰子，有六種可能結(jié)果，如果用 “1”表示 “出現(xiàn) 1 點(diǎn) ”這個(gè)樣 本點(diǎn)，其余類似 。 （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次： 1）第一次出現(xiàn)正面； 2）兩次出現(xiàn)同一面； 3）至少有一次出現(xiàn)正面 。 如袋中有 9 個(gè)白球 1 個(gè)紅球，作 不放回抽樣，每次任取一球，取 2 次，求：（ 1）第二次才取到白球的概 率；（ 2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率 。 互逆事件與互斥事件 如果兩個(gè)事件 A 與 B 必有一個(gè)事件發(fā)生，且至多有一個(gè)事件發(fā)生，則 A 、 B 為互逆事件；如果兩個(gè)事件 A 與 B 不能同時(shí)發(fā)生，則 A 、 B 為互斥事件 .因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆 .區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個(gè)事件 時(shí)，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個(gè)事件的情形 .作為互斥事件在一次試驗(yàn)中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個(gè)且只發(fā)生一個(gè) 。 以上三種貝努里試驗(yàn)統(tǒng)稱為貝努里 概型 。 （ 2）多個(gè)事件的獨(dú)立 ：設(shè) 是 n 個(gè)事件，如果對(duì)任意的 k (1﹤ k ≤n)，任意的 ， 具有等式 ，稱 n 個(gè)事件4/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》輔導(dǎo)手冊(cè) 相互獨(dú)立 。 （ 2）乘法公式 ：設(shè) ，則 稱為事件 A、 B 的概率乘法公式 。 （ 2）有限可加性 ：設(shè) 是 n 個(gè)兩兩互不相容的事件，即 ， 則有 （ 3）單調(diào)不減性 ：若事件 ，則 ，且 P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)。 （ 3）古典概率 ：若試驗(yàn)的基本事件數(shù)為有限個(gè)，且每個(gè)事件發(fā)生的可能性相等，則試驗(yàn)對(duì)應(yīng)古典概型（等可能概型），事件 A 發(fā) 生的概率為： 。 （ 4）差事件、對(duì)立事件 (余事件 )： “事件 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生 ”，記為 A－ B 稱為 A 與 B 的差事件； 稱為 B 的對(duì)立事件；易知： 。 （ 3）隨機(jī)事件 ：在一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用 A、B、 C 等大寫字母表示；可表述為樣本空間中樣本點(diǎn)的某個(gè)集合，分為復(fù)合事件和簡單事件，還有必然事件（記為 Ω）和不可能事件（記為 φ） 。內(nèi)容提要 疑難分析 事件的關(guān)系與運(yùn)算 （ 1）包含關(guān)系與相等 ： “事件 A發(fā)生必導(dǎo)致 B發(fā)生 ”，記為 或 ； 且 。 （ 5）互不相容性 ： ； A、 B 互為對(duì)立事件 且 AB 。 （ 4）幾何概率 ：若試驗(yàn)基本事件數(shù)無限，隨機(jī)點(diǎn)落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域 g 的測(cè)度 (長度、面積、體積等 )成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則試驗(yàn)對(duì)應(yīng)幾何概型， “在區(qū)域 Ω中隨機(jī)地取一點(diǎn)落在區(qū)域 g 中 ”這一事件 Ag 發(fā)生的概率為： 。 （ 4）互補(bǔ)性 ： ，且 P(A )≤1。 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 （ 1）全概率公式 ：設(shè) 是 Ω的一個(gè)劃分，且 ，則對(duì)任何事件 B∈ F，有 ，稱為全概率公式 。 貝努里 (Bernoulli)概型 （ 1）只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)，常記為 E 。 （ 4） En中成功 k 次的概率是： ， 其中 .p+q =1。 兩事件獨(dú)立與兩事件互斥 兩事件 A 、 B 獨(dú)立，則 A 與 B 中任一個(gè)事件的發(fā)生與另一個(gè)事件的發(fā)生無關(guān)，這時(shí) P(AB) =P(A)P(B)；而兩事件互斥，則其中任一個(gè)事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個(gè)事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時(shí) AB =Φ,P(AB)=0 。 問題 ： （ 1）求的就是一個(gè)積事件概率的問題，而問題（ 2）求的就是一個(gè)條件概率的問題 . 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地看作這諸多事件之和時(shí)，可考慮用全概率公式，在對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分時(shí)，一定要注意它必須滿足的兩個(gè)條件 。 （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個(gè)數(shù)中可重復(fù)地抽取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍 。 則樣本空間為： Ω={1， 2， 3， 4， 5， 6}，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的事件為： {1， 3， 5}。 若用（甲、乙）表示 “a 球放入甲盒， b 球放入乙盒 ”這一樣本點(diǎn)，其余類似 。 每個(gè)球都有 N 種放法， n 個(gè)球共有 N n 種不同的放法 。 分析 ：這是一個(gè)幾何概率問題，通?？山柚鷰缀紊系亩攘浚ㄩL度、面積、體積或容積等）來合理地規(guī)定其概率 。 表 11 設(shè) 這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合的， 且無區(qū)別的標(biāo)志 。 一般地，當(dāng)直接計(jì)算某一事件 A 的概率 P(A)比較困難，而 比較容易計(jì)算，且 時(shí) ，可考慮用全概率公式計(jì)算 。 以上結(jié)果表明，這只次品來自第二家工廠的可能性最大 。 解 ：各臺(tái)機(jī)床需要照看的事件是相互獨(dú)立的，而三臺(tái)機(jī)床至多有一臺(tái)需要照看的事件 D 可寫成：，則由加法公式與獨(dú)立性性質(zhì)得： 。 隨機(jī)變量通常用大寫字母X、 Y、 Z 等表示 。 這時(shí)分別用 φ(x)和 Φ(x)表示 X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即 。 疑難分析 隨機(jī)變量與普通函數(shù) 隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 Ω上 ，對(duì)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果 ，都有唯一的實(shí)數(shù) X (ω)與之對(duì)應(yīng) 。 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算 F (x )時(shí)， X =x 點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi) 。 有 F (x )的圖形可知是階梯形曲線，故 F (x )是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)； （ 2）由于 F (x )在 上單調(diào)下降，故不是隨 機(jī)變量的分布函數(shù) .但只要將中的 п 改為， п/2 就滿足單調(diào)不減右連續(xù)，且 ，這時(shí)就是隨機(jī)變量的分布函數(shù) .由 F (x ) 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》輔導(dǎo)手冊(cè) 11/42 可求得 。 根據(jù)號(hào)碼是 “小 于5”、 “等于 5”、 “大于 5”的三種情況，可定義該隨機(jī)變量的取值 .進(jìn)一步，可由隨機(jī)變量 的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù) 。 分析 ： 1 小時(shí)內(nèi)進(jìn)入圖書館的人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量 X ，且 X ～ P(λ ) .這樣， {X =0}表示在 1 小時(shí)內(nèi)無人進(jìn)入圖書館， {X ≥2}表示在 1小時(shí)內(nèi)至少有 2人進(jìn)入圖書館 。 他一個(gè)月要到銀行 5次，以 Y 表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出 Y 的分布律，并求 P{Y≥1}。 解 ：根據(jù)題意： ，故 ， 而 ，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》輔導(dǎo)手冊(cè) 13/42 同樣， ，而，通過反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： 由（ 1）、（ 2）兩式解得： ，所以 X ～ N (72,102 )； 已知錄用率為 ，設(shè)被錄用者中最低分為 X0，則，而 反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得： ，解得： X0 ≈ 故：被錄用者中最低分為 79 分 。 解 ： X 與 Y 的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表 27： 由表可知， Y 的取值只有 1， 0， 1 三種可能，由于 ， 所以， 的分布律為 (表 28)： 【例 8】設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布 ，求隨機(jī)變量函數(shù) 的概率密度。 分析 ：根據(jù)分布函數(shù)的定義，先求 Y=X2的分布函數(shù)，然后對(duì)其求導(dǎo)，即可得到 Y 的概率密度。 聯(lián)合分布律具有下列性質(zhì)： （ 1） ； （ 2） 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函 數(shù) 如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù) p(x, y) ,使得二 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》輔導(dǎo)手冊(cè) 15/42 維隨機(jī)變量 (X ,Y )的分布函數(shù) F (x, y)對(duì)任意實(shí)數(shù) x, y 有 ，則稱(X ,Y )是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱 p(x, y)為 X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)） 。 二維隨機(jī)變量的條件分布 （ 1）離散型隨機(jī)變量的條件分布 設(shè) (X ,Y )為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為 ： ，則當(dāng) j 固定，且時(shí)，稱 ： 為條件下隨機(jī)變量 X 的條件分布律。 同理，有 。 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 p(x, y)， Z=Φ(X ,Y )是 X ,Y 的函數(shù)，則 Z 的分布函數(shù)為 。 但是，如果 X、 Y 相互獨(dú)立，則 P{X ≤x,Y ≤y} =P{X ≤x}P{Y ≤y}。 例題解析 【例 1】設(shè)一盒內(nèi)有 2 件 次品， 3 件正品，進(jìn)行有放回的抽取和無放回的抽取 .設(shè) X 為第一次抽取所得次品個(gè)數(shù)， Y 為第二次抽取所取得次品個(gè)數(shù) .試分別求出兩種抽取下： （ 1） (X ,Y )的聯(lián)合分布律； （ 2）二維隨機(jī)變量 (X ,Y )的邊緣分布律； （ 3） X 與 Y 是否相互獨(dú)立 。 解 ： X、 Y 都服從 01 分布，分別記 （ 1）在有放回抽樣時(shí)，聯(lián)合分布律為： ，可列成表，如表 31 所示 。 （ 3）在有放回抽樣時(shí)，因?yàn)?，所以 X與 Y相互獨(dú)立；在不放回抽樣時(shí)，因?yàn)?，所以 X 與 Y不相互獨(dú)立。 解 ： （ 1）因?yàn)?，因此 C=4； （ 2）因?yàn)?， 當(dāng) 0 ﹤ y ﹤ 1,0 ﹤ x ﹤ 1 時(shí)， ，當(dāng)為其它情況時(shí) ，所以 ， ；同理 ； （ 3） 則有 ， 因此， X 與 Y相互獨(dú)立 。 分析 ：通過 (X ,Y )的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在 X =1 條件下 Y 條件分布密度。 分析 ：可按 分布函數(shù)的定義先求得 ，再進(jìn)一步求得概率密度函數(shù) ；在計(jì)算累次積分時(shí)要分各種情況進(jìn)行討論 。 數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)： （ 1）設(shè) C 是常數(shù)，則 E(C) =C ； （ 2）設(shè) C 是常數(shù)，則 E(CX )=CE(X )； （ 3）若 是隨機(jī)變量，則； 對(duì)任意 n 個(gè)隨機(jī)變量 ，有 （ 4）若 相互獨(dú)立，則 ； 對(duì)任意 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ，有 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 ，則 X 的函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望為 ，式中級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 計(jì)算方差也常用公式 ： 方差具有如下性質(zhì)： （ 1）設(shè) C 是常數(shù)，則 D(C) =0； （ 2）設(shè) C 是常數(shù)，則 D(CX ) =C 2D(X )； （ 3）若 相互獨(dú)立，則； 對(duì)任意 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ，有 （ 4） D(X ) =0 的充要條件是：存在常數(shù) C ，使 P{X =C} =1(C =E(X ))。 二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征 (1) (X ,Y )的數(shù)學(xué)期望 E(X ,Y ) =[E(X ),E(Y )]； 若 (X ,Y )是離散型隨機(jī)變量，則 。這里，級(jí)數(shù)與積分都是絕對(duì)收斂的。 相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)： 22/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》輔導(dǎo)手冊(cè) （ 1） （ 2） 存在常數(shù) a,b，使 ，即 X 與 Y以概率 1 線 性相關(guān)； （ 3）若 X ,Y 獨(dú)立，則 ，即不相關(guān)。