【正文】 床是否需要照看是相互獨立的，這樣，可根據事件的獨立性性質及加 法公式進行計算 。易知 是樣本空間 Ω的一個劃分，且有 （ 1）由全概率公式： （ 2）由貝葉斯公式： 。 分析 ：事件 “取出的一只晶體管是次品 ”可分解為下列三個事件的和： “這只次品是一廠提供的 ”、“這只次品是二廠提供的 ”、 “這只次品是三廠提供的 ”，這三個事件互不相容，可用全概率公式進行計算 。 根據公式 ，必須求出 . 解 ：設 A ={至少有一個女孩 }， B ={至少有一個男孩 }，則 ={三個全是男孩 }， ={三個全是女孩 }，于是 ，事件為 “至少有一個女孩且至少有一個男孩 ”，因為 ，且 ，所以 ， 從而，在已知至少有一個為女孩的條件下，求至少有一個是男孩的概率為： 【例 7】某電子設備制造廠所用的晶體管是由三家元件制造廠提供的 .根據以往的記錄有以下的數(shù)據 (表 11)。 【例 4】隨機地向由 0﹤ y ﹤ |x |﹤ 1/2所圍成的正方形內擲一點，點落在該正方形內任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比，求原點和該點的連線與 x 軸正向的夾角小于 3/4 的概率 。 分析 ：這是古典概率的一個典型問題，許多古典概率的計算問題都可歸結為這一類型 。 (4)三個盒子分別記為甲、乙、丙，將 a,b 兩只球隨機地放到 3 個盒子中去共有九種結果 。 解 ： (1) 擲一棵骰子，有六種可能結果，如果用 “1”表示 “出現(xiàn) 1 點 ”這個樣 本點，其余類似 。 （ 2）投擲一枚均勻硬幣兩次： 1）第一次出現(xiàn)正面； 2）兩次出現(xiàn)同一面； 3）至少有一次出現(xiàn)正面 。 如袋中有 9 個白球 1 個紅球，作 不放回抽樣，每次任取一球，取 2 次，求：（ 1）第二次才取到白球的概 率；（ 2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率 。 互逆事件與互斥事件 如果兩個事件 A 與 B 必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則 A 、 B 為互逆事件；如果兩個事件 A 與 B 不能同時發(fā)生，則 A 、 B 為互斥事件 .因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆 .區(qū)別兩者的關鍵是：當樣本空間只有兩個事件 時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形 .作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生一個 。 以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里 概型 。 （ 2）多個事件的獨立 ：設 是 n 個事件，如果對任意的 k (1﹤ k ≤n)，任意的 ， 具有等式 ，稱 n 個事件4/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 相互獨立 。 （ 2）乘法公式 ：設 ，則 稱為事件 A、 B 的概率乘法公式 。 （ 2）有限可加性 ：設 是 n 個兩兩互不相容的事件，即 ， 則有 （ 3）單調不減性 ：若事件 ，則 ，且 P(B－ A)＝ P(B)－ P(A)。 （ 3）古典概率 ：若試驗的基本事件數(shù)為有限個，且每個事件發(fā)生的可能性相等，則試驗對應古典概型（等可能概型），事件 A 發(fā) 生的概率為： 。 （ 4）差事件、對立事件 (余事件 )： “事件 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生 ”，記為 A－ B 稱為 A 與 B 的差事件； 稱為 B 的對立事件；易知： 。 （ 3）隨機事件 ：在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件，簡稱事件，常用 A、B、 C 等大寫字母表示；可表述為樣本空間中樣本點的某個集合，分為復合事件和簡單事件，還有必然事件（記為 Ω）和不可能事件（記為 φ） 。內容提要 疑難分析 事件的關系與運算 （ 1）包含關系與相等 ： “事件 A發(fā)生必導致 B發(fā)生 ”，記為 或 ； 且 。 （ 5）互不相容性 ： ； A、 B 互為對立事件 且 AB 。 （ 4）幾何概率 ：若試驗基本事件數(shù)無限，隨機點落在某區(qū)域 g 的概率與區(qū)域 g 的測度 (長度、面積、體積等 )成正比，而與其位置及形狀無關，則試驗對應幾何概型， “在區(qū)域 Ω中隨機地取一點落在區(qū)域 g 中 ”這一事件 Ag 發(fā)生的概率為： 。 （ 4）互補性 ： ，且 P(A )≤1。 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 （ 1）全概率公式 ：設 是 Ω的一個劃分，且 ，則對任何事件 B∈ F，有 ，稱為全概率公式 。 貝努里 (Bernoulli)概型 （ 1）只有兩個可能結果的試驗稱為貝努里試驗，常記為 E 。 （ 4） En中成功 k 次的概率是： ， 其中 .p+q =1。 兩事件獨立與兩事件互斥 兩事件 A 、 B 獨立，則 A 與 B 中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關，這時 P(AB) =P(A)P(B)；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時 AB =Φ,P(AB)=0 。 問題 ： （ 1）求的就是一個積事件概率的問題，而問題（ 2）求的就是一個條件概率的問題 . 全概率公式與貝葉斯 (Bayes)公式 當所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結果，而該結果又不能簡單地看作這諸多事件之和時，可考慮用全概率公式，在對樣本空間進行劃分時，一定要注意它必須滿足的兩個條件 。 （ 3）在 1， 2， 3， 4 四個數(shù)中可重復地抽取兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩倍 。 則樣本空間為： Ω={1， 2， 3， 4， 5， 6}，出現(xiàn)奇數(shù)點的事件為： {1， 3， 5}。 若用（甲、乙）表示 “a 球放入甲盒， b 球放入乙盒 ”這一樣本點，其余類似 。 每個球都有 N 種放法， n 個球共有 N n 種不同的放法 。 分析 ：這是一個幾何概率問題，通?？山柚鷰缀紊系亩攘浚ㄩL度、面積、體積或容積等）來合理地規(guī)定其概率 。 表 11 設 這三家工廠的產品在倉庫中均勻混合的， 且無區(qū)別的標志 。 一般地，當直接計算某一事件 A 的概率 P(A)比較困難，而 比較容易計算，且 時 ，可考慮用全概率公式計算 。 以上結果表明，這只次品來自第二家工廠的可能性最大 。 解 ：各臺機床需要照看的事件是相互獨立的，而三臺機床至多有一臺需要照看的事件 D 可寫成：，則由加法公式與獨立性性質得： 。 隨機變量通常用大寫字母X、 Y、 Z 等表示 。 這時分別用 φ(x)和 Φ(x)表示 X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即 。 疑難分析 隨機變量與普通函數(shù) 隨機變量是定義在隨機試驗的樣本空間 Ω上 ，對試驗的每一個可能結果 ，都有唯一的實數(shù) X (ω)與之對應 。 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計算 F (x )時， X =x 點的概率是否計算在內 。 有 F (x )的圖形可知是階梯形曲線，故 F (x )是離散型隨機變量的分布函數(shù)； （ 2）由于 F (x )在 上單調下降，故不是隨 機變量的分布函數(shù) .但只要將中的 п 改為， п/2 就滿足單調不減右連續(xù)，且 ，這時就是隨機變量的分布函數(shù) .由 F (x ) 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 11/42 可求得 。 根據號碼是 “小 于5”、 “等于 5”、 “大于 5”的三種情況，可定義該隨機變量的取值 .進一步，可由隨機變量 的分布律與分布函數(shù)的定義，求出其分布律與分布函數(shù) 。 分析 ： 1 小時內進入圖書館的人數(shù)是一個隨機變量 X ，且 X ～ P(λ ) .這樣， {X =0}表示在 1 小時內無人進入圖書館， {X ≥2}表示在 1小時內至少有 2人進入圖書館 。 他一個月要到銀行 5次，以 Y 表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數(shù)，寫出 Y 的分布律，并求 P{Y≥1}。 解 ：根據題意： ，故 ， 而 ，反查標準正態(tài)分布表，得： 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 13/42 同樣， ，而，通過反查標準正態(tài)分布表，得： 由（ 1）、（ 2）兩式解得： ，所以 X ～ N (72,102 )； 已知錄用率為 ，設被錄用者中最低分為 X0，則，而 反查標準正態(tài)分布表，得： ，解得： X0 ≈ 故：被錄用者中最低分為 79 分 。 解 ： X 與 Y 的對應關系如下表 27： 由表可知， Y 的取值只有 1， 0， 1 三種可能，由于 ， 所以， 的分布律為 (表 28)： 【例 8】設隨機變量 X 服從正態(tài)分布 ，求隨機變量函數(shù) 的概率密度。 分析 ：根據分布函數(shù)的定義，先求 Y=X2的分布函數(shù)，然后對其求導，即可得到 Y 的概率密度。 聯(lián)合分布律具有下列性質： （ 1） ； （ 2） 二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函 數(shù) 如果存在一個非負函數(shù) p(x, y) ,使得二 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 15/42 維隨機變量 (X ,Y )的分布函數(shù) F (x, y)對任意實數(shù) x, y 有 ，則稱(X ,Y )是二維連續(xù)型隨機變量，稱 p(x, y)為 X ,Y )的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)） 。 二維隨機變量的條件分布 （ 1）離散型隨機變量的條件分布 設 (X ,Y )為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律和邊緣分布律分別為 ： ，則當 j 固定，且時，稱 ： 為條件下隨機變量 X 的條件分布律。 同理，有 。 兩個隨機變量函數(shù)的分布 設二維隨機變量 (X ,Y )的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 p(x, y)， Z=Φ(X ,Y )是 X ,Y 的函數(shù)，則 Z 的分布函數(shù)為 。 但是，如果 X、 Y 相互獨立，則 P{X ≤x,Y ≤y} =P{X ≤x}P{Y ≤y}。 例題解析 【例 1】設一盒內有 2 件 次品， 3 件正品，進行有放回的抽取和無放回的抽取 .設 X 為第一次抽取所得次品個數(shù)， Y 為第二次抽取所取得次品個數(shù) .試分別求出兩種抽取下： （ 1） (X ,Y )的聯(lián)合分布律； （ 2）二維隨機變量 (X ,Y )的邊緣分布律； （ 3） X 與 Y 是否相互獨立 。 解 ： X、 Y 都服從 01 分布，分別記 （ 1）在有放回抽樣時，聯(lián)合分布律為： ，可列成表，如表 31 所示 。 （ 3）在有放回抽樣時，因為 ，所以 X與 Y相互獨立；在不放回抽樣時，因為 ，所以 X 與 Y不相互獨立。 解 ： （ 1）因為 ，因此 C=4； （ 2）因為 ， 當 0 ﹤ y ﹤ 1,0 ﹤ x ﹤ 1 時， ，當為其它情況時 ，所以 ， ；同理 ； （ 3） 則有 ， 因此， X 與 Y相互獨立 。 分析 ：通過 (X ,Y )的聯(lián)合密度和邊緣密度函數(shù)，來求在 X =1 條件下 Y 條件分布密度。 分析 ：可按 分布函數(shù)的定義先求得 ，再進一步求得概率密度函數(shù) ；在計算累次積分時要分各種情況進行討論 。 數(shù)學期望有如下性質： （ 1）設 C 是常數(shù)，則 E(C) =C ； （ 2）設 C 是常數(shù)，則 E(CX )=CE(X )； （ 3）若 是隨機變量，則； 對任意 n 個隨機變量 ，有 （ 4）若 相互獨立，則 ； 對任意 n 個相互獨立的隨機變量 ，有 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 設離散型隨機變量 X 的分布律為 ，則 X 的函數(shù) 的數(shù)學期望為 ，式中級數(shù)絕對收斂。 計算方差也常用公式 ： 方差具有如下性質： （ 1）設 C 是常數(shù)，則 D(C) =0； （ 2）設 C 是常數(shù)，則 D(CX ) =C 2D(X )； （ 3）若 相互獨立，則； 對任意 n 個相互獨立的隨機變量 ，有 （ 4） D(X ) =0 的充要條件是：存在常數(shù) C ，使 P{X =C} =1(C =E(X ))。 二維隨機變量的數(shù)字特征 (1) (X ,Y )的數(shù)學期望 E(X ,Y ) =[E(X ),E(Y )]； 若 (X ,Y )是離散型隨機變量，則 。這里，級數(shù)與積分都是絕對收斂的。 相關系數(shù)具有如下性質： 22/42 《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》輔導手冊 （ 1） （ 2） 存在常數(shù) a,b，使 ，即 X 與 Y以概率 1 線 性相關； （ 3）若 X ,Y 獨立，則 ，即不相關。