【正文】 三、是連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù), 則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:例2:設(shè)隨機(jī)變量,證明的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布.證 記的分布函數(shù)為若,將對求導(dǎo),得的概率密度為 又的概率密度為所以若對求導(dǎo),得的概率密度為 故即服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布特別上例中則得例3：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有概率密度求 的概率密度解： (1) 先求 的分布函數(shù) 例如,設(shè) X～N(0,1),其概率密度為：則 的概率密度為：定理1 設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有), 則是一個連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為 其中是的反函數(shù), 且證明：單調(diào)增加,它的反函數(shù)存在且在嚴(yán)格單調(diào)增加, 例4 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布, 求的概率密度函數(shù).解 在區(qū)間 (0, 1) 上，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)故 嚴(yán)格單調(diào)增加,且具有反函數(shù)又故的概率密度函數(shù)由已知 在上服從均勻分布，代入的表達(dá)式中練習(xí)1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為,求的概率密度.解：(1) 先求 的分布函數(shù)：整理得 的概率密度為：2設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布, 求的概率密度解：在區(qū)間上，函數(shù)，故 于是 在區(qū)間上單調(diào)下降，有反函數(shù)由前述定理，得已知 在 上服從均勻分布，代入的表達(dá)式中即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。反之,如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型.例2設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.解 由于圖形是一個階梯型曲線, 故知是一個離散型隨機(jī)變量, 的跳躍點分別為對應(yīng)的跳躍高度分別為 9/19, 6/19, 4/19, 如圖.故X的概率分布為 例3：一個靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：1） 若 則 是不可能事件，于是 3） 若 , 則 是必然事件，于是第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義 如果對隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)函數(shù),使得對于任意實數(shù)有 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為的概率密度函數(shù),簡稱為概率密度或密度函數(shù).概率密度性質(zhì)： 關(guān)于概率密度的說明1. 對一個連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù), 同時, 還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2. 連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0. 因注： ，概率為1的事件也不一定是必然事件。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。167。練習(xí)3設(shè)有 80 臺同類型的設(shè)備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是 ，： 其一，由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20 臺 其二，由 3 人,共同維護(hù) 80 臺.試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小.解：按第一種方法. 以 X 記 “第 1 人負(fù)責(zé)的 20 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則 X ～B(20，）.以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺中發(fā)生故障不能及時維修”， 則 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：按第二種方法. 以 Y 記 80 臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)， 則 Y～B(80，）. 故 80 臺中發(fā)生故障而不能及時維修的概率為：第二種方法中發(fā)生故障而不能及時維修的概率小，且維修工人減少一人。 2隨機(jī)變量的特征 1) 它是一個變量， 2) 它的取值隨試驗結(jié)果而改變3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個隨機(jī)事件，具有一定的概率 三、引入隨機(jī)變量的意義 隨機(jī)變量的引入,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機(jī)現(xiàn)象,. 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對隨機(jī)試驗的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.四、隨機(jī)變量的類型隨機(jī)變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量. 離散型：隨機(jī)變量的所有取值是有限個或可列個連續(xù)性：隨即變量的取值是某個區(qū)間或整個數(shù)軸167。 隨機(jī)變量 一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗的結(jié)果, 揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性, 需將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來.1. 在有些隨機(jī)試驗中, 試驗的結(jié)果本身就由數(shù)量來表示.例如: 在擲骰子試驗中,結(jié)果可用1,2,3,4,5,6來表示2. 在另一些隨機(jī)試驗中, 試驗結(jié)果看起來與數(shù)量無關(guān),但可以指定一個數(shù)量來表示. 例如: 擲硬幣試驗,其結(jié)果是用漢字“正面”和“反面”來表示的，可規(guī)定: 用1表示 “正面朝上” 用 0 表示“反面朝上” 二、隨機(jī)變量的定義1定義 設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為, 對每個,都有一個實數(shù)與之對應(yīng),.隨機(jī)變量通常用英文大寫字母或希臘字母等表示。例1:從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記“抽到”，“抽到的牌是黑色的”，判斷事件是否獨立？解:利用定義判斷，由得到故事相互獨立．例2：甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，.解 ： 設(shè)表示“甲擊中目標(biāo)”，表示“乙擊中目標(biāo)”, 則，二、有限個事件的獨立性定義2　設(shè)是三個事件，如果滿足等式 ．則稱事件相互獨立．定義3　設(shè)是個事件，如果其中任意2個，任意3個，…，任意個事件之積的概率，都等于各事件的概率之積，則稱事件相互獨立．另外，稱無窮多個事件相互獨立，是指其中任意有限多個事件都相互獨立．或定義4設(shè)是個事件，若其中任意兩個事件均相互獨立，則稱兩兩相互獨立．可見個事件相互獨立，可推得個事件兩兩相互獨立，反之未必.多個相互獨立事件具有如下性質(zhì)：性質(zhì)１　若事件相互獨立，則其中任意個事件也相互獨立．性質(zhì)2　若事件相互獨立，則將中任意個事件換成它們的對立事件，所得的個事件仍相互獨立．特別是，若相互獨立，則也相互獨立．利用多個事件的獨立性，可以簡化概率的計算．（1）計算個相互獨立的事件 的積的概率，可簡化為(2)計算個相互獨立的事件 的和的概率，可簡化為 證明: 例3　一個人看管三臺機(jī)床，設(shè)各臺機(jī)床在任一時刻正常工作的概率分別,，求在任一時刻，（1）三臺機(jī)床都正常工作的概率；（2）三臺機(jī)床中至少有一臺正常工作的概率．解:三臺機(jī)床工作正常與否是相互獨立的，記 “第臺機(jī)床正常工作”（），則（1）所求概率為　?。?）所求概率為 例4　在圖1－4所示的開關(guān)電路中，開關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的開（或關(guān)）的概率均獨立地等于 求事件“燈亮”的概率．解:設(shè) 分別表示開關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ關(guān)閉，記＝“燈亮”，則，故所求概率為三、伯努利概型在概率論中，只考慮兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗稱為伯努利試驗．為方便起見，將兩個可能結(jié)果說成事件發(fā)生或事件不發(fā)生，記 將伯努利試驗在相同條件下獨立地重復(fù)進(jìn)行次，稱這一串重復(fù)的獨立試驗為重伯努利試驗，或簡稱為伯努利概型．重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實際問題中應(yīng)用廣泛，特點是事件在每次試驗中發(fā)生的概率均為，且不受其他各次試驗中是否發(fā)生的影響．對于伯努利概型，主要研究次試驗中事件發(fā)生次的概率．定理3（伯努利定理）　設(shè)在一次試驗中，事件A發(fā)生的概率為則在重伯努利試驗中，事件恰好發(fā)生次的概率為證明　在重伯努利試驗中，由于各次試驗是相互獨立進(jìn)行的，因此事件在指定的次試驗中發(fā)生，其余次試驗中均不發(fā)生（比如在前次試驗中發(fā)生，在后次試驗中均不發(fā)生）的概率為由于這樣的指定方式共有種，根據(jù)概率的加法公式可得．在次試驗中發(fā)生次的概率為　　定理4:設(shè)在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為，則在伯努利試驗序列中，事件在第k次試驗中才首次發(fā)生的概率為證明　“事件在第次試驗中首次發(fā)生”等價于“事件在前次試驗中均不發(fā)生而第次試驗中發(fā)生”，故所求的概率例5　一袋中裝有10只球，其中3只黑球，7只白球，每次從中隨意取出一球，取后放回．（1）如果共取10次，求10次中恰好3次取到黑球的概率及10次中能取到黑球的概率；（2）如果未取到黑球就一直取下去，直到取到黑球為止，求恰好要取3次的概率及至少要取3次的概率．解:設(shè)“第ｉ次取到黑球”，則（1）設(shè)＝“10次中能取到黑球”， “10次中恰好取到ｋ次黑球”，于是10次中恰好3次取到黑球的概率10次中能取到黑球的概率 （2）設(shè)＝“恰好要取3次”＝“至少要取3次”，則所求概率為 　例6　，問最少需要進(jìn)行多少次試驗，？解：設(shè)最少需要進(jìn)行次獨立重復(fù)試驗，則在次試驗中事件至少發(fā)生一次的概率為解得所以練習(xí) 1三人獨立地去破譯一份密碼, 已知每個人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4?！∈录莫毩⑿耘c伯努利概型一兩個事件的獨立性 定義1:若兩事件,滿足成立則稱事件,相互獨立, 或稱,獨立.注: (1)兩事件互不相容與相互獨立是完全不同的兩個概念，它們分別從兩個不同的角度表達(dá)了兩事件間的某種聯(lián)系，互不相容是表述在一次隨機(jī)試驗中兩事件不能同時發(fā)生，而相互獨立是表述在一次隨機(jī)試驗中一事件是否發(fā)生與另一事件是否發(fā)生互無影響．(2) 當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立. 但與既相互獨立又互不相容.證明：，由于AB =Φ，所以但是，由題設(shè)這表明，事件 A 與 B 不相互獨立所以當(dāng),時, ,相互獨立與,互不相容不能同時成立.定理1:設(shè),是兩事件，若,相互獨立，且則．反之，或則相互獨立．證明　若相互獨立，則當(dāng)時，有 反之若則故,相互獨立定理2證:由故 注意：在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義來加以判斷的。每天早上機(jī)器開動時，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。例6:某工廠有甲、乙、丙三臺機(jī)器，．（1）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，求所取產(chǎn)品為次品的概率；（2）從所有產(chǎn)品中隨機(jī)取一件，若已知取到的是次品，問此次品分別是由甲、乙、丙三臺機(jī)器生產(chǎn)的概率是多少？解:1）設(shè)＝“取出的產(chǎn)品為次品” 又設(shè)＝“所取產(chǎn)品來自甲臺”，＝“所取產(chǎn)品來自乙臺”，＝“所取產(chǎn)品來自丙臺”．由于 ,兩兩互不相容，所以且也兩兩互不相容，于是又已知,故所求概率, 　　定理3(全概率公式)：設(shè)隨機(jī)試驗Ｅ的樣本空間為Ω，為的任意事件，是Ω的一個完備事件組，（即且兩兩互不相容），且，則　全概率公式說明，在復(fù)雜情況下直接計算不易時，可根據(jù)具體情況構(gòu)造一完備事件組，使事件發(fā)生的概率是各事件）發(fā)生的條件下引起事件發(fā)生的概率的總和．若已經(jīng)觀察到一個事件已經(jīng)發(fā)生，再來研究事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性的大小，就需要給出貝葉斯公式．定理4（貝葉斯公式）　設(shè)為一完備事件組，且．則對任一事件，有例7:，據(jù)以往記錄，某種診斷該疾病的試驗具有如下效果，被診斷患有該疾病的人試驗反應(yīng)為陽性的概率為，在普查中發(fā)現(xiàn)某人試驗反應(yīng)為陽性，問他確實患有該疾病的概率是多少？解　設(shè)事件＝“試驗反應(yīng)為陽性”，“被診斷者患有此疾病”，則＝“被診斷者不患有此疾病”．由已知，,　由全概率公式　　再由貝葉斯公式，所求概率例8:玻璃杯成箱出售，每箱20只，假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率相應(yīng),．一顧客欲買一箱玻璃杯，在購買時，顧客隨機(jī)地查看4只，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回．試求：（1）顧客買下該箱玻璃杯的概率；（2）在顧客買下的一箱玻璃杯中，確實沒有殘次品的概率．解　設(shè)＝“顧客買下該箱玻璃杯” “箱中恰有只殘次品”顯然， 為Ω的完備事件組，由題意，　?。ǎ保┯扇怕使降?2)由貝葉斯公式練習(xí)1:設(shè)有五個壇子，大號壇子兩個，各裝兩個白球一個黑球，中號壇子兩個，各裝三個白球一個黑球，小號壇子一個，裝有十個黑球。 解：以表示事件“透鏡第次落下打破”，以表示事件“透鏡落下三次而未打破”，有：三、全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式是概率論中的一個基本公式。問取出的3個球中頭兩個是黑球，第三個是白球的概率是多少?例 5: 設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落 下時打破的概率為 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為 7/10 ,若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為 9/10 。 條件概率例1:兩臺機(jī)器加工同一種產(chǎn)品，共100件，第一臺機(jī)器加工合格品數(shù)為35件，次品數(shù)為5件，第二臺機(jī)器加工合格品數(shù)為50件，次品數(shù)為10件．若從100件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知取到的是第一臺機(jī)器加工的產(chǎn)品，問它是合格品的概率是多少．解　令Ａ＝“取到產(chǎn)品是第一臺機(jī)器加工的”，Ｂ＝“取到產(chǎn)品為合格品”，于是所求概率是事件Ａ發(fā)生的條件下事件Ｂ發(fā)生的概率，所以稱它為Ａ發(fā)生的條件下Ｂ發(fā)生的條件概率，并記作可以用古典概型計算．因為取到的是第一臺機(jī)器加工的