20xx年浙江省高考數(shù)學試卷-資料下載頁
2025-04-16 12:19本頁面
【正文】 （0，1，1），設直線CE與平面PBC所成角為θ，則sinθ=|cos＜＞|===．∴直線CE與平面PBC所成角的正弦值為．【點評】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題． 20．（15分）已知函數(shù)f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的導函數(shù)；（2）求f（x）在區(qū)間[，+∞）上的取值范圍．【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，注意運用復合函數(shù)的求導法則，即可得到所求；（2）求出f（x）的導數(shù)，求得極值點，討論當＜x＜1時，當1＜x＜時，當x＞時，f（x）的單調(diào)性，判斷f（x）≥0，計算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），導數(shù)f′（x）=（1﹣??2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的導數(shù)f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0時，x=1或，當＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當1＜x＜時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x＞時，f′（x）＜0，f（x）遞減，且x≥?x2≥2x﹣1?（x﹣1）2≥0，則f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值為e，最小值為f（1）=0．則f（x）在區(qū)間[，+∞）上的取值范圍是[0，e]．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，正確求導是解題的關鍵，屬于中檔題． 21．（15分）如圖，已知拋物線x2=y，點A（﹣，），B（，），拋物線上的點P（x，y）（﹣＜x＜），過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．（Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍；（Ⅱ）求|PA|?|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）通過點P在拋物線上可設P（x，x2），利用斜率公式結合﹣＜x＜可得結論；（Ⅱ）通過（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，設直線AP的斜率為k，聯(lián)立直線AP、BP方程可知Q點坐標，進而可用k表示出、計算可知|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通過令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求導結合單調(diào)性可得結論．【解答】解：（Ⅰ）由題可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以kAP==x﹣∈（﹣1，1），故直線AP斜率的取值范圍是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），設直線AP的斜率為k，則AP：y=kx+k+，BP：y=﹣x++，聯(lián)立直線AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因為=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|?|PQ|=?=+=（1+k）3（k﹣1），所以|PA|?|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，則f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于當﹣1＜x＜﹣時f′（x）＞0，當＜x＜1時f′（x）＜0，故f（x）max=f（）=，即|PA|?|PQ|的最大值為．【點評】本題考查圓錐曲線的最值問題，考查運算求解能力，考查函數(shù)思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 22．（15分）已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），證明：當n∈N*時，（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）≤xn≤．【分析】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法即可證明，（Ⅱ）構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，即可證明，（Ⅲ）由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2（﹣）＞0，繼續(xù)放縮即可證明【解答】解：（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：xn＞0，當n=1時，x1=1＞0，成立，假設當n=k時成立，則xk＞0，那么n=k+1時，若xk+1＜0，則0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，故xn+1＞0，因此xn＞0，（n∈N*）∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1，因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），記函數(shù)f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0∴f′（x）=+ln（1+x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）≥f（0）=0，因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，故2xn+1﹣xn≤；（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1，∴xn≥，由≥2xn+1﹣xn得﹣≥2（﹣）＞0，∴﹣≥2（﹣）≥…≥2n﹣1（﹣）=2n﹣2，∴xn≤，綜上所述≤xn≤．【點評】本題考查了數(shù)列的概念，遞推關系，數(shù)列的函數(shù)的特征，導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，不等式的證明，考查了推理論證能力，分析解決問題的能力，運算能力，放縮能力，運算能力，屬于難題 參與本試卷答題和審題的老師有：qiss；whg；豫汝王世崇；銘灝2016；zlzhan；沂蒙松；maths；742048；cst；雙曲線（排名不分先后）菁優(yōu)網(wǎng)2017年6月9日第26頁（共26頁）
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