數(shù)學(xué)平面解析幾何階段質(zhì)量檢測(cè)-資料下載頁(yè)
2025-04-04 04:27本頁(yè)面
【正文】 分14分)已知A、B、D三點(diǎn)不在一條直線上，且A(－2,0)，B(2,0)，||＝2，＝(＋)．(1)求E點(diǎn)的軌跡方程；(2)過(guò)A作直線交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線MN與E點(diǎn)的軌跡相切，求橢圓的方程．解：(1)設(shè)E(x，y)，由＝(＋)，可知E為線段BD的中點(diǎn)，又因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)E是△ABD的中位線，所以||＝||＝1，所以E點(diǎn)在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，又因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)不在一條直線上，所以E點(diǎn)不能在x軸上，所以E點(diǎn)的軌跡方程是x2＋y2＝1(y≠0)．(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，中點(diǎn)為(x0，y0)，橢圓的方程為＋＝1，直線MN的方程為y＝k(x＋2)(當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不成立)，由于直線MN與圓x2＋y2＝1(y≠0)相切，所以＝1，解得k＝177。，所以直線MN的方程為y＝177。(x＋2)，將直線y＝177。(x＋2)代入方程＋＝1，整理可得：4(a2－3)x2＋4a2x＋16a2－3a4＝0，所以x0＝＝－.又線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，即x0＝－＝－，解得a＝2.故所求的橢圓方程為＋＝1.20． (本小題滿分14分)(2010東北四市模擬)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|＝8，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，定點(diǎn)為M(4,0)，直線PM交曲線C于另外一點(diǎn)Q.(1)求曲線C的方程；(2)求△OPQ面積的最大值．解：(1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，則＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，∵＝，∴∴a＝x，b＝y(tǒng).又|AB|＝＝8，∴＋＝1.∴曲線C的方程為＋＝1.(2)由(1)可知，M(4,0)為橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)，設(shè)直線PM方程為x＝my＋4，由消去x得(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，∴|yP－yQ|＝＝.∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2＝＝＝≤＝，當(dāng)＝，即m＝177。時(shí)，△OPQ的面積取得最大值為，此時(shí)直線方程為3x177。y－12＝0. 10
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