【正文】 )已知方程 x2＋ y2＋ 2kx＋ 4y＋ 3k＋ 8＝ 0表 示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù) k的取值范圍是 ___________． 解析：由 (2k)2＋ 42－ 4(3k＋ 8)＝ 4(k2－ 3k－ 4)0， 解得 k－ 1或 k4. 答案： k－ 1或 k4 答案：－ 1a1 3．若點(diǎn) (2a， a＋ 1)在圓 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的內(nèi)部，則 a的取值 范圍是 _______. 解析： ∵ 點(diǎn) (2a， a＋ 1)在圓 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的內(nèi)部， ∴ (2a)2＋ a25，解得－ 1a1. 4．以線段 AB： x＋ y－ 2＝ 0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為 ____. 解析： ∵ 易得線段的中點(diǎn)即圓心為 ( 1,1) ，線段的端點(diǎn)為( 0,2) 、 ( 2,0) ， ∴ 圓的半徑為 r ＝ 2 ， ∴ 圓的方程為 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2. 答案： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 5． (教材習(xí)題改編 )經(jīng)過圓 (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2的圓心，且 與直線 2x＋ y＝ 0垂直的直線方程是 ______________． 解析： 圓心為 (1 ，－ 1) ，所求直線的斜率為12，所以直線方程為 y ＋ 1 ＝12( x － 1) ，即 x － 2 y － 3 ＝ 0. 答案： x－ 2y－ 3＝ 0 求圓的方程 [例 1] (1)經(jīng)過點(diǎn) A(5,2)， B(3，－ 2)，且圓心在直線 2x－ y－ 3＝ 0上的圓的方程為 ______________． (2)已知圓 C的圓心是直線 x－ y＋ 1＝ 0與 x軸的交點(diǎn)，且圓 C與直線 x＋ y＋ 3＝ 0相切，則圓 C的方程為 ________． [ 自主解答 ] (1) 法一： 由題知 kAB＝ 2 ， A ， B 的中點(diǎn)為 (4,0) ，設(shè)圓心為 C ( a ， b ) ． ∵ 圓過 A (5,2) ， B (3 ，－ 2) 兩點(diǎn)， ∴ 圓心一定在線段 AB 的垂直平分線上． 則????? ba － 4＝－12，2 a － b － 3 ＝ 0 ，解得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1.∴ C (2,1) ， r ＝ | CA |＝ ? 5 － 2 ?2＋ ? 2 － 1 ?2＝ 10 . ∴ 所求圓的方程為 ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝ 10. 法二： 設(shè)圓的方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2， 則????? 2 a － b － 3 ＝ 0 ，? 5 － a ?2＋ ? 2 － b ?2＝ r2，? 3 － a ?2＋ ? － 2 － b ?2＝ r2， 解得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1 ，r ＝ 10 ， 故圓的方程為 ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝ 10. 法三： 設(shè)圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D2＋ E2－ 4 F 0) ， 則??????? 25 ＋ 4 ＋ 5 D ＋ 2 E ＋ F ＝ 0 ，9 ＋ 4 ＋ 3 D － 2 E ＋ F ＝ 0 ，2 ??????－D2＋E2－ 3 ＝ 0 ， 解得 D ＝－ 4 ， E ＝－ 2 ， F ＝－ 5. ∴ 所求圓的方程為 x2＋ y2－ 4 x － 2 y － 5 ＝ 0. ( 2) 根據(jù)題意可知圓心坐標(biāo)為 ( － 1,0) ，圓的半徑長為|－ 1 ＋ 0 ＋ 3|2＝ 2 ，故所求圓 C 的方程為 ( x ＋ 1)2＋ y2＝ 2. [答案 ] (1)x2＋ y2－ 4x－ 2y－ 5＝ 0(或 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝10) (2)(x＋ 1)2＋ y2＝ 2 ————— ———————————— —————————————————————————— 求圓的方程的兩種方法 求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．若條件中圓心坐標(biāo)明確時(shí)，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時(shí)，常設(shè)為一般方程． 1．求下列圓的方程： (1)圓心在直線 y＝－ 4x上，且與直線 l： x＋ y－ 1＝ 0相切于點(diǎn)P(3，－ 2)； (2)過三點(diǎn) A(1,12)， B(7,10)， C(－ 9,2)． 解： ( 1) 法一： 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2. 則有??????? b ＝－ 4 a ，? 3 － a ?2＋ ? － 2 － b ?2＝ r2，| a ＋ b － 1|2＝ r ， 解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 4 ， r ＝ 2 2 . 故所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y ＋ 4)2＝ 8. 法二： 過切點(diǎn)且與 x ＋ y － 1 ＝ 0 垂直的直線為 y ＋ 2 ＝ x － 3. 與 y ＝－ 4 x 聯(lián)立可得圓心為 (1 ，－ 4) ， 所以半徑 r ＝ ? 1 － 3 ?2＋ ? － 4 ＋ 2 ?2＝ 2 2 . 故所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y ＋ 4)2＝ 8. (2) 法一： 設(shè)圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0. 則????? 1 ＋ 144 ＋ D ＋ 12 E ＋ F ＝ 0 ，49 ＋ 100 ＋ 7 D ＋ 10 E ＋ F ＝ 0 ，81 ＋ 4 － 9 D ＋ 2 E ＋ F ＝ 0 ， 解得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 95 ， 所以所求圓的方程為 x2＋ y2－ 2 x － 4 y － 95 ＝ 0. 法二： 由 A (1,12) ， B (7,10) 得 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 (4,1 1) ， kAB＝－13，則 AB 的中垂線方程為 3 x － y － 1 ＝ 0. 同理得 AC 的中垂線方程為 x ＋ y － 3 ＝ 0. 聯(lián)立????? 3 x － y － 1 ＝ 0 ，x ＋ y － 3 ＝ 0 ，得????? x ＝ 1 ，y ＝ 2 ， 即圓心坐標(biāo)為 (1,2) ，半徑 r ＝ ? 1 － 1 ?2＋ ? 2 － 12 ?2＝ 10 ， 所以所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y － 2)2＝ 100. 與圓有關(guān)的最值問題 [例 2] 已知實(shí)數(shù) x、 y滿足方程 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝ 0，求： (1) yx 的最大值和最小值； (2)y－ x的最大值和最小值； (3)x2＋ y2的最大值和最小值． [ 自主解答 ] ( 1) 原方程可化為 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 ，表示以( 2,0) 為圓心， 3 為半徑的圓，yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)yx＝ k ，即 y ＝ kx . 當(dāng)直線 y ＝ kx 與圓相切時(shí)，斜率 k 取最大值或最小值，此時(shí)|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k ＝ 177。 3 . 所以yx的最大值為 3 ，最小值為－ 3 . (2) y － x 可看作是直線 y ＝ x ＋ b 在 y 軸上的截距，當(dāng)直線y ＝ x ＋ b 與圓相切時(shí)，縱截距 b 取得最大值或最小值，此時(shí)|2 － 0 ＋ b |2＝ 3 ，解得 b ＝－ 2177。 6 . 所以 y － x 的最大值為－ 2 ＋ 6 ，最小值為－ 2 － 6 . (3) x2＋ y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值． 又圓心到原點(diǎn)的距離為 ? 2 － 0 ?2＋ ? 0 － 0 ?2＝ 2 ， 所以 x2＋ y2的最大值是 (2 ＋ 3 )2＝ 7 ＋ 4 3 ， x2＋ y2的最小值是 (2 － 3 )2＝ 7 － 4 3 . 保持本例條件不變，求點(diǎn) P(x， y)到直線 3x＋ 4y＋ 12＝ 0的距離的最大值和最小值． 解： ∵ 圓心 (2,0) 到直線 3 x ＋ 4 y ＋ 12 ＝ 0 的距離為 d ＝|6 ＋ 12|5＝185， ∴ P ( x ， y ) 到直線 3 x ＋ 4 y ＋ 12 ＝ 0 的距離的最大值為185＋ 3 ，最小值為185－ 3 . ————— ———————————— 與圓有關(guān)的最值問題及解決方法 (1) 形如 u ＝y(tǒng) － bx － a型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為定點(diǎn) ( a ， b )與圓上的動(dòng)點(diǎn) ( x ， y ) 的斜率的最值問題； (2)形如 t＝ ax＋ by型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題； (3)形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最值問題． 2 ．由方程 x 2 ＋ y 2 ＋ x ＋ ( m － 1) y ＋ 12 m 2 ＝ 0 所確定的圓中， 最 大面積是多少？ 解： 由題意知， r2＝1 ＋ ? m － 1 ?2－ 4 12m24＝－ m2－ 2 m ＋ 24， 所以當(dāng) m ＝－ 1 時(shí)， r2m a x ＝34，所以 S m a x ＝ π r2＝34π. 與圓有關(guān)的軌跡問題 [例 3] 已知圓 x2＋ y2＝ 4上一定點(diǎn) A(2,0)， B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)， P， Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)． (1)求線段 AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若 ∠ PBQ＝ 90176。 ，求線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [自主解答 ] (1)設(shè) AP的中點(diǎn)為 M(x， y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知， P點(diǎn)坐標(biāo)為 (2x－ 2,2y)． 因?yàn)?P點(diǎn)在圓 x2＋ y2＝ 4上，所以 (2x－ 2)2＋ (2y)2＝ 4. 故線段 AP中點(diǎn)的軌跡方程為 (x－ 1)2＋ y2＝ 1. (2)設(shè) PQ的中點(diǎn)為 N(x， y)在 Rt△ PBQ中， |PN|＝ |BN|，設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 ON，則 ON⊥ PQ，所以 |OP|2＝|ON|2＋ |PN|2＝ |ON|2＋ |BN|2， 所以 x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 4. 故線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 x2＋ y2－ x－ y－ 1＝ 0. ————— ———————————— ———————————————————————— 求軌跡方程的一般步驟 (1)建系設(shè)點(diǎn)：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 (x， y)； (2)列式：列出幾何等式； (3)坐標(biāo)化：用坐標(biāo)表示得到方程； (4)化簡：化簡幾何等式得到的方程； (5)證明作答：除去不合題意的點(diǎn)，作答． 3．如圖，已知點(diǎn) A(－ 1,0)與點(diǎn) B(1,0)， C是 圓 x2＋ y2＝ 1上的動(dòng)點(diǎn)，連接 BC并延長 至 D，使得 |CD|＝ |BC|，求 AC與 OD的交 點(diǎn) P的軌跡方程． 解： 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P ( x ， y ) ，由題意可知 P 是 △ ABD 的重心． 由 A ( － 1,0) ， B (1,0) ，令動(dòng)點(diǎn) C ( x0， y0) ， 則 D (2 x0－ 1,2 y0) ，由重心坐標(biāo)公式： ????? x ＝－ 1 ＋ 1 ＋ 2 x0－ 13，y ＝2 y03，則????? x0＝3 x ＋ 12，y0＝3 y2? y0≠ 0 ? ， 代入 x2＋ y2