【正文】 ????? 14 ? 3 k － 1 ?k ＋ 2 ??????13 k 32，26 －18k ??????32≤ k 3 . ( 2) 若要直線 y ＝ kx 平分四邊形 O A B C 的面積，由 ( 1) ，知只需14 ? 3 k － 1 ?k ＋ 2＝ 10 ，解得 k ＝1716. 1．記直線 (m＋ 2)x＋ 3my＋ 1＝ 0與直線 (m－ 2)x＋ (m＋ 2)y－ 3＝ 0相互垂直時 m的取值集合為 M，直線 x＋ ny＋ 3＝ 0與直線 nx＋ 4y＋ 6＝ 0平行時 n的取值集合為 N，則 M∪ N＝ ________. 解析：當直線 (m＋ 2)x＋ 3my＋ 1＝ 0與直線 (m－ 2)x＋ (m＋ 2)y－ 3＝ 0相互垂直時， m滿足 (m＋ 2)(m－ 2)＋ 3m(m＋ 2)＝ 0，解得 m＝或 m＝－ 2， 故 M ＝??????－ 2 ，12； 直線 x ＋ ny ＋ 3 ＝ 0 與直線 nx ＋ 4 y ＋ 6 ＝ 0 平行，當 n ＝ 0時，顯然兩直線不平行；當 n ≠ 0 時，兩直線平行的充要條件是1n＝n4≠36，即 n ＝－ 2 ，所以 N ＝ { － 2} ． 故 M ∪ N ＝??????－ 2 ，12. 答案：??????－ 2 ，12 2．已知 A(3,1)、 B(－ 1,2)，若 ∠ ACB的平分線在 y＝ x＋ 1上， 則 AC所在直線方程是 ________． 解析： 設(shè)點 A 關(guān)于直線 y ＝ x ＋ 1 對稱的點 A ′ 為 ( x0， y0) ， 則????? y0－ 1x0－ 3＝－ 1 ，y0＋ 12＝x0＋ 32＋ 1 ，解得????? x0＝ 0 ，y0＝ 4 ， 即 A ′ ( 0 ,4) ． 故直線 A ′ B 的方程為 2 x － y ＋ 4 ＝ 0. 由????? 2 x － y ＋ 4 ＝ 0 ，y ＝ x ＋ 1 ，得????? x ＝－ 3 ，y ＝－ 2 ， 即 C ( － 3 ，－ 2) ． 故直線 AC 的方程為 x － 2 y － 1 ＝ 0. 答案： x－ 2y－ 1＝ 0 3．已知直線 l過點 P(3,1)且被兩平行線 l1： x＋ y＋ 1＝ 0， l2： x＋ y＋ 6＝ 0截得的線段長為 5，求直線 l的方程． 解：法一：若直線 l的斜率不存在，則直線 l的方程為 x＝ 3， 此時與 l1， l2的交點分別是 A(3，－ 4)， B(3，－ 9)， 截得的線段長 |AB|＝ |－ 4＋ 9|＝ 5，符合題意． 當直線 l的斜率存在時， 設(shè)直線 l的方程為 y＝ k(x－ 3)＋ 1， 分別與直線 l1， l2的方程聯(lián)立， 由????? y ＝ k ? x － 3 ? ＋ 1 ，x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，解得 A????????3 k － 2k ＋ 1，1 － 4 kk ＋ 1. 由????? y ＝ k ? x － 3 ? ＋ 1 ，x ＋ y ＋ 6 ＝ 0 ，解得 B????????3 k － 7k ＋ 1，1 － 9 kk ＋ 1. 由兩點間的距離公式，得 ????????3 k － 2k ＋ 1－3 k － 7k ＋ 12＋????????1 － 4 kk ＋ 1－1 － 9 kk ＋ 12＝ 25 ， 解得 k ＝ 0 ，即所求直線方程為 y ＝ 1. 綜上可知，直線 l 的方程為 x ＝ 3 或 y ＝ 1. 法二： 設(shè)直線 l 與 l1， l2分別相交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則 x1＋ y1＋ 1 ＝ 0 ， x2＋ y2＋ 6 ＝ 0. 兩式相減，得 ( x1－ x2) ＋ ( y1－ y2) ＝ 5. ① 又 ( x1－ x2)2＋ ( y1－ y2)2＝ 25 ， ② 聯(lián)立 ①② 可得????? x1－ x2＝ 5 ，y1－ y2＝ 0 ，或????? x1－ x2＝ 0 ，y1－ y2＝ 5 ， 由上可知，直線 l 的傾斜角分別為 0176。宿遷模擬 )已知方程 x2＋ y2＋ 2kx＋ 4y＋ 3k＋ 8＝ 0表 示一個圓，則實數(shù) k的取值范圍是 ___________． 解析：由 (2k)2＋ 42－ 4(3k＋ 8)＝ 4(k2－ 3k－ 4)0， 解得 k－ 1或 k4. 答案： k－ 1或 k4 答案：－ 1a1 3．若點 (2a， a＋ 1)在圓 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的內(nèi)部，則 a的取值 范圍是 _______. 解析： ∵ 點 (2a， a＋ 1)在圓 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的內(nèi)部， ∴ (2a)2＋ a25，解得－ 1a1. 4．以線段 AB： x＋ y－ 2＝ 0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為 ____. 解析： ∵ 易得線段的中點即圓心為 ( 1,1) ，線段的端點為( 0,2) 、 ( 2,0) ， ∴ 圓的半徑為 r ＝ 2 ， ∴ 圓的方程為 ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ 2. 答案： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2 5． (教材習題改編 )經(jīng)過圓 (x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 2的圓心，且 與直線 2x＋ y＝ 0垂直的直線方程是 ______________． 解析： 圓心為 (1 ，－ 1) ，所求直線的斜率為12，所以直線方程為 y ＋ 1 ＝12( x － 1) ，即 x － 2 y － 3 ＝ 0. 答案： x－ 2y－ 3＝ 0 求圓的方程 [例 1] (1)經(jīng)過點 A(5,2)， B(3，－ 2)，且圓心在直線 2x－ y－ 3＝ 0上的圓的方程為 ______________． (2)已知圓 C的圓心是直線 x－ y＋ 1＝ 0與 x軸的交點，且圓 C與直線 x＋ y＋ 3＝ 0相切，則圓 C的方程為 ________． [ 自主解答 ] (1) 法一： 由題知 kAB＝ 2 ， A ， B 的中點為 (4,0) ，設(shè)圓心為 C ( a ， b ) ． ∵ 圓過 A (5,2) ， B (3 ，－ 2) 兩點， ∴ 圓心一定在線段 AB 的垂直平分線上． 則????? ba － 4＝－12，2 a － b － 3 ＝ 0 ，解得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1.∴ C (2,1) ， r ＝ | CA |＝ ? 5 － 2 ?2＋ ? 2 － 1 ?2＝ 10 . ∴ 所求圓的方程為 ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝ 10. 法二： 設(shè)圓的方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2， 則????? 2 a － b － 3 ＝ 0 ，? 5 － a ?2＋ ? 2 － b ?2＝ r2，? 3 － a ?2＋ ? － 2 － b ?2＝ r2， 解得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1 ，r ＝ 10 ， 故圓的方程為 ( x － 2)2＋ ( y － 1)2＝ 10. 法三： 設(shè)圓的方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0( D2＋ E2－ 4 F 0) ， 則??????? 25 ＋ 4 ＋ 5 D ＋ 2 E ＋ F ＝ 0 ，9 ＋ 4 ＋ 3 D － 2 E ＋ F ＝ 0 ，2 ??????－D2＋E2－ 3 ＝ 0 ， 解得 D ＝－ 4 ， E ＝－ 2 ， F ＝－ 5. ∴ 所求圓的方程為 x2＋ y2－ 4 x － 2 y － 5 ＝ 0. ( 2) 根據(jù)題意可知圓心坐標為 ( － 1,0) ，圓的半徑長為|－ 1 ＋ 0 ＋ 3|2＝ 2 ，故所求圓 C 的方程為 ( x ＋ 1)2＋ y2＝ 2. [答案 ] (1)x2＋ y2－ 4x－ 2y－ 5＝ 0(或 (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝10) (2)(x＋ 1)2＋ y2＝ 2 ————— ———————————— —————————————————————————— 求圓的方程的兩種方法 求圓的方程時，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進而求出圓的基本量．②代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．若條件中圓心坐標明確時，常設(shè)為圓的標準方程，不明確時，常設(shè)為一般方程． 1．求下列圓的方程： (1)圓心在直線 y＝－ 4x上，且與直線 l： x＋ y－ 1＝ 0相切于點P(3，－ 2)； (2)過三點 A(1,12)， B(7,10)， C(－ 9,2)． 解： ( 1) 法一： 設(shè)圓的標準方程為 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ r2. 則有??????? b ＝－ 4 a ，? 3 － a ?2＋ ? － 2 － b ?2＝ r2，| a ＋ b － 1|2＝ r ， 解得 a ＝ 1 ， b ＝－ 4 ， r ＝ 2 2 . 故所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y ＋ 4)2＝ 8. 法二： 過切點且與 x ＋ y － 1 ＝ 0 垂直的直線為 y ＋ 2 ＝ x － 3. 與 y ＝－ 4 x 聯(lián)立可得圓心為 (1 ，－ 4) ， 所以半徑 r ＝ ? 1 － 3 ?2＋ ? － 4 ＋ 2 ?2＝ 2 2 . 故所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y ＋ 4)2＝ 8. (2) 法一： 設(shè)圓的一般方程為 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0. 則????? 1 ＋ 144 ＋ D ＋ 12 E ＋ F ＝ 0 ，49 ＋ 100 ＋ 7 D ＋ 10 E ＋ F ＝ 0 ，81 ＋ 4 － 9 D ＋ 2 E ＋ F ＝ 0 ， 解得 D ＝－ 2 ， E ＝－ 4 ， F ＝－ 95 ， 所以所求圓的方程為 x2＋ y2－ 2 x － 4 y － 95 ＝ 0. 法二： 由 A (1,12) ， B (7,10) 得 AB 的中點坐標為 (4,1 1) ， kAB＝－13，則 AB 的中垂線方程為 3 x － y － 1 ＝ 0. 同理得 AC 的中垂線方程為 x ＋ y － 3 ＝ 0. 聯(lián)立????? 3 x － y － 1 ＝ 0 ，x ＋ y － 3 ＝ 0 ，得????? x ＝ 1 ，y ＝ 2 ， 即圓心坐標為 (1,2) ，半徑 r ＝ ? 1 － 1 ?2＋ ? 2 － 12 ?2＝ 10 ， 所以所求圓的方程為 ( x － 1)2＋ ( y － 2)2＝ 100. 與圓有關(guān)的最值問題 [例 2] 已知實數(shù) x、 y滿足方程 x2＋ y2－ 4x＋ 1＝ 0，求： (1) yx 的最大值和最小值； (2)y－ x的最大值和最小值； (3)x2＋ y2的最大值和最小值． [ 自主解答 ] ( 1) 原方程可化為 ( x － 2)2＋ y2＝ 3 ，表示以( 2,0) 為圓心， 3 為半徑的圓，yx的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè)yx＝ k ，即 y ＝ kx . 當直線 y ＝ kx 與圓相切時，斜率 k 取最大值或最小值，此時|2 k － 0|k2＋ 1＝ 3 ，解得 k ＝