【正文】 第八章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 第二節(jié) 直線的交點坐標與距離公式 第三節(jié) 圓的方程 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關系 第五節(jié) 橢圓 第六節(jié) 雙曲線 第七節(jié) 拋物線 第八節(jié) 直線與圓錐曲線 專家講壇 [備考方向要明了 ] 考 什 么 怎 么 考 的概念，掌握過兩點的直 線斜率的計算公式； 斷這兩條直線平行或垂 直； 要素；掌握直線方程的幾 種形式 (點斜式、兩點式及 一般式等 )，了解斜截式與 一次函數(shù)的關系 . 查 ， 很少單獨命題 ， 但作為解析幾何的基礎 ， 復習時要加深理解 ． ，多與其他知識結(jié)合考查 ． ，且具有以下特點： (1)一般不單獨命題 ， 考查形式多與其他知識結(jié)合 ， 以填空題為主 ． (2)主要是涉及直線方程和斜率 ，如 2022年高考 T12. [歸納 知識整合 ] 1 ． 直線的斜率與傾斜角 ( 1) 直線的斜率 已知兩點 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，如果 x 1 ≠ x 2 ，那么直 線 PQ 的斜率為 k ＝ ( x 1 ≠ x 2 ) ． y 2－ y 1x 2－ x 1 (2)直線的傾斜角 ① 定義：在平面直角坐標系中，對于一條與 x軸相交的直線，把 x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角． ② 當直線 l與 x軸平行或重合時，規(guī)定：它的傾斜角為 . ③ 傾斜角的取值范圍為 ． ④ 當直線與 x軸不垂直時，直線的斜率 k與傾斜角 α之間滿足 k＝ tan α. 0176。 [0， π) 提示： 這種說法不正確．由 k ＝ t an θ??????θ ≠π2知，當 θ ∈??????0 ，π2時， θ 越大，斜率越大且為正；當 θ ∈??????π2， π 時，θ 越大，斜率也越大且為負．但綜合起來說是錯誤的． [探究 ] θ越大，斜率 k就越大，這種說法正確嗎？ 2．兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關系 [探究 ] l1， l2垂直的充要條件是斜率之積為－ 1，這句話正確嗎？ 提示：不正確，當一條直線與 x軸平行，另一條與 y軸平行時，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在． 名稱 條件 方程 適用范圍 點斜式 斜率 k與點 (x1， y1) ________ ________ 不含直線 x＝x1 斜截式 斜率 k與截距 b _________ 不含垂直于 x軸的直線 y－ y1＝ k(x－ x1) y＝ kx＋ b 名稱 條件 方程 適用范圍 兩點式 兩點 (x1，y1)， (x2，y2) 不含直線 x＝x1(x1＝ x2)和直線 y＝ y1(y1＝ y2) 截距式 截距 a與 b 不含垂直于坐標軸和過原點的直線 一般式 平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用 y－ y 1y 2－ y 1＝x － x 1x 2－ x 1 xa＋yb ＝ 1 Ax＋ By＋ C＝0(A2＋ B2≠ 0) [探究 ] P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直線是否一定可用兩點式方程表示？ 提示：當 x1＝ x2，或 y1＝ y2時，由兩點式方程知分母此時為零，所以不能用兩點式方程表示． [自測 牛刀小試 ] 1． (教材習題改編 )若直線 x＝ 2的傾斜角為 α，則 α＝ ________. 解析： 因為直線 x ＝ 2 垂直于 x 軸，故其傾斜角為 π2 . 答案： π2 2． (教材習題改編 )過點 M(－ 2， m)， N(m,4)的直線的斜 率等于 1，則 m＝ ________. 解析： 由題意知，4 － mm ＋ 2 ＝ 1 ，解得 m ＝ 1. 答案： 1 3．過兩點 (0,3)， (2,1)的直線方程為 ________. 答案： x＋ y－ 3＝ 0 解析： 直線斜率為3 － 10 － 2＝－ 1 ， 其方程為 y ＝－ x ＋ 3 ，即 x ＋ y － 3 ＝ 0. 4．直線 l的傾斜角為 30176。 ，若直線 l1∥ l，則直線 l1的斜率 k1＝ ________；若直線 l2⊥ l，則直線 l2的斜率 k2＝________. 解析： ∵ l 1 ∥ l 2 ， ∴ k l 1 ＝ tan 30176。 ＝33. ∵ l 2 ⊥ l ， ∴ k l 2 ＝－1k l＝－ 3 . 答案： 33 － 3 5．已知 A(3,5)， B(4,7)， C(－ 1， x)三點共線，則 x等于 ________． 解析： 因為 k AB ＝7 － 54 － 3＝ 2 ， k AC ＝x － 5－ 1 － 3＝－x － 54. A 、B 、 C 三點共線，所以 k AB ＝ k AC ，即－x － 54＝ 2 ，解得 x ＝－ 3. 答案：－ 3 直線的傾斜角和斜率 [例 1] (1) (2022山西四校聯(lián)考改編 )直線 xsin α＋ y＋ 2＝ 0的傾斜角的取值范圍是 ________. (2)已知兩點 A(m， n)， B(n， m)(m≠n)，則直線 AB的傾斜角為 ________； (3)直線 l過點 P(1,0)，且與以 A(2,1)， B(0， )為端點的線段有公共點，則直線 l的斜率的取值范圍 ________． [ 自主解答 ] (1) 設直線的傾斜角為 θ ，則有 tan θ ＝－sin α ，其中 sin α ∈ [ － 1 , 1 ] ． 又 θ ∈ [0 ， π) ，所以 0 ≤ θ ≤π4或3π4≤ θ π. (2) 設直線 AB 的傾斜角為 θ ，斜率為 k ，則 k ＝ tan θ ＝m － nn － m＝－ 1 ，又 θ ∈ [0 ， π) ， 所以 θ ＝3π4. ( 3) 如右圖， ∵ k AP ＝1 － 02 － 1＝ 1 ， k BP ＝3 － 00 － 1＝－ 3 ， ∴ k ∈ ( － ∞ ，－ 3 ] ∪ [1 ，＋ ∞ ) ． [ 答案 ] ( 1)??????0 ，π4∪??????3π4， π ( 2)3π4 ( 3) ( － ∞ ， 3 ] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 若將本例 (3)中 P(1,0)改為 P(－ 1,0)，其他條件不變，求直線 l的斜率的取值范圍。 解： ∵ P ( － 1,0) ， A (2,1) ， B (0 ， 3 ) ∴ k PA ＝1 － 02 － ? － 1 ?＝13， k PB ＝3 － 00 － ? － 1 ?＝ 3 . 借助圖形可知，直線 l 的斜率的取值范圍為??????13， 3 . ————— ———————————— ————————————————————————— 直線斜率的求法 (1)定義法：若已知直線的傾斜角 α或 α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù) k＝ tan α求斜率； (2) 公式法：若已知直線上兩點 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，一般根據(jù)斜率公式 k ＝y(tǒng) 2 － y 1x 2 － x 1( x 1 ≠ x 2 ) 求斜率． 1． (2022合肥模擬 )直線 l： xsin 30176。 ＋ ycos 150176。 ＋ 1＝ 0的 斜率 k＝ ________. 解析： 設直線 l 的斜率為 k ， 則 k ＝－sin 30176。c os 150176。＝33. 答案： 33 2．若直線 l與直線 y＝ 1， x＝ 7分別交于點 P， Q，且線段 PQ 的中點坐標為 (1，－ 1)，則直線 l的斜率為 ＿＿＿＿ . 解析： 設 P ( x, 1) ， Q (7 ， y ) ，則 x ＋ 7 ＝ 2,1 ＋ y ＝－ 2 ， 解得 x ＝－ 5 ， y ＝－ 3 ，從而 k l＝1 － ? － 3 ?－ 5 － 7＝－13. 答案： － 13 直線的平行與垂直的判斷及應用 [例 2] (1)若直線 ax＋ 2y－ 6＝ 0與 x＋ (a－ 1)y＋ a2－ 1＝0平行，則 a＝ ________. (2)已知直線 l1： ax＋ 2y＋ 6＝ 0和直線 l2： x＋ (a－ 1)y＋a2－ 1＝ l1⊥ l2，則 a＝ ________. [ 自主解答 ] ( 1) 因為兩直線平行，所以有 a ( a － 1) ＝ 2 ，即 a2－ a － 2 ＝ 0 ，解得 a ＝ 2 或－ 1. ( 2) 由 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0 得， a ＋ 2( a － 1) ＝ 0 ，解得 a ＝23. [ 答案 ] ( 1) 2 或－ 1 ( 2 ) 23 用一般式確定兩直線位置關系的方法 直線方程 l1與 l2垂直 的充要條件 l1與 l2平行 的充分條件 A2＋ B1B2＝ 0 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0( A 21 ＋ B 21 ≠ 0) l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0( A 22 ＋ B 22 ≠ 0) A 1A 2 ＝B 1B 2 ≠C 1C 2 ( A 2 B 2 C 2 ≠ 0) l1與 l2相交 的充分條件 l1與 l2重合 的充分條件 A 1A 2 ≠B 1B 2 ( A 2 B 2 ≠ 0) A 1A 2 ＝B 1B 2 ＝C 1C 2 ( A 2 B 2 C 2 ≠ 0) 3．已知 l1的傾斜角為 45176。 ， l2經(jīng)過點 P(－ 2，－ 1)， Q(3， m)，若 l1⊥ l2，則實數(shù) m＝ ________. 解析： k 1 ＝ tan 45176。 ＝ 1 ， k 2 ＝m ＋ 13 ＋ 2， ∵ l 1 ⊥ l 2 ， ∴ k 2 ＝m ＋ 13 ＋ 2＝－ 1 ， m ＝－ 6. 答案：－ 6 4．已知過點 A(－ 2， m)， B(m,4)的直線與直線 2x＋ y－ 1＝ 0平行，則 m的值為 ________． 解析： 由題意知， k AB ＝4 － mm ＋ 2＝－ 2. 解得 m ＝－ 8. 答案：－ 8 直 線 方 程 [例 3] (1)(2022宿遷模擬 )在等腰三角形 AOB中， AO＝ AB，點 O(0,0)， A(1,3)，點 B在 x軸的正半軸上，則直線AB的方程為 ________________． (2)直線 l經(jīng)過點 P(3,2)且與 x軸、 y軸的正半軸分別交于A、 B兩點．△ OAB的面積為 12，則直線 l的方程是 ____． [自主解答 ] (1)因為 AO＝ AB，所以直線 AB的斜率與直線 AO的斜率互為相反數(shù)，所以 kAB＝－ kOA＝－ 3，所以直線 AB的點斜式方程為： y－ 3＝－ 3(x－ 1)． (2) 法一： 設直線 l 的方程為xa＋yb＝ 1( a 0 ， b 0) ． 則有3a＋2b＝ 1 ，且12ab ＝ 12. 解得 a ＝ 6 ， b ＝ 4. 所以所求直線 l 的方程為x6＋y4＝ 1 ， 即 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0. 法二： 設直線 l 的方程為 y － 2 ＝ k ( x － 3)( k 0) ， 令 x ＝ 0 ，得 y ＝ 2 － 3 k 0 ； 令 y ＝ 0 ，得 x ＝ 3 －2k0