【正文】 ( a ， b ) ，則 ??????? b － 3a － 2＝ 1 ，a ＋ 22＋b ＋ 32＋ 1 ＝ 0 ，解得????? a ＝－ 4 ，b ＝－ 3. 答案： (－ 4，－ 3) 兩條直線的交點(diǎn)問題 [例 1] (1)經(jīng)過直線 l1： x＋ y＋ 1＝ 0與直線 l2： x－ y＋ 3＝ 0的交點(diǎn) P，且與直線 l3： 2x－ y＋ 2＝ 0垂直的直線 l的方程是 ________． (2)已知兩直線 l1： mx＋ 8y＋ n＝ 0與 l2： 2x＋ my－ 1＝0，若 l1與 l2相交，則實(shí)數(shù) m、 n滿足的條件是 ________． [ 自主解答 ] (1) 法一 ：由方程組????? x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，x － y ＋ 3 ＝ 0 ， 解得????? x ＝－ 2 ，y ＝ 1 ， 即點(diǎn) P ( － 2,1) ， ∵ l3⊥ l ， ∴ k ＝－12， ∴ 直線 l 的方程為 y － 1 ＝－12( x ＋ 2) ，即 x ＋ 2 y ＝ 0. 法二： ∵ 直線 l過直線 l1和 l2的交點(diǎn)， ∴ 可設(shè)直線 l的方程為 x＋ y＋ 1＋ λ(x－ y＋ 3)＝ 0， 即 (1＋ λ)x＋ (1－ λ)y＋ 1＋ 3λ＝ 0. ∵ l 與 l 3 垂直， ∴ 2(1 ＋ λ ) － (1 － λ ) ＝ 0 ， ∴ λ ＝－13 . ∴ 直線 l 的方程為23 x ＋43 y ＝ 0 ，即 x ＋ 2 y ＝ 0. (2 ) 因?yàn)閮芍本€ l1與 l2相交，所以當(dāng) m ＝ 0 時(shí)， l1的方程為 y ＝－n8， l2的方程為 x ＝12，兩直線相交，此時(shí) m 、 n 滿足條件 m ＝ 0 ， n ∈ R ； 當(dāng) m ≠ 0 時(shí)，由兩直線相交． 所以m2≠8m，解得 m ≠ 177。 d ＝14 ? 3 k － 1 ?k ＋ 2； ② 當(dāng)32≤ k 3 時(shí)，直線 y ＝ kx 與線段 BC ： y ＝ 6 相交于點(diǎn) P2??????6k， 6 ， 所以 S △ OP2C ＝12| P2C | ，求線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [自主解答 ] (1)設(shè) AP的中點(diǎn)為 M(x， y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知， P點(diǎn)坐標(biāo)為 (2x－ 2,2y)． 因?yàn)?P點(diǎn)在圓 x2＋ y2＝ 4上，所以 (2x－ 2)2＋ (2y)2＝ 4. 故線段 AP中點(diǎn)的軌跡方程為 (x－ 1)2＋ y2＝ 1. (2)設(shè) PQ的中點(diǎn)為 N(x， y)在 Rt△ PBQ中， |PN|＝ |BN|，設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接 ON，則 ON⊥ PQ，所以 |OP|2＝|ON|2＋ |PN|2＝ |ON|2＋ |BN|2， 所以 x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 4. 故線段 PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 x2＋ y2－ x－ y－ 1＝ 0. ————— ———————————— ———————————————————————— 求軌跡方程的一般步驟 (1)建系設(shè)點(diǎn)：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 (x， y)； (2)列式：列出幾何等式； (3)坐標(biāo)化：用坐標(biāo)表示得到方程； (4)化簡：化簡幾何等式得到的方程； (5)證明作答：除去不合題意的點(diǎn)，作答． 3．如圖，已知點(diǎn) A(－ 1,0)與點(diǎn) B(1,0)， C是 圓 x2＋ y2＝ 1上的動(dòng)點(diǎn)，連接 BC并延長 至 D，使得 |CD|＝ |BC|，求 AC與 OD的交 點(diǎn) P的軌跡方程． 解： 設(shè)動(dòng)點(diǎn) P ( x ， y ) ，由題意可知 P 是 △ ABD 的重心． 由 A ( － 1,0) ， B (1,0) ，令動(dòng)點(diǎn) C ( x0， y0) ， 則 D (2 x0－ 1,2 y0) ，由重心坐標(biāo)公式： ????? x ＝－ 1 ＋ 1 ＋ 2 x0－ 13，y ＝2 y03，則????? x0＝3 x ＋ 12，y0＝3 y2? y0≠ 0 ? ， 代入 x2＋ y2。 和 90176。4 ，n ∈ R. [答案 ] (1)x＋ 2y＝ 0 (2)m≠177。 k0 90176。 ＋ 1＝ 0的 斜率 k＝ ________. 解析： 設(shè)直線 l 的斜率為 k ， 則 k ＝－sin 30176。第八章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 第二節(jié) 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 第三節(jié) 圓的方程 第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 第五節(jié) 橢圓 第六節(jié) 雙曲線 第七節(jié) 拋物線 第八節(jié) 直線與圓錐曲線 專家講壇 [備考方向要明了 ] 考 什 么 怎 么 考 的概念，掌握過兩點(diǎn)的直 線斜率的計(jì)算公式； 斷這兩條直線平行或垂 直； 要素；掌握直線方程的幾 種形式 (點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及 一般式等 )，了解斜截式與 一次函數(shù)的關(guān)系 . 查 ， 很少單獨(dú)命題 ， 但作為解析幾何的基礎(chǔ) ， 復(fù)習(xí)時(shí)要加深理解 ． ，多與其他知識結(jié)合考查 ． ，且具有以下特點(diǎn)： (1)一般不單獨(dú)命題 ， 考查形式多與其他知識結(jié)合 ， 以填空題為主 ． (2)主要是涉及直線方程和斜率 ，如 2022年高考 T12. [歸納 知識整合 ] 1 ． 直線的斜率與傾斜角 ( 1) 直線的斜率 已知兩點(diǎn) P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，如果 x 1 ≠ x 2 ，那么直 線 PQ 的斜率為 k ＝ ( x 1 ≠ x 2 ) ． y 2－ y 1x 2－ x 1 (2)直線的傾斜角 ① 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與 x軸相交的直線，把 x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角． ② 當(dāng)直線 l與 x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為 . ③ 傾斜角的取值范圍為 ． ④ 當(dāng)直線與 x軸不垂直時(shí)，直線的斜率 k與傾斜角 α之間滿足 k＝ tan α. 0176。 ＋ ycos 150176。α90176。4 ，此時(shí)， m 、 n 滿足條件 m ≠ 177。 6 ＝6 ? 3 － k ?k. 又因?yàn)?S 四邊形O ABC＝ S △AO B＋ S △O BC＝ 14 ＋ 6 ＝ 20 ， 所以 S ＝ S 四邊形O ABC－ S △ OP2C ＝ 26 －18k. 故 S ＝ f ( k ) ＝????? 14 ? 3 k － 1 ?k ＋ 2 ??????13 k 32，26 －18k ??????32≤ k 3 . ( 2) 若要直線 y ＝ kx 平分四邊形 O A B C 的面積，由 ( 1) ，知只需14 ? 3 k － 1 ?k ＋ 2＝ 10 ，解得 k ＝1716. 1．記直線 (m＋ 2)x＋ 3my＋ 1＝ 0與直線 (m－ 2)x＋ (m＋ 2)y－ 3＝ 0相互垂直時(shí) m的取值集合為 M，直線 x＋ ny＋ 3＝ 0與直線 nx＋ 4y＋ 6＝ 0平行時(shí) n的取值集合為 N，則 M∪ N＝ ________. 解析：當(dāng)直線 (m＋ 2)x＋ 3my＋ 1＝ 0與直線 (m－ 2)x＋ (m＋ 2)y－ 3＝ 0相互垂直時(shí)， m滿足 (m＋ 2)(m－ 2)＋ 3m(m＋ 2)＝ 0，解得 m＝或 m＝－ 2， 故 M ＝??????－ 2 ，12； 直線 x ＋ ny ＋ 3 ＝ 0 與直線 nx ＋ 4 y ＋ 6 ＝ 0 平行，當(dāng) n ＝ 0時(shí)，顯然兩直線不平行；當(dāng) n ≠ 0 時(shí)，兩直線平行的充要條件是1n＝n4≠36，即 n ＝－ 2 ，所以 N ＝ { － 2} ． 故 M ∪ N ＝??????－ 2 ，12. 答案：??????－ 2 ，12 2．已知 A(3,1)、 B(－ 1,2)，若 ∠ ACB的平分線在 y＝ x＋ 1上， 則 AC所在直線方程是 ________． 解析： 設(shè)點(diǎn) A 關(guān)于直線 y ＝ x ＋ 1 對稱的點(diǎn) A ′ 為 ( x0， y0) ， 則????? y0－ 1x0－ 3＝－ 1 ，y0＋ 12＝x0＋ 32＋ 1 ，解得????? x0＝ 0 ，y0＝ 4 ， 即 A ′ ( 0 ,4) ． 故直線 A ′ B 的方程為 2 x － y ＋ 4 ＝ 0. 由????? 2 x － y ＋ 4 ＝ 0 ，y ＝ x ＋ 1 ，得????? x ＝－ 3 ，y ＝－ 2 ， 即 C ( － 3 ，－ 2) ． 故直線 AC 的方程為 x － 2 y － 1 ＝ 0. 答案： x－ 2y－ 1＝ 0 3．已知直線 l過點(diǎn) P(3,1)且被兩平行線 l1： x＋ y＋ 1＝ 0， l2： x＋ y＋ 6＝ 0截得的線段長為 5，求直線 l的方程． 解：法一：若直線 l的斜率不存在，則直線 l的方程為 x＝ 3， 此時(shí)與 l1， l2的交點(diǎn)分別是 A(3，－ 4)， B(3，－ 9)， 截得的線段長 |AB|＝ |－ 4＋ 9|＝ 5，符合題意． 當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線 l的方程為 y＝ k(x－ 3)＋ 1， 分別與直線 l1， l2的方程聯(lián)立， 由????? y ＝ k ? x － 3 ? ＋ 1 ，x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，解得 A????????3 k － 2k ＋ 1，1 － 4 kk ＋ 1. 由????? y ＝ k ? x － 3 ? ＋ 1 ，x ＋ y ＋ 6 ＝ 0 ，解得 B????????3 k － 7k ＋ 1，1 － 9 kk ＋ 1. 由兩點(diǎn)間的距離公式，得 ????????3 k － 2k ＋ 1－3 k － 7k ＋ 12＋????????1 － 4 kk ＋ 1－1 － 9 kk ＋ 12＝ 25 ， 解得 k ＝ 0 ，即所求直線方程為 y ＝ 1. 綜上可知，直線 l 的方程為 x ＝ 3 或 y ＝ 1. 法二： 設(shè)直線 l 與 l1， l2分別相交于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 則 x1＋ y1＋ 1 ＝ 0 ， x2＋ y2＋ 6 ＝ 0. 兩式相減，得 ( x1－ x2) ＋ ( y1－ y2) ＝ 5. ① 又 ( x1－ x2)2＋ ( y1－ y2)2＝ 25 ， ② 聯(lián)立 ①② 可得????? x1－ x2＝ 5 ，y1－ y2＝ 0 ，或????? x1－ x2＝ 0 ，y1－ y2＝ 5 ， 由上可知，直線 l 的傾斜角分別為 0