【正文】 . 所以 S △OAB＝12(2 － 3 k )??????3 －2k＝ 12 ，解得 k ＝－23， 故所求直線方程為 y － 2 ＝－23( x － 3) ，即 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0. [答案 ] (1)3x＋ y－ 6＝ 0 (2)2x＋ 3y－ 12＝ 0 ————— ———————————— —————————————————————————— 求直線方程的常用方法有 (1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程． (2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程．再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程 (組 )求系數(shù)，最后代入求出直線方程． 5．△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為 A(－ 3,0)， B(2,1)， C(－ 2,3)，求： (1)BC所在直線的方程； (2)BC邊上中線 AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線 DE的方程． 解： (1) 因?yàn)橹本€ BC 經(jīng)過 B (2,1) 和 C ( － 2,3) 兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得 BC 的方程為y － 13 － 1＝x － 2－ 2 － 2，即 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. ( 2 ) 設(shè) BC 中點(diǎn) D 的坐標(biāo) ( x ， y ) ，則 x ＝2 － 22＝ 0 ， y ＝1 ＋ 32＝ 2. BC 邊的中線 AD 過點(diǎn) A ( － 3 , 0 ) ， D ( 0 , 2 ) 兩點(diǎn)，由截距式得AD 所在 直線方程為x－ 3＋y2＝ 1 ，即 2 x － 3 y ＋ 6 ＝ 0. (3) BC 的斜率 k 1 ＝－12，則 BC 的垂直平分線 DE 的斜率k 2 ＝ 2 ，由點(diǎn)斜式得直線 DE 的方程為 y － 2 ＝ 2( x － 0) ，即2 x － y ＋ 2 ＝ 0. 1 個(gè)關(guān)系 —— 直線的傾斜角與斜率的關(guān)系 (1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率． (2)直線的傾斜角 α和斜率 k之間的對應(yīng) α k 0176。 0 0176。α90176。 k0 90176。 不存在 90176。α180176。 k0 3 個(gè)注意點(diǎn) —— 求直線方程時(shí)應(yīng)注意的問題 (1)明確直線方程各種形式的適用條件 點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于 x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于 x、 y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線．在應(yīng)用時(shí)要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無特殊要求下一般化為一般式． (2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零． (3)求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對斜率存在與否加以討論 . 易誤警示 ——有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點(diǎn) [典例 ] (2022常州模擬 )過點(diǎn) P(－ 2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線 l的方程為 ______________________． [ 解析 ] 當(dāng)截距不為 0 時(shí)，設(shè)所求直線方程為 xa＋ya＝ 1 ，即 x ＋ y － a ＝ 0. ∵ 點(diǎn) P ( － 2,3) 在直線 l 上， ∴ － 2 ＋ 3 － a ＝ 0 ， ∴ a ＝ 1 ，所求直線 l 的方程為 x ＋ y － 1 ＝ 0. 當(dāng)截距為 0 時(shí)，設(shè)所求直線方程為 y ＝ kx ，則有 3 ＝－ 2 k ，即 k ＝－32. 此時(shí)直線 l 的方程為 y ＝－32x ，即 3 x ＋ 2 y ＝ 0. 綜上，直線 l 的方程為 x ＋ y － 1 ＝ 0 或 3 x ＋ 2 y ＝ 0. [答案 ] x＋ y－ 1＝ 0或 3x＋ 2y＝ 0 [易誤辨析 ] 1．因忽略截距為 “0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程 3x＋ 2y＝ 0而致錯(cuò)．所以，可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解． 2．在選用直線方程時(shí)，常易忽視的情況還有： ①選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況； ②選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與 x軸垂直的情況及與 y軸垂直的情況． [變式訓(xùn)練 ] 已知直線 l過 (2,1)， (m,3)兩點(diǎn)，則直線 l的方程為 ____． 解析： 當(dāng) m ＝ 2 時(shí)，直線 l 的方程為 x ＝ 2 ； 當(dāng) m ≠ 2 時(shí)，直線 l 的方程為y － 13 － 1＝x － 2m － 2， 即 2 x － ( m － 2) y ＋ m － 6 ＝ 0. 因?yàn)?m ＝ 2 時(shí)，方程 2 x － ( m － 2) y ＋ m － 6 ＝ 0 ， 即為 x ＝ 2 ， 所以直線 l 的方程為 2 x － ( m － 2) y ＋ m － 6 ＝ 0. 答案： 2x－ (m－ 2)y＋ m－ 6＝ 0 1．直線 l過點(diǎn) (－ 1,2)且與直線 3y＝ 2x＋ 1垂直，則 l的方程 是 ___________. 解析：法一：設(shè)所求直線 l的方程為 3x＋ 2y＋ C＝ 0，則 3 (－ 1)＋ 2 2＋ C＝ 0，得 C＝－ 1，即 l的方程為3x＋ 2y－ 1＝ 0. 法二： 由題意知， l 的斜率是 k ＝－32，則直線 l 的方程為 y － 2 ＝－32( x ＋ 1) ，即 3 x ＋ 2 y － 1 ＝ 0. 答案： 3x＋ 2y－ 1＝ 0 2． (2022貴陽模擬 )直線 l經(jīng)過點(diǎn) A(1,2)，在 x軸上的截距 的取值范圍是 (－ 3,3)，則其斜率的取值范圍是 _______. 解析： 設(shè)直線的斜率為 k ，則直線方程為 y － 2 ＝ k ( x －1) ，令 y ＝ 0 ，得直線 l 在 x 軸上的截距為 1 －2k，則－31 －2k3 ，解得 k 12或 k － 1. 答案： D 3．已知 A(3,0)， B(0,4)，動(dòng)點(diǎn) P(x， y)在線段 AB上移動(dòng)，則 xy的最大值等于 ________． 解析： ∵ 線段 AB 的方程為x3＋y4＝ 1(0 ≤ x ≤ 3) ， ∴ y ＝ 4 －43x ，代入 xy 得 xy ＝－43x2＋ 4 x ＝－43??????x －322＋ 3 ，∴ 由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) x ＝32時(shí)， xy 的最大值等于 3. 答案： 3 [備考方向要明了 ] 考 什 么 怎 么 考 方法求兩條相交 直線的交點(diǎn)坐標(biāo) ． 離公式 、 點(diǎn)到直 線的距離公式 、 會(huì)求兩條平行直 線間的距離 . 獨(dú)命題的 ， 常作為知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在 相關(guān)的位置關(guān)系中 ． 個(gè)基本知識(shí)點(diǎn) ， 點(diǎn)到直線的距離 公式是高考考查的重點(diǎn) ， 一般將 這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合直線與圓或圓 錐曲線的問題中來考查 . [歸納 知識(shí)整合 ] 1 ． 兩條直線的交點(diǎn) 設(shè)兩條直線的方程為 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ，則兩條直線的 就是方程組????? A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ，A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0的解， 交點(diǎn)坐標(biāo) (1)若方程組有唯一解，則兩條直線 ，此解就是 ； 相交 交點(diǎn)的坐標(biāo) (2)若方程組有無數(shù)解，則兩條直線 ，此時(shí)兩條直線 ．反之，亦成立． (3)若方程組無解，則兩條直線 ，此時(shí)兩條直線 ，反之，亦成立． [探究 ] ？ 提示：當(dāng)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時(shí)，兩條直線平行，有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條直線重合． 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 重合 無公共點(diǎn) 平行 2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式 一般地，對于平面上的兩點(diǎn) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ，線段P 1 P 2 的中點(diǎn)是 M ( x 0 ， y 0 ) 則????? x 0 ＝ ，y 0 ＝ . y 1＋ y 22 x 1＋ x 22 點(diǎn) P1(x1， y1)， P2(x2， y2)之間的距離 |P1P2|＝ 點(diǎn) P0(x0， y0)到直線 l： Ax＋By＋ C＝ 0的距離 d＝ 兩條平行線 Ax＋ By＋ C1＝ 0與 Ax＋ By＋ C2＝ 0間的距離 d＝ ? x 2 － x 1 ? 2 ＋ ? y 2 － y 1 ? 2 | Ax 0 ＋ By 0 ＋ C |A 2 ＋ B 2 |C 1－ C 2 |A 2＋ B 2 3．距離 [探究 ] 間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？ 提示：使用點(diǎn)到直線距離公式時(shí)要注意將直線方程化為一般式．使用兩條平行線間距離公式時(shí)，要將兩直線方程化為一般式且 x、 y的系數(shù)對應(yīng)相等． [自測 牛刀小試 ] 1． (教材習(xí)題改編 )原點(diǎn)到直線 x＋ 2y－ 5＝ 0的距離等 于 ________． 答案： D 解析： d ＝ |－ 5|1 2 ＋ 2 2 ＝ 5 . 2．點(diǎn) A在 x軸上，點(diǎn) B在 y軸上，線段 AB的中點(diǎn) M的坐標(biāo)是 (3,4)，則 AB ＝ ________. 解析：設(shè) A(a,0)， B(0， b)， 則 a＝ 6， b＝ 8，即 A(6,0)， B(0,8)． 答案： A 所以 | AB |＝ ? 6 － 0 ? 2 ＋ ? 0 － 8 ? 2 ＝ 36 ＋ 64 ＝ 10. 3．若三條直線 2x＋ 3y＋ 8＝ 0， x－ y－ 1＝ 0和 x＋ by＝ 0相交 于一點(diǎn)，則 b＝ _______. 解析： 由????? 2 x ＋ 3 y ＋ 8 ＝ 0 ，x － y － 1 ＝ 0 ，得????? x ＝－ 1 ，y ＝－ 2. 將其代入 x ＋ by ＝ 0 ，得 b ＝－12. 答案： － 12 4 ．已知直線 l 1 與 l 2 ： x ＋ y － 1 ＝ 0 平行，且 l 1 與 l 2 的距離是 2 ，則直線 l 1 的方程為 ________ ． 解析： 設(shè)直線 l 1 的方程為 x ＋ y ＋ λ ＝ 0 ，則 2 ＝|－ 1 － λ |12＋ 12 ＝|λ ＋ 1|2，解得 λ ＝ 1 或 λ ＝－ 3. 即直線 l 1 的方程為 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 3 ＝ 0 答案： x＋ y＋ 1＝ 0或 x＋ y－ 3＝ 0 5．點(diǎn) (2,3)關(guān)于直線 x＋ y＋ 1＝ 0的對稱點(diǎn)是 ________． 解析： 設(shè)對稱點(diǎn)為 ( a ， b ) ，則 ??????? b － 3a － 2＝ 1 ，a ＋ 22＋b ＋ 32＋ 1 ＝ 0 ，解得????? a ＝－ 4 ，b ＝－ 3. 答案： (－ 4，－ 3) 兩條直線的交點(diǎn)問題 [例 1] (1)經(jīng)過直線 l1： x＋ y＋ 1＝ 0與直線 l2： x－ y＋ 3＝ 0的交點(diǎn) P，且與直線 l3： 2x－ y＋ 2＝ 0垂直的直線 l的方程是 ________． (2)已知兩直線 l1： mx＋ 8y＋ n＝ 0與 l2： 2x＋ my－ 1＝0，若 l1與 l2相交，則實(shí)數(shù) m、 n滿足的條件是 ________． [ 自主解答 ] (1) 法一 ：由方程組????? x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，x － y ＋ 3 ＝ 0 ， 解得????? x ＝－ 2 ，y ＝ 1 ， 即點(diǎn) P ( － 2,1) ， ∵ l3⊥ l ， ∴ k ＝－12， ∴ 直線 l 的方程為