【正文】 0, 5d2≥1可見5d2有最小值1，從而d有最小值，將其代入（※）式得2b2177。4b＋2=0, b= 177。1, r2=2b2=2, a2=2b2－1=1, a= 177。1由∣a－2b∣=1知a、b同號故所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2變式訓練4：如圖，圖O1和圓O2的半徑都等于1，O1O2＝4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM、PN(M、N為切點)，使得PM＝PN，試建立平面直角坐標系，并求動點P的軌跡方程．O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以OO2的中點為原點，O1O2所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，則O1(－2, 0)、O2(2, 0)．如圖：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴ PO12－1＝2(PO22－1)，設P(x，y)∴ (x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33為所求點P的軌跡方程．小結歸納1．本節(jié)主要復習了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個獨立條件，才能確定一個圓的方程．2．求圓的方程時一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關，可先由已知條件求出圓的半徑，用標準方程求解；若條件涉及過幾點，往往可考慮用一般方程；若所求的圓過兩已知圓的交點，則一般用圓系方程．3．求圓方程時,若能運用幾何性質,如垂徑定理等往往能簡化計算．4．運用圓的參數(shù)方程求距離的最值往往較方便．5．點與圓的位置關系可通過點的坐標代入圓的方程或點與圓心之間的距離與半徑的大小比較來確定.基礎過關第6課時 直線與圓、圓與圓的位置關系1．直線與圓的位置關系將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設它的判別式為△，圓心C到直線l的距離為d，則直線與圓的位置關系滿足以下關系：相切d＝r△＝0相交 相離 2．圓與圓的位置關系設兩圓的半徑分別為R和r(R≥r)，圓心距為d，則兩圓的位置關系滿足以下條件：外離d R＋r外切 相交 內切 內含 3. 圓的切線方程① 圓x2＋y2＝r2上一點p(x0, y0)處的切線方程為l: .② 圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點p(x0, y0)處的切線方程為l : .③ 圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點p(x0, y0)處的切線方程為 .典型例題P2P1P(4，2)xyO例1. 過⊙：x2＋y2＝2外一點P(4，2)向圓引切線．⑴ 求過點P的圓的切線方程．⑵ 若切點為PP2求過切點PP2的直線方程．解：(1)設過點P(4，2)的切線方程為y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0 ①則d＝∴＝ 解得k＝1或k＝∴切線方程為：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2) 設切點Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，則兩切線的方程可寫成l1: x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因為點(4，2)在l1和l2上．則有4 x1＋2y1＝2 4x2＋2y2＝2這表明兩點都在直線4x＋2y＝2上，由于兩點只能確定一條直線，故直線2 x＋y－1＝0即為所求變式訓練1：（1）已知點P(1，2)和圓C：，過P作C的切線有兩條，則k的取值范圍是( )
∈R ＜ Ｃ. D.（2）設集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},當A∩B=B時，r的取值范圍是 （ ）A．（0，－1） B．（0，1] C．（0，2－] D．（0，]（3）若實數(shù)x、y滿足等式(x2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值為( )
A. Ｂ. Ｃ. Ｄ.（4）過點M且被圓截得弦長為8的直線的方程為 ．（5）圓心在直線xy4=0上，且經過兩圓和的交點的圓的方程是 .解：（1）D．提示：P在圓外． （2）C．提示：兩圓內切或內含．（3）D．提示：從純代數(shù)角度看，設t=,則y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范圍。從數(shù)形結合角度看，是圓上一點與原點連線的斜率，切線的斜率是邊界．（4）．提示：用點到直線的距離公式，求直線的斜率．（5）.提示：經過兩圓交點的圓的方程可用圓系方程形式設出，其中的一個待定系數(shù)，可依據(jù)圓心在已知直線上求得．例2. 求經過點A(4，－1)，且與圓：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于點B(1，2)的圓的方程．解：圓C的方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝5∴圓心C(－1，3)，直線BC的方程為：x＋2y－5＝0 ①又線段AB的中點D(，)，kAB＝－1∴線段AB的垂直平分線方程為：y－＝x－即x－y－2＝0 ②聯(lián)立①②解得x＝3，y＝1∴所求圓的圓心為E(3，1)，半徑|BE|＝∴所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝5變式訓練2：求圓心在直線5x3y=8上，且與坐標軸相切圓的標準方程．解：設所求圓的方程為(xa)2+(yb)2=r2,∵圓與坐標軸相切，∴a=177。b,r=｜a｜又∵圓心(a,b)在直線5x3y=8上.∴5a3b=8,由得∴所求圓的方程為：（x4)2+(y4)2=16或(x1)2+(y+1)2＝1．例3. 已知直線l：y＝k(x＋2)(k≠0)與圓O：x2＋y2＝4相交于A、B兩點，O為坐標原點．△AOB的面積為S．⑴ 試將S表示為k的函數(shù)S(k)，并求出它的定義域．⑵ 求S(k)的最大值，并求出此時的k值．解：(1)圓心O到AB的距離d＝由d2－1 k 1|AB|＝4 S(k)＝4(2) 解法一：據(jù)(1)令1＋k2＝t k2＝t－1(1 t 2)S＝4＝4≤4＝2當＝即k＝時，等號成立．∴k＝177。為所求．解法二：△ABD的面積S＝|OA||OB|sin∠AOB＝2sin∠AOB∴當∠AOB＝90176。時，S可取最大值2，此時，設AB的中點為C．則OC＝|OA|＝由O到直線的距離為|OC|＝得＝，k＝177。變式訓練3：點P在直線上，PA、PB與圓相切于A、B兩點，求四邊形PAOB面積的最小值．．答案：8。提示：四邊形可以分成兩個全等的直角三角形，要面積最小，只要切線長最小，亦即P到圓心距離要最?。?. 已知圓C方程為：，直線l的方程為：（2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4=0．（1）證明：無論m取何值，直線l與圓C恒有兩個公共點。（2）求直線l被圓C截得的線段的最短長度，并求出此時的m值．提示：（1）用點到直線的距離公式，證明r2－d2＞0恒成立．（2）求（1）中r2－d2的最小值，得直線l被圓C截得的線段的最短長度為4，此時的m值為－ ．變式訓練4：已知圓系，其中a≠1,且a∈R,則該圓系恒過定點 ． 答案：（1，1）．提示：將a取兩個特殊值，得兩個圓的方程，求其交點，必為所求的定點，故求出交點坐標后，只須再驗證即可。另一方面，我們將方程按字母a重新整理，要使得原方程對任意a都成立，只須a的系數(shù)及式中不含a的部分同時為零．小結歸納1．處理直線與圓、圓與圓的位置關系的相關問題，有代數(shù)法和幾何法兩種方法，但用幾何法往往較簡便．2．圓的弦長公式l＝2(R表示圓的半徑，d表示弦心距)利用這一弦長公式比用一般二次曲線的弦長公式l＝要方便．3．為簡化運算，處理交點問題時，常采用“設而不求”的方法，一般是設出交點后，再用韋達定理處理，這種方法在處理直線與圓錐曲線的位置關系中也常常用到．