解析幾何試題及答案-資料下載頁(yè)
2025-08-05 16:39本頁(yè)面
【正文】 已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，則，解方程組得．所以橢圓的方程．（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ），由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。于是兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去并整理得 ，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，則由韋達(dá)定理有：，所以，從而。設(shè)線段的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．下面分情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線為軸．于是，由得．(2) 當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為 ．令得，由，．整理得．．所以．綜上，或．解法2．若軸，則,。若直線的中垂線斜率存在,設(shè)，則直線中垂線方程： ． 令，則， 因?yàn)樵跈E圓上，則， 因此． ?。 ≌淼?，解得，（舍）． ，所以． 于是．綜上，或．．（本小題滿分分）已知橢圓的離心率．連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．(ⅰ) 若,求直線的傾斜角。(ⅱ)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為，所以，則，解方程組得．所以橢圓的方程．（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ），由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。于是兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去并整理得，因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，則由韋達(dá)定理有，所以，從而．，由，得，整理得 ，所以．所以直線的傾斜角為或．(ⅱ)線段的中點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．下面分情況討論：(1) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線為軸．于是，由得．(2) 當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線方程為．令得由，．整理得．．所以．綜上，或．．（本題滿分15分）已知拋物線:＝，圓:的圓心為點(diǎn)M（Ⅰ）求點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（Ⅱ）已知點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)M，P兩點(diǎn)的直線垂直于AB，求直線的方程21．本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。（I）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M（0，4）到準(zhǔn)線的距離是（II）解：設(shè)，則題意得，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C2的切線方程為，即 ①則即，設(shè)PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以，將①代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以直線的方程為28.（22）（本小題滿分15分）如圖，設(shè)P是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)做圓的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn)。 （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離。（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處得切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（22）本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。 （Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞€C1的準(zhǔn)線方程為： 所以圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離為： （Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，拋物線C1在點(diǎn)P處的切線交直線于點(diǎn)D。 再設(shè)A，B，D的橫坐標(biāo)分別為 過(guò)點(diǎn)的拋物線C1的切線方程為： （1） 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（—1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 ，所以 設(shè)切線PA，PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3）得 從而 又，即 同理， 所以是方程的兩個(gè)不相等的根，從而 因?yàn)?，所?從而，進(jìn)而得 綜上所述，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為29.（20）（本小題滿分12分，（Ⅰ）小問(wèn)4分，(Ⅱ)小問(wèn)8分.） 如題（20）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為. （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(Ⅱ) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足：，其中是橢圓上的點(diǎn)，直線與的斜率之積為，問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.[來(lái)源:]20．（本題12分）解：（I）由解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由得因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以，故設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知因此所以所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（21）圖，橢圓的中心為原點(diǎn)0，離心率e=，一 條準(zhǔn)線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：，其中M、N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，問(wèn)：是否存在定點(diǎn)F，使得與點(diǎn)P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由。題（21）圖解：（I）由解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （II）設(shè)，則由得因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓上，所以，故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知因此所以所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，該橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率是該橢圓的右準(zhǔn)線，故根據(jù)橢圓的第二定義，存在定點(diǎn)，使得|PF|與P點(diǎn)到直線l的距離之比為定值。 39
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