【正文】 =r1—r2，即|MA|+|MB|=4，所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，由故曲線C的方程為 （II）當(dāng)，消去 ①由點(diǎn)為曲線C上一點(diǎn)，于是方程①可以化簡(jiǎn)為 解得，綜上，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為.，兩條準(zhǔn)線的距離為l. （1）求雙曲線的方程； （2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M、N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPMkPN的值.（1）解：依題意有：可得雙曲線方程為 （2）解：設(shè)所以 ，已知點(diǎn)A(1, 0)、B(1, 0), 動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：△ABC的周長(zhǎng)為2＋.(Ⅰ)求W的方程；(Ⅱ)經(jīng)過點(diǎn)（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍；（Ⅲ）已知點(diǎn)M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 解：(Ⅰ) 設(shè)C（x, y）, ∵ , , ∴ ,∴ 由定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn).∴ . ∴ .∴ W: . (Ⅱ) 設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程，得. 整理，得. ① 因?yàn)橹本€l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 ，解得或.∴ 滿足條件的k的取值范圍為 （Ⅲ）設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2), 由①得. ② 又 ③ 因?yàn)椋?所以. 所以與共線等價(jià)于. 將②③代入上式，解得. 所以不存在常數(shù)k，使得向量與共線.5已知點(diǎn)分別是射線，上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且的面積為定值2．（I）求線段中點(diǎn)的軌跡的方程；（II）過點(diǎn)作直線，與曲線交于不同的兩點(diǎn)，與射線分別交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求此時(shí)直線的方程．解：（I）由題可設(shè)，，其中.則 1分∵的面積為定值2，∴. 2分，消去，得：． 4分由于，∴，所以點(diǎn)的軌跡方程為（x＞0）．5分（II）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．由消去得：， 6分設(shè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)分別是、∴由得 8分解之得：．∴. 9分由消去得：，由消去得：，∴. 10分由于為的三等分點(diǎn)，∴. 11分解之得. 12分經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)恰為的三等分點(diǎn)，故所求直線方程為.，橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)．當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（II）求過點(diǎn)O、并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（Ⅲ）求的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由拋物線方程，得焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的方程：． 解方程組 得C（1，2），D（1，2）． 由于拋物線、橢圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，∴， ∴ ． …………2分∴又，因此，解得并推得． 故橢圓的方程為 ． …………4分（Ⅱ）， 圓過點(diǎn)O、圓心M在直線上．設(shè)則圓半徑，由于圓與橢圓的左準(zhǔn)線相切，∴由得解得所求圓的方程為…………………………8分（Ⅲ） 由①若垂直于軸，則， ， …………………………………………9分②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為 由 得 ，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．設(shè)，., ………………………………11分 = ，所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值5在面積為9的中，且?，F(xiàn)建立以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示。(1)求AB、AC所在的直線方程；(2)求以AB、AC所在的直線為漸近線且過點(diǎn)D的雙曲線的方程；(3)過D分別作AB、AC所在直線的垂線DF、DE（E、F為垂足），求的值。解：（1）設(shè)則由為銳角，AC所在的直線方程為y=2xAB所在的直線方程為y= 2x…………………………………………….4分（2）設(shè)所求雙曲線為設(shè)，，由可得：，即 由，可得，又， ，即，代入（1）得，雙曲線方程為…………………………………………………9分（3）由題設(shè)可知，設(shè)點(diǎn)D為，則又點(diǎn)D到AB，AC所在直線距離，而=，且其焦點(diǎn)F（c，0）(c＞0)到相應(yīng)準(zhǔn)線l的距離為3，過焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M為右頂點(diǎn)，則直線AM、BM與準(zhǔn)線l分別交于P、Q兩點(diǎn)，（P、Q兩點(diǎn)不重合），求證：解：（1）由題意有 解得 ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……………………………………5分（2）①若直線AB與軸垂直，則直線AB的方程是∵該橢圓的準(zhǔn)線方程為,∴， ∴，∴ ∴當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，命題成立。②若直線AB與軸不垂直，則設(shè)直線AB的斜率為，∴直線AB的方程為又設(shè)聯(lián)立 消y得 ∴ ∴又∵A、M、P三點(diǎn)共線，∴ 同理∴，∴ 綜上所述：6設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為AA2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P、Q。 （Ⅰ）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)； （Ⅱ）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程； （Ⅲ）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（Ⅰ）中的點(diǎn)）的取值范圍。解：（Ⅰ）由題，得，設(shè)則由 …………①又在雙曲線上，則 …………②聯(lián)立①、②，解得 由題意， ∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） …………3分（Ⅱ）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）由AP、M三點(diǎn)共線，得 …………③ …………1分由AQ、M三點(diǎn)共線，得 …………④ …………1分聯(lián)立③、④，解得 …………1分∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 …………1分（Ⅲ）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。故可設(shè)直線l的方程為 中，得 設(shè) 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ……⑤ ……⑥ …………2分∵ ∴有將⑤式平方除以⑥式，得 …………1分由 …………1分∵又故令 ∴，即 ∴而 ， ∴∴：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q， 且APQFOxy （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l： 相切，求橢圓C的方程. 解：⑴設(shè)Q（x0，0），由F（c，0）A（0，b）知…2分設(shè)，得 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以 整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故橢圓的離心率e＝⑵由⑴知，于是F（－a，0）， Q△AQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a 所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求橢圓方程為，且離心率e＝.（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。由題意橢圓的離心率 ∴橢圓方程為……2分又點(diǎn)在橢圓上 ∴橢圓的方程為……4分（Ⅱ）設(shè) 由消去并整理得 ∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即 又 中點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)的垂直平分線方程：在上 即將上式代入得 即或 的取值范圍為，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．解法1：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，NOACByxl的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得，又由點(diǎn)到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時(shí)，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，則有．令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．59