解析幾何專題含答案-資料下載頁(yè)
2025-06-18 19:07本頁(yè)面
【正文】 由方程組可得.②方程②的判別式為，由，解得.由②得.所以，同理，所以.故存在常數(shù)，使得.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).24.【2015高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且（1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）若求橢圓的離心率【答案】（1）；（2）【解析】試題解析：（1）本題中已知橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離，因此由橢圓定義可得長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即參數(shù)的值，而由，應(yīng)用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求橢圓的離心率，就是要找到關(guān)于的一個(gè)等式，題中涉及到焦點(diǎn)距離，因此我們?nèi)匀粦?yīng)用橢圓定義，設(shè)，則，于是有，這樣在中求得，在中可建立關(guān)于的等式，從而求得離心率.(1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此于是解得.解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有又由，知，因此,從而由,知，因此【考點(diǎn)定位】考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì).，直線和橢圓相交問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力．25.【2015高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為.（I）求E的離心率e；（II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求 E的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故.（II）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為.【考點(diǎn)定位】； ；.26.【2015高考福建，理18】已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB為直徑的圓外．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以橢圓E的方程為．,故所以，故G在以AB為直徑的圓外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，則由所以從而所以不共線，所以為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．【考點(diǎn)定位】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線和橢圓的位置關(guān)系；點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．27.【2015湖南理20】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向（?。┤簦笾本€的斜率（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形【答案】（1）；（2）（i），（ii）詳見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件可求得的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用公共弦長(zhǎng)為即可求解；（2）（i）設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由得，根據(jù)條件可知，從而可以建立關(guān)于的方程，即可求解；（ii）根據(jù)條件可說(shuō)明，因此是銳角，從而是鈍角，即可得證試題解析：（1）由：知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵也是橢圓的一焦點(diǎn)，∴①，又與的公共弦的長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴②，聯(lián)立①，②，得，故的方程為；（2）如圖，，，（i）∵與同向，且，∴，從而，即，于是③，設(shè)直線的斜率為，則的方程為，由（ii）由得，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形.【考點(diǎn)定位】；.31
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