平面解析幾何初步一輪復(fù)習(xí)(有答案)(已改無錯(cuò)字)
2023-07-23 16:52:10 本頁面
【正文】 ：設(shè)F（1，0），M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且=2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程.解 設(shè)M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（xx0，y）=2（x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,y0), =(1,y0),∴(x0,y0)（1，y0）=0,∴x0+=0.小結(jié)歸納∴x+=0,即y2==4x. 1．直接法求軌跡方程關(guān)鍵在于利用已知條件，找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，這個(gè)等量關(guān)系有的可直接利用已知條件，有的需要轉(zhuǎn)化后才能用．2．回歸定義是解決圓錐曲線軌跡問題的有效途徑．3．所求動(dòng)點(diǎn)依賴于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，常用代入法求軌跡．第5課時(shí) 圓的方程基礎(chǔ)過關(guān)1． 圓心為C(a、b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________________．2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F0)，圓心為 ，半徑r＝ ．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的方程的充要條件是 ．4．圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的參數(shù)方程為_________．x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為________________．5．過兩圓的公共點(diǎn)的圓系方程：設(shè)⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，則經(jīng)過兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為 ．典型例題例1. 根據(jù)下列條件，求圓的方程．(1) 經(jīng)過A(6，5)，B(0，1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上．(2) 經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長為6．解：(1)∵AB的中垂線方程為3x＋2y－15＝0由 解得 ∴圓心為C(7，－3)，半徑r＝故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0將P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦長|x1－x2|＝6得D2－4F＝36 ③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0變式訓(xùn)練1：求過點(diǎn)A（2，－3），B（－2，－5），且圓心在直線x－2y－3=0上的圓的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直線AB的斜率為kAB= = ,線段AB的中點(diǎn)為（0，－4），線段AB的中垂線方程為y＋4=－2x,即y＋2x ＋4=0,解方程組得∴圓心為（－1，－2），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑r==所求圓的方程為（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2. 已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑.解 方法一 將x=32y,代入方程x2+y2+x6y+m=0,得5y220y+12+m=0.設(shè)P（x1,y1）,Q(x2,y2),則yy2滿足條件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=32y1,x2=32y2.∴x1x2=96(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此時(shí)Δ＞0,圓心坐標(biāo)為,半徑r=.方法二 如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程為:y3=2,即：y=2x+4.由方程組解得M的坐標(biāo)為（1，2）.則以PQ為直徑的圓可設(shè)為（x+1）2+（y2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上.∴（0+1）2+（02）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2.∴(32)2+5=∴m=3.∴半徑為,圓心為.方法三 設(shè)過P、Q的圓系方程為x2+y2+x6y+m+(x+2y3)=0.由OP⊥OQ知，點(diǎn)O（0，0）在圓上.∴m3=0，即m=3.∴圓的方程可化為x2+y2+x6y+3+x+2y3=0即x2+(1+)x+y2+2(3)y=0.∴圓心M，又圓在PQ上.∴+2（3）3=0，∴=1，∴m=3.∴圓心為，半徑為.變式訓(xùn)練2：已知圓C：（x1）2+(y2)2=25及直線l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m∈R).（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；（2）求直線l被圓C截得的弦長的最短長度及此時(shí)的直線方程.（1）證明 直線l可化為x+y4+m(2x+y7)=0,即不論m取什么實(shí)數(shù)，它恒過兩直線x+y4=0與2x+y7=0的交點(diǎn).兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為（3，1），又有（31）2+（12）2=5＜25,∴點(diǎn)（3，1）在圓內(nèi)部，∴不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交.（2）解 從（1）的結(jié)論和直線l過定點(diǎn)M（3，1）且與過此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長|AB|最短，由垂徑定理得|AB|=2=此時(shí)，kt=,從而kt==2.∴l(xiāng)的方程為y1=2(x3),即2xy=5.例3. 知點(diǎn)P（x，y）是圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn).（1）求P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值；（2）求x2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圓心C（2，0）到直線3x+4y+12=0的距離為d=.∴P點(diǎn)到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為d+r=+1=，最小值為dr=1=.（2）設(shè)t=x2y, 則直線x2yt=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn).∴≤1.∴2≤t≤2，∴tmax=2，tmin=2.（3）設(shè)k=，則直線kxyk+2=0與圓（x+2）2+y2=1有公共點(diǎn)，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.變式訓(xùn)練3：已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）yx可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b=2177。.所以yx的最大值為2+，最小值為2. （2）x2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值. 又圓心到原點(diǎn)的距離為=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2）2=74. 例4. 設(shè)圓滿足：①截y軸所得的弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1．在滿足條件①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程。解法一設(shè)圓的圓心為P（a,b),半徑為r，則點(diǎn)P到x軸y軸的距離分別為∣b∣、∣a∣。由題設(shè)條件知圓P截x軸所得的劣弧所對的圓心角為90176。，圓P截x軸所得的弦長為r，故r2=2b2．又圓P截y軸所得的弦長為2，所以有r2=a2＋1,從而得2b2=a2＋1．點(diǎn)P到直線x－2y=0的距離為d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab= 2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋1≥1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號，此時(shí)，5d2=1, d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，進(jìn)而得r2=2所求圓的方程為（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b= 177。da2=4b2177。4bd＋5d2,將a2=2b2－1代入整理得2b2177。4bd＋5d2＋1=0 （※）把（※）看成關(guān)于b的二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故△≥0即8（5d2－1)≥
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