【正文】 的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)， ∠ F 1 CF 2 取得最大值． 變式訓(xùn)練 2 ( 2 0 1 0 天津 ) 已知橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的 離心率 e ＝32，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面 積為 4. ( 1 ) 求橢圓的方程； ( 2 ) 設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A , B , 已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( a , 0 ) , 點(diǎn) Q ( 0 , y0) 在線段 AB 的垂直平分線上 , 且 =4 , 求 y0的值 . QBQA?解 ( 1 ) 由 e ＝ca＝32，得 3 a2＝ 4 c2. 再由 c2＝ a2－ b2， 得 a ＝ 2 b . 由題意可知12 2 a 2 b ＝ 4 ，即 ab ＝ 2. 解方程組????? a ＝ 2 b ，ab ＝ 2 ，a ＞ b ＞ 0.得????? a ＝ 2 ，b ＝ 1. 所以橢圓的方程為x24＋ y2＝ 1. ( 2) 由 ( 1) 可知 A ( － 2,0) ，且直線 l 的斜率必存在．設(shè) B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( x1， y1) ，直線 l 的斜率為 k ，則直線 l 的方程為 y＝ k ( x ＋ 2) ． 于是 A ， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組????? y ＝ k ( x ＋ 2 ) ，x24＋ y2＝ 1. 由方程組消去 y 并整理，得 (1 ＋ 4 k2) x2＋ 16 k2x ＋ ( 16 k2－ 4) ＝ 0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得－ 2 x1＝16 k2－ 41 ＋ 4 k2，所以 x1＝2 － 8 k21 ＋ 4 k2，從而y1＝4 k1 ＋ 4 k2. 設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 M ，則 M 的坐標(biāo)為 ( －8 k21 ＋ 4 k2，2 k1 ＋ 4 k2) ． 以下分兩種情況討論： ①當(dāng) k =0 時(shí) , 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ( 2 , 0 ) , 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 ,于是 由 得 y0＝ 177。2 2 . ② 當(dāng) k ≠ 0 時(shí)，線段 AB 的垂直平分線的方程為 y －2 k1 ＋ 4 k2＝－1k( x ＋8 k21 ＋ 4 k2) ． ).,2(),2( 00 yQByQA ????? ,4??QBQA令 x ＝ 0 ，解得 y0＝－6 k1 ＋ 4 k2. 由 ＝－ 2 ( 2 － 8 k2)1 ＋ 4 k2＋6 k1 ＋ 4 k2(4 k1 ＋ 4 k2＋6 k1 ＋ 4 k2) ＝4 ( 16 k4＋ 15 k2－ 1 )( 1 ＋ 4 k2)2＝ 4 ， 整理得 7 k2＝ 2 ，故 k ＝ 177。147. 所以 y0＝ 177。2 145. 綜上， y0＝ 177。2 2 或 y0＝ 177。2 145. ),(),2( 0110 yyxQByQA ?????)(2 0101 yyyxQBQA ?????題型三 求曲線的方程問題 例 3 ( 2 0 0 9 海南、寧夏 ) 已知橢圓 C 的中心為平面直角 坐標(biāo)系 x O y 的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到 兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是 7 和 1. ( 1 ) 求橢圓 C 的方程； ( 2 ) 若 P 為橢圓 C 上的動(dòng)點(diǎn)， M 為過 P 且垂直于 x 軸 的直線上的一點(diǎn)，| OP || OM |＝ λ ，求點(diǎn) M 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 思維啟迪 ( 1 ) 橢圓方程中的基本參數(shù) a 、 c 的關(guān)系 a ＋ c＝ 7 ， a － c ＝ 1 .( 2 ) 坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． 解 ( 1 ) 設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為 a 、 c ，由已知得????? a － c ＝ 1 ，a ＋ c ＝ 7 ，解得????? a ＝ 4 ，c ＝ 3 ，又 ∵ b2＝ a2－ c2， ∴ b ＝ 7 ， 所以橢圓 C 的方程為x216＋y27＝ 1. ( 2 ) 設(shè) M ( x ， y ) ，其中 x ∈ [ － 4 , 4 ] ， 由已知| OP |2| OM |2 ＝ λ2及點(diǎn) P 在橢圓 C 上可得9 x2＋ 1 1 216 ( x2＋ y2)＝ λ2， 整理得 ( 1 6 λ2－ 9) x2＋ 16 λ2y2＝ 1 1 2 ，其中 x ∈ [ － 4 , 4 ] ． ① 當(dāng) λ ＝34時(shí)，化簡(jiǎn)得 9 y2＝ 1 1 2 ， 所以點(diǎn) M 的軌跡方程為 y ＝ 177。4 73( － 4 ≤ x ≤ 4) ． 軌跡是兩條平行于 x 軸的線段． ② 當(dāng) λ ≠34時(shí)，方程變形為x21 1 216 λ2－ 9＋y21 1 216 λ2＝ 1 ， 其中 x ∈ [ － 4 , 4 ] ． 當(dāng) 0 λ 34時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在 y 軸上的雙曲線滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； 當(dāng)34 λ 1 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在 x 軸上的橢圓滿足－ 4 ≤ x ≤ 4 的部分； 當(dāng) λ ≥ 1 時(shí)，點(diǎn) M 的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在 x 軸上的橢圓． 探究提高 ( 1 ) 求軌跡方程時(shí)，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解． ( 2 ) 討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對(duì)應(yīng)，即應(yīng)注意字母的取值范圍． 變式訓(xùn)練 3 已知圓 F 1 ： ( x ＋ 1)2＋ y2＝14，圓 F 2 ： ( x － 1)2 ＋ y2＝494，動(dòng)圓 M 與圓 F 1 、 F 2 都相切． ( 1 ) 求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程； （ 2 ）已知點(diǎn) A （ 2 ， 0 ），過點(diǎn) F 2 作直線 l 與軌跡 C 交 于 P ， Q 兩點(diǎn)，求 的取值范圍 . AQAP?解 ( 1 ) 設(shè)動(dòng)圓圓心為 M ( x ， y ) ，圓 M 的半徑為 r ， 則 | MF 1 |＝ r ＋12， | MF 2 |＝72－ r ， ∴ | MF 1 |＋ | MF 2 |＝ 4. 則動(dòng)圓圓心 M 的軌跡 C 為以 F 1 ( － 1 , 0 ) ， F 2 ( 1 , 0 ) 為焦點(diǎn)的橢圓． 由 2 a ＝ 4 ，得 a ＝ 2 ，又 c ＝ 1 ， ∴ b2＝ 3 ， 故軌跡 C 的方程為x24＋y23＝ 1 . ( 2) ∵ F2在曲線 C 內(nèi)部， ∴ 過 F2的直線與曲線 C 恒有兩個(gè)公共點(diǎn)． ① 當(dāng) l 與 x 軸重合時(shí)，點(diǎn) P 或點(diǎn) Q 有一個(gè)與點(diǎn) A 重合， ②當(dāng) l⊥ x 軸時(shí) ， ③ 當(dāng) l 與 x 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè) l ： y ＝ k ( x － 1) ， P ( x1， y1) ， Q ( x2， y2) ． 由????? y ＝ k ( x － 1 ) ，x24＋y23＝ 1 ，整理，得 (4 k2＋ 3) x2－ 8 k2x ＋ 4 k2－ 12＝ 0. .0??? AQAP),23,3(),23,1(),23,1( ?? APQP.427499),23,3( ??????? AQAPAQΔ ＝ 1 4 4 k2＋ 1 4 4 0 恒成立． ∴ x1＋ x2＝8 k24 k2＋ 3， x1x2＝4 k2－ 124 k2＋ 3. ＝ ( x1＋ 2 ， y1) ( x2＋ 2 ， y2) ＝ ( x1＋ 2 ) ( x2＋ 2) ＋ y1y2 ＝ x1x2＋ 2( x1＋ x2) ＋ 4 ＋ k2( x1x2－ x1－ x2＋ 1) ＝27 k24 k2＋ 3＝274 ＋3k2. 綜上 AQAP??.4270,02 ????? AQAPk?.4270 ??? AQAP規(guī)律方法總結(jié) 1 ． 求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法 ( 1 ) 定義法 ( 2 ) 待定系數(shù)法 ① 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為 y2＝ 2 ax 或 x2＝ 2 ay ( a ≠ 0) ，避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上 的分類討論，此時(shí) a 不具有 p 的幾何意義． ② 中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上， 橢圓方程可設(shè)為x2m＋y2n＝ 1( m 0 ， n 0 ) ． 雙曲線方程可設(shè)為x2m－y2n＝ 1( mn 0 ) ． 這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算． 2 ．軌跡方程問題 ( 1 ) 求軌跡方程的基本步驟： ① 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo) —— 解析法 ( 坐標(biāo)法 ) . ② 尋找動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式 —— 幾何關(guān)系． ③ 將動(dòng)點(diǎn)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入 —— 幾何關(guān)系代數(shù)化． ④ 化簡(jiǎn)整理方程 —— 簡(jiǎn)化． ⑤ 證明所得方程為所求的軌跡方程 —— 完成其充要 性． ( 2 ) 求軌跡方程的常用方法： ① 直接法：將幾何關(guān)系直接翻譯成代數(shù)方程； ② 定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程； ③ 代入法：把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系； ④ 交軌法：寫出兩條動(dòng)直線的方程直接消參，求得兩條動(dòng)直線交點(diǎn)的軌跡； ( 3 ) 注意 ① 建系要符合最優(yōu)化原則； ② 求軌跡與 “ 求軌跡方程 ” 不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式．步驟 ②⑤ 省略后，驗(yàn)證時(shí)常用途徑：化簡(jiǎn)是否同解變形，是否滿足題意，驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等． 知能提升演練 一、選擇題 1 ．下列曲線中離心率為62的是 ( ) A.x22－y24＝ 1 B.x24－y22＝ 1 C.x24－y26＝ 1 D.x24－y210＝ 1 解析 ∵ e ＝ca， c2＝ a2＋ b2， ∴ e2＝c2a2 ＝a2＋ b2a2 ＝ 1 ＋b2a2 ＝32， ∴b2a2 ＝12，故選 B. B 2. （ 2 0 0 9 浙江） 已知橢圓 ( a b 0 ) 的左焦點(diǎn) 為 F ，右頂點(diǎn)為 A ，點(diǎn) B 在橢圓上，且 BF ⊥ x 軸，直 線 AB 交 y 軸于點(diǎn) P . 若 ，則橢圓的離心率 是 （ ） 12222 ?? byaxPBAP 2?解析 如圖，由于 BF ⊥ x 軸，故 x B = c , y B = 設(shè) P （ 0, t） , ,2ab,2 PBAP ??∴ ( － a ， t ) ＝ 2????????－ c ，b2a－ t ， ∴ a ＝ 2 c ， ∴ e ＝ca＝12. D 23223 ．若拋物線 y2＝ 2 px 的焦點(diǎn)與橢圓x26＋y22＝ 1 的右焦點(diǎn) 重合，則 p 的值為 ( ) A ．－ 2 B ． 2 C ．－ 4 D ． 4 解析 橢圓x26＋y2