【文章內(nèi)容簡介】 x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0結合區(qū)域圖易得不等式組為變式訓練1： △ABC的三個頂點為A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，則△ABC的內(nèi)部(含邊界)可用二元一次不等式組表示為 ．ACyxB例2. 已知x、y滿足約束條件 分別求：⑴ z＝2x＋y⑵ z＝4x－3y⑶ z＝x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐標系中作出表示不等式組的公共區(qū)域如圖陰影部分．其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1) 作與直線2x＋y＝0平行的直線l1：2x＋y＝t，則當l1經(jīng)過點A時，t取最大，l1經(jīng)過點B時，t取最?。鄗max＝9 zmin＝－13(2) 作與直線4x－3y＝0平行的直線l2：4x－3y＝t，則當l2過點C時，t最小，l2過點B時，t最大．∴zmax＝14 zmin＝－18(3) 由z＝x2＋y2，則表示點(x，y)到(0，0)的距離，結合不等式組表示的區(qū)域．知點B到原點的距離最大，當(x，y)為原點時距離為0．∴zmax＝37 zmin＝0變式訓練2：給出平面區(qū)域如下圖所示，目標函數(shù)t＝ax－y，(1) 若在區(qū)域上有無窮多個點(x，y)可使目標函數(shù)t取得最小值，求此時a的值．(2) 若當且僅當x＝，y＝時，目標函數(shù)t取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍？x0A(1,0)C( , )B(0,1)y解：(1)由t＝ax－y得y＝ax－t要使t取得最小時的(x，y)有無窮多個，則y＝ax－t與AC重合．∴a＝kAC＝＝－(2)由KAC a KBC 得－ a－.例3. 某木器廠生產(chǎn)圓桌子和衣柜兩種產(chǎn)品，現(xiàn)有兩種木料，第一種72立方米，第二種有56立方米，假設生產(chǎn)每種產(chǎn)品都需要用兩種木料，，可獲利潤6元，，可獲利10元，木器廠在現(xiàn)有木料條件下，圓桌和衣柜應各生產(chǎn)多少才能使所獲利潤最多？解：設圓桌和衣柜的生產(chǎn)件數(shù)分別為x、y，所獲利潤為z，則：xy(0,800)M(350,100)(0,200)O 即 則z＝6x＋10y作出可行域如圖．由 得 即M(350，100)由圖可知，當直線l：6x＋10y＝0平移到經(jīng)過點M(350，100)時，z＝6x＋10y最大，即當x＝350，y＝100時，z＝6x＋10y最大．變式訓練3：某廠要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品45個，乙種產(chǎn)品55個，可用原料為A、B兩種規(guī)格的金屬板，每張面積分別為2m2和3m2，用A種可造甲種產(chǎn)品3個和乙種產(chǎn)品5個，用B種可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個．問A、B兩種產(chǎn)品各取多少塊可保證完成任務，且使總的用料(面積)最小．解：設A種取x塊，B種取y塊，總用料為z m2，則AxylO515 z＝2x＋3y (x、y∈N)可行域如圖：最優(yōu)解為A(5，5)，x＝5，y＝5時，zmin＝25，即A、B兩種各取5塊時可保證完成任務，且總的用料(面積)最省為25m2．例4. 預算用2000元購買單價為50元桌子和20元的椅子，希望桌子的總數(shù)盡可能的多，但解：椅子的總數(shù)不能少于桌子的總數(shù)，問桌椅各買多少才合適？設桌椅分別買x、y張，由題意得： 由 解得： ∴ 點A(，)由 解得∴ 點B(25，)滿足以上不等式組表示的區(qū)域是以A、B、O為頂點的△AOB及內(nèi)部設x＋y＝z，即y＝－x＋z；當直線過點B時，即x＝25，y＝，z最大．∵ y∈z，∴y＝37∴買桌子25張，椅子37張是最優(yōu)選擇．變式訓練4：AA2兩煤礦分別有煤8萬噸和18萬噸，需通過外運能力分別為20萬噸和16萬噸的BB2兩車站外運，用汽車將煤運到車站，A1的煤運到BB2的運費分別為3元/噸和5元/噸，A2的煤運到BB2的運費分別為7元/噸和8元/噸，問如何設計調(diào)運方案可使總運費最少？xyA(8, 12)l1O102018解：設A1運到B1 x萬噸，A2運到B1 y萬噸，總運費為z萬元，則A1運到B2(8－x)萬噸，A2運到B2(18－y)萬噸，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y) ＝184－2x－y，x、y滿足可行域如圖陰影部分．當x＝8時，y＝12時，zmin＝156即A1的8萬噸煤全運到B1，A2運到12萬噸運到B1，剩余6萬噸運到B2，這時總運費最少為156萬元．小結歸納1．二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域：① 直線確定邊界；② 特殊點確定區(qū)域．2．線性規(guī)劃實際上是“數(shù)形結合”的數(shù)學思想的體現(xiàn)，是一種求最值的方法．3．把實際問題抽象轉化為數(shù)學問題是本節(jié)的重難點，求解關鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解．而在考慮約束條件時，除數(shù)學概念的條件約束外，還要深入其境、考慮實際意義的約束．4．解線性規(guī)劃問題的關鍵步驟是在圖上完成的，所以作圖盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范。但最優(yōu)點不易辨別時，要逐一檢查基礎過關第4課時 曲線與方程、1．直接法求軌跡的一般步驟：建系設標，列式表標，化簡作答（除雜）．2．求曲線軌跡方程，常用的方法有：直接法、定義法、代入法（相關點法、轉移法）、參數(shù)法、交軌法等．典型例題例1. 如圖所示，過點P（2，4）作互相垂直的直線ll2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程.解 ：設點M的坐標為（x,y）,∵M是線段AB的中點，∴A點的坐標為（2x,0），B點的坐標為（0，2y）.∴=（2x2，4），=（2，2y4）.由已知=0，∴2（2x2）4（2y4）=0，即x+2y5=0.∴線段AB中點M的軌跡方程為x+2y5=0.變式訓練1：已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足||||+ =0，求動點P（x，y）的軌跡方程.解 由題意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x2,y）,∵||||+=0，∴+（x2）4+y0=0，兩邊平方，化簡得y2=8x.例2. 在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B,C且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點A的軌跡方程是 （ ）A.=1 (y≠0) B.=1 (x≠0)C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支答案D變式訓練2：已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：（x3）2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.解 如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1||AC1|=|MA|，|MC2||BC2|=|MB|.因為|MA|=|MB|，所以|MC2||MC1|=|BC2||AC1|=31=2.這表明動點M到兩定點C2，C1的距離之差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離大，到C1的距離?。?，這里a=1,c=3,則b2=8,設點M的坐標為（x,y）,其軌跡方程為x2=1 (x≤1).例3. 如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90176。，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.解 設AB的中點為R，坐標為（x1，y1），Q點坐標為（x，y），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x14）2+=36（）.即4x110=0.因為R為PQ的中點，所以x1=，y1=.代入方程4x110=0，得10=0.整理得x2+y2=56.這就是Q點的軌跡方程.變式訓練3